מהנחת היסודות עד האינטגרלים, מהאפס עד מערכת הצירים, מהפונקציות עד תורת הקבוצות: עשרת המתמטיקאים הגדולים בהיסטוריה
כל המתמטיקאים ברשימה הזאת היו ענקים, גם בדורם וגם במבט לאחור. לא קל היה לבחור אותם מבין כל האפשרויות. נדרשו הרבה הכרעות קשות והרבה מתמטיקאים גדולים נשארו בחוץ. אבל אין ברירה, וברשימת עשרת הגדולים אפשר לבחור רק עשרה.
אפשר לחלק אותם לשלוש קבוצות, על פי הסיבות להכללתם ברשימה: חלקם כאן בגלל פריצות דרך ענקיות, תחומים מתמטיים חדשים שהם גילו ששינו את פני המתמטיקה. אחריהם צועדים שלושה ענקים שאי אפשר להצביע על דבר מסוים שהביא אותם למקומות המכובדים הללו, פשוט כי גוף העבודה המתמטי שלהם הוא עד כדי כך עצום ומשמעותי. בראש הרשימה שלושה שיותר מכל דבר אחר הם המייצגים הגדולים ביותר של מה שהפך להיות, אחרי עבודתם, עמודי היסוד של מה שאנחנו קוראים לו היום "מתמטיקה".
אופקים חדשים
מקומות 9 ו- 10 ביחד: אייזק ניוטון וגוטפריד לייבניץ
גוטפריד וילהלם לייבניץ (Leibniz) ואייזק ניוטון (Newton) חולקים את המקומות התשיעי והעשירי ברשימה, בזכות עבודתם על החשבון האינפיניטיסימלי. הם התחילו כשני המוחות הגדולים ביותר באירופה של תקופתם, ויש שיאמרו הגדולים בעולם כולו. שניהם עסקו בתחומים נוספים, וכל אחד מהם היה כנראה מוצא את דרכו למקום גבוה יותר ברשימת "עשרת הגדולים" בפיזיקה (ניוטון) או בפילוסופיה (לייבניץ). הם העריכו מאוד זה את זה, התכתבו על נושאים רבים, והיו ללא ספק המוחות המתמטיים הגדולים של תקופתם.
החשבון האינפיניטיסימלי – "הקטן עד כדי אינסוף" – הוא תחום מתמטי שחוקר תנודות ושינויים קטנים וכמעט לא מורגשים, את הרגעי והחולף. המתמטיקה הזאת הצליחה לתת אחת ולתמיד תשובות ברורות לשאלות שנותרו ללא מענה אלפי שנים: פתרונות חד משמעיים לפרדוקסים של זנון. עבודתם פתחה תחום מתמטי שלם, שמתאר היום כמעט כל תהליך שמשתנה ומתפתח לאורך זמן, כל חישוב של שטחים מורכבים ועוד ועוד. המשפט היסודי של תחום זה נקרא על שמם: "משפט ניוטון-לייבניץ".
למרבה הצער סוף הסיפור המשותף שלהם היה עגום מבחינתם האישית, ומלווה בריבים ובוויכוחים ארוכי שנים מי הקדים את מי ולמי מגיעה התהילה על פיתוח החשבון האינפיניטיסימלי. כמו כל דבר אחר שהם עשו, גם ריב זה היה מהעימותים הגדולים ביותר בעולמות המדע, ודאי הגדול ביותר בין מתמטיקאים לאורך הדורות.
ידידות מדעית שהפכה ליריבות קשה. ניוטון (מימין) ולייבניץ | מקורות: DR JEREMY BURGESS / ANN RONAN PICTURE LIBRARY / HERITAGE IMAGES / SCIENCE PHOTO LIBRARY,
"איש לא יגרש אותנו מגן העדן של קנטור" הכריז דויד הילברט (שבעצמו כמעט נכנס לרשימה הזו) – ולא בכדי. תורת הקבוצות שיצר גיאורג קנטור (Cantor) הפכה להיות בסיס מושגי משותף לכל המתמטיקה, ותרמה תרומה אדירה ליכולת לנסח בצורה פורמלית רעיונות שעד אז לא היה אפשר להעלות על הדעת ניסוח מדויק שלהם.
מצד אחד הרעיון של "קבוצה" כבסיס רעיוני יצר מכנה מתמטי משותף רחב כל כך, עד שהוא איפשר לנסח באמצעותו רעיונות פשוטים כמו מספרים, ומורכבים הרבה יותר ממה שניתן לתאר כאן. מצד שני, תורת הקבוצות כבשה סופית את תעלומות האינסוף, איפשרה לנו לגלות את חוקי האריתמטיקה של גדלים אינסופיים, להשוות בין קבוצות אינסופיות – ולגלות, למרבה הפלא, שגם האינסוף מגיע בגדלים שונים.
קנטור יצר תורה מתמטית שכמוה לא הייתה מעולם. כיום אי אפשר לדמיין כיצד המתמטיקה הייתה יכולה להסתדר בלעדיה.
בסיס מושגי משותף לכל המתמטיקה. קנטור בצילום מ-1894, על רקע איור הממחיש את תורת הקבוצות | מקור: ROBERT BROOK / SCIENCE PHOTO LIBRARY, Wikipedia, Public Domain
מקום 7: בְּרַהמַגוּפְּטָה
איזה רעיון יכול לזכות את המתמטיקאי שמזוהה איתו במקום גבוה יותר מכיבוש האינסוף? רק מושג מתמטי שהיום אנחנו צריכים להשקיע הרבה עבודה כדי להבין למה הוא פשוט לא היה שם מההתחלה. אבל הוא לא היה. כי בהתחלה אף אחד לא חשב שצריך משהו כדי להגיד "שום דבר". עד שהגיע ברהמגופטה (Brahmagupta).
הוא פעל בהודו של המאה השביעית לספירה. בואו נחזור על זה – המאה השביעית לספירה. האפס כמושג בפני עצמו לא היה קיים עד אז. לא אצל אוקלידס, לא אצל פיתגורס, ולא אצל ארכימדס. גם המצרים והבבלים הקדמונים פשוט לא חשבו שזה משהו שדורש התייחסות. כאן כמובן המקום לסייג. כמו כל דבר אחר, זה לא עד כדי כך שחור ולבן. גם לפני ברהמגופטה בחלק מהמערכות המתמטיות היו סימנים שנכתבו באמצע כתיבת מספר ונועדו להגיד "אין כאן שום דבר". אבל אלה היו יותר סימני פיסוק, ולא אובייקטים מתמטיים. ברהמגופטה היה הראשון לדבר על החוקים האריתמטיים של המספר המיוחד והמוזר הזה.
למה זה עד כדי כך חשוב? כי רק אחרי שיש לנו אפס אפשר להתחיל לחשוב על "הצד השני" של ציר המספרים. הרעיון של מספרים מסוגים נוספים ואחרים היה פתח למסע מופלא, שלקח את הרעיון המתמטי הבסיסי והפשוט ביותר, המספרים שאנחנו סופרים בהם, וצימח ממנו עולמות מופלאים. את הזרע של כולם אפשר למצוא ב"כלום" של ברהמגופטה.
פתח למסע מופלא. אסטרונום הודי בתצפית ומחקר על עבודתו של ברהמגופטה. האיור מתוך ספר מראשית המאה ה-19 | ויקיפדיה, נחלת הכלל
ענקי המתמטיקה
לאונרד אוילר (Euler) הוא הראשון מבין שלושת הענקים ברשימה הזאת. כמו כל המלומדים לפני המאה העשרים, גם הוא עסק בתחומים רבים. נוסף על עיסוקיו המתמטיים הוא היה פיזיקאי, אסטרונום ומהנדס. אבל גם אם נתבונן רק במתמטיקה שלו, זה בלתי אפשרי לסמן הישג המרכזי או את ההישג הבולט שלו. אוילר השאיר את חותמו ושינה את פניהם של תחומים מתמטיים רבים ושונים מאוד, בהם החשבון האינפיניטיסימלי, תורת הגרפים, טופולוגיה ותורת המספרים.
בכל התחומים הללו, ובעוד אחרים, אנחנו חייבים המון לאוילר מהטרמינולוגיה והסימונים שהמתמטיקאים משתמשים בהם עד היום. בל נטעה לחשוב שמדובר באיזו עבודה קוסמטית של סידור המתמטיקה בצורה נאה. במתמטיקה לעיתים קרובות מציאת דרך נכונה יותר לסמן מושגים מאפשר לטפל בהם בדיוק וביסודיות רבים יותר. אם ניקח את אחת הדוגמאות הבולטות - סימן הפונקציה. כן כן, זה המוכר - f(x) זהו סימון של אוילר. פונקציות היו רעיון שהמתמטיקאים נאבקו בו כמה מאות שנים. ללא יכולת ברורה להגדיר או להסכים מה הוא. אחרי אוילר חקר הפונקציות היה ברור יותר, מאורגן יותר, ובזכות זה המריא לגבהים שלא ניתן היה לדמיין קודם לכן. אוילר אחראי גם על e, i, Π ועוד ועוד. הדובדבן שבקצפת הוא ככל הנראה מה שמקובל על כמעט כל המתמטיקאים כ"משוואה היפה ביותר" - היא זהות אוילר: eiΠ+1=0 הקושרת בין חמשת המספרים המיוחדים, או לכל הפחות המפורסמים ביותר, על ציר המספרים.
מפעל חייו של לאונרד אוילר הוא עצום, יותר משל כמעט כל מתמטיקאי אחר אי פעם. הוא השאיר אחריו מתמטיקה לאין שיעור מסודרת יותר, קפדנית יותר ודקדקנית יותר.
המשוואה היפה ביותר במתמטיקה. אוילר והטלסקופ הקרוי על שמו בצ'ילה | מקור: zabanski, Shutterstock, BABAK TAFRESHI / SCIENCE PHOTO LIBRARY
מקום 5: ארכימדס מסיקרקוזה
הענק המתמטי השני בגודלו הוא ארכימדס (Archimedes או Αρχιμήδης). ענני הזמן מסתירים חלקים רבים מעבודתו, ומאוד ייתכן שאילו כל גוף המחקר שלו היה בידינו הוא היה מטפס למקום גבוה בהרבה. כתביו המקוריים של ארכימדס, שחי לפני יותר מ-2,000 שנה, לא שרדו. אנו ניזונים רק מאחרים שהשתמשו בעבודותיו, ציטטו אותן והעתיקו מהן. די בחלקי פאזל אלו כדי לדעת כי ללא צל של ספק מדובר בענק שהקדים את זמנו.
ארכימדס היה נביא מתמטי. עבודתו מבשרת פיתוחים מתקדמים ביותר בתורת המספרים, בגיאומטריה, ומה שאולי היה הישגו הנבואי המרשים ביותר – החשבון האינפיניטיסימלי, שכאמור ניוטון ולייבניץ פיתחו בסופו של דבר כמעט 2,000 שנה אחרי מותו. ארכימדס פיתח טכניקות לחישובי שטחים וסכומים אינסופיים, ברמה שאיש במאות השנים שחלפו מאז ימיו לא הצליח להתקרב אליה. אין לנו דרך לדעת מה עבר בראשו של הגאון הזה. הוא לא "הוכיח" את מרבית משפטיו במובן שבו אנחנו דורשים היום, אבל אין לזקוף זאת לחובתו. המתמטיקה הדרושה להוכחות אלו הגיעה רק בעתיד הרחוק מאוד מבחינתו. זה לא הפריע לארכימדס להבין בחוש את המתמטיקה הזאת, והיום אנו יודעים לומר בוודאות שתוצאותיו נכונות ברמה מפליאה.
ארכימדס היה גם חלוץ פורץ דרך בקשרים שבין המתמטיקה לתופעות פיזיקליות: עקרון המנוף ("הבו לי נקודת משען - ואזיז את העולם"), חוק ארכימדס לגופים צפים במים, משאבת הבורג והפיתוחים שלו במראות ובהשתקפויות הן רק קצה קרחון של ההיבט הזה בעבודתו. אחת מגרסאות המיתוס סביב מותו מספרת כי כשהחיילים הרומים כבשו את עירו, סירקוזה שבסיציליה, הוא היה שקוע כולו בשרטוטים בחול, ולא ציית לפקודת החייל שהורה לו להפסיק. החייל הרגו במקום בעודו זועק "המעגלים! המעגלים שלי!".
דיוקן של ארכימדס על רקע תרשימים שעשה לאונרדו דה-וינצ'י למשאבות שהוא תכנן וטופר הברזל ששימש נגד ספינות אויב במצור הרומי על סירקוזה | מקורות: THE PRINT COLLECTOR / HERITAGE IMAGES / ANN RONAN PICTURE LIBRARY / HERITAGE IMAGES / SCIENCE PHOTO LIBRARY
הענק הענק מכולם. נסיך המתמטיקה. אין כל אפשרות לתאר את הישגו הבולט, את התחום העיקרי של מחקרו או אפילו איזה מאפיין מרכזי בעבודתו של קרל פרידריך גאוס (Gauss). הקולוסוס המתמטי הזה נגע כמעט בכל תחום מתמטי שהיה קיים בתקופתו, ובכל תחום כזה כמה מהמשפטים העמוקים והיסודיים ביותר הם שלו. הוא היה הראשון להוכיח את "המשפט היסודי של האלגברה" (שניסח מיודענו אוילר). בסטטיסטיקה, ההתפלגות ה"נורמלית" של רוב התופעות נקראת "פעמון גאוס". הדרך המקובלת לתאר מספרים מרוכבים היא "מישור גאוס". הדרך המתמטית לתאר את המידה שבה משטחים מתעקמים נקראת "עקמומיות גאוס" ועוד ועוד. בכל מקום יש משהו-גאוס עמוק, יסודי ומרכזי לתחום.
מוטת כנפיו של גאוס כוללת מגוון ענפים יישומיים של המתמטיקה כמו אלקטרוסטטיקה, אסטרונומיה, גיאופיזיקה ואופטיקה. גם בפן התיאורטי הוא היה פורץ דרך, והיה מהראשונים לנפץ את תקרת הזכוכית של מה שנחשב בעיניי רבים כבסיס של כל המתמטיקה – האקסיומות הגיאומטריות של אוקלידס, ולתאר עולם גיאומטרי אחר שעובד לפי חוקים אחרים.
אין ספק שמבין ענקי המתמטיקה קרל פרידריך גאוס מתנשא מעל כולם. ואילו המצעד הזה היה מדרג מתמטיקאים על סמך עבודתם האישית, הישגיהם והגובה שאליו נסקו – גאוס היה ראשון, בהפרש ניכר.
ענק המתנשא מעל כולם. פסל של גאוס בעיר הולדתו, בראונשווייג, גרמניה, על רקע חתימת ידו ואלמנטים מעבודתו | צילום: Mikhail Markovskiy, Shutterstock
עמודי התווך
מקום 3: רנה דקארט
שלושת המתמטיקאים במקומות הראשונים הם למעשה נציגים של משהו גדול מהם. אין ספק שמדובר בטיטאנים, ושעבודתם הייתה חשובה, משמעותית וכבירה. אבל זאת לא הסיבה שהם פה. הם מגיעים כדי לקבל את הפרס בשם הרעיון שהם, בעבודתם, מייצגים. שלושה רעיונות כל כך גדולים, שהמתמטיקה כולה ניצבת עליהם.
עבודתו של רנה דקארט (Descartes) מוכרת היטב לכל מי שסיימו ללמוד בכל חטיבת ביניים בארץ. כמו תמיד בדברים הללו ניתן להצביע על אחרים שהתחילו להצמיח ניצנים ראשונים לפניו, ועל אחרים שהביאו את עבודתו לכדי גימור. אבל הגיאומטריה האנליטית מזוהה עד כדי כך עם רנה דקארט, שאנחנו קוראים למערכת הצירים שעומדת בליבה על שמו – מערכת קרטזית.
הרעיון פשוט בבסיסו: תיאור של נקודות, צורות וקווים באמצעות האלגברה. נקודות מיוצגות במערכת הצירים על ידי קואורדינטות מספריות, ישרים וקווים הופכים למשוואות, וכך ממשיכים, עד שניתן להביע כל רעיון גיאומטרי או גרפי באמצעות האלגברה, ולהיפך.
מעבר לשימושיות של הרעיון עצמו, דקארט הצליח לקחת שני תחומים מתמטיים נפרדים לחלוטין עד אז, ולהראות שבמובן מסוים, מנקודת מבט מסוימת, הם "אותו הדבר". המעבר הזה בין תחומים שונים במתמטיקה הפך להיות כל כך מהותי ויסודי, עד שלא ניתן לדמיין את המתמטיקה היום בלעדיו. אולי המקרה המפורסם ביותר הוא של המשפט האחרון של פֶרְמָה, שכדי להוכיח אותו היה צריך לעבור דרך עקומים אליפטיים ועוד דברים שלא קשורים לכאורה בכלל למספרים וחזקות, אלא שמתברר שהם כן.
רנה דקארט מקבל את המקום השלישי בדירוג שלנו בשם היכולת להגיד "זה מתנהג כמו זה".
חיבר שני תחומים שנראו נפרדים. דיוקן של דקארט ועבודות שלו על רקע מודל היקום שלו | מקורות: OXFORD SCIENCE ARCHIVE / HERITAGE IMAGES / SCIENCE SOURCE / SCIENCE PHOTO LIBRARY
מוחמד אבן מוסא אל חואריזמי (Al-Khwarizmi או خوارزمی) נקרא אולי אבו עבדאללה, אבל הסיבה שהוא כאן, במקום השני, היא שאל חואריזמי הוא אבו אלגברה. מספרים היו מאז ומעולם אבן יסוד במתמטיקה. אבל העיסוק במספרים בלבד הוא נאיבי במידת מה. זה עולם מופלא, שאפשר למצוא בו חוקיות מוזרה, ומאפיינים מרתקים - אבל אלגברה זה משהו אחר.
המהות של אלגברה חמקמקה מעט. היא לא "לפתור משוואות" או "לסמן איקס". אם זה היה העניין אז אחרים היו זוכים לכבוד על פני אל חואריזמי. המהלך האלגברי הוא קודם כל מהלך של הפשטה. זו היכולת להסתכל על כל מיני מקרים של שאלות על מספרים, להגיד "כל המקרים הללו הם בעצם דברים 'מאותו הסוג'" – ואז להפוך את ה"סוג" הזה לאובייקט בפני עצמו, שיש לו תכונות ואפשר לחקור אותו כמו שחקרנו פעם מספרים.
הסיבה שזה חשוב כל כך היא שזה נותן למתמטיקה כיוון התפתחות לעומק. אחת הדרכים העיקריות של המתמטיקה להתקדם היא עוד ועוד ועוד רמות של הפשטה. אל חואריזמי הסתכל על כל מיני מקרים של משוואות ואמר שהם כולם מקרים פרטיים של "משוואה ריבועית", שאותה אפשר לפתור. אבל אחרי שעושים את הטריק הזה פעם אחת, אפשר להמשיך ולעשות אותו שוב. משוואה ריבועית ומשוואה רגילה ומשוואה מחזקה שלישית הן כולן מקרים פרטיים של "פולינום", שהופך לאובייקט שאפשר לחקור. חיבור וכפל הם רק מקרים פרטיים של "פעולה" מסוג מסוים.
היכולת להגיד "כל הדברים הללו הם בעצם דבר אחד" היא הרגל השניה של המתמטיקה. אל חואריזמי לא היה הראשון לפסוע בכיוון הזה, והוא, כמו כולם, עמד על כפי ענקים. אבל הוא היה זה שהביא את העיקרון הזה בצורה הברורה ביותר לעולם. ובשם העיקרון הזה הוא המתמטיקאי השני בחשיבותו אי פעם.
התקדמות לעוד ועוד רמות של הפשטה. פסל של אל חואריזמי משתמש באצטרולב, באוניברסיטה בטהרן, על רקע עמוד מספרו "אלגברה", ובול סובייטי לזכרו | צילום: M. Tomczak, Public domain, Wikipedia
מקום 1: אוקלידס
בני אדם עסקו במתמטיקה אלפי שנים לפני שנולד אוקלידס מאלכסנדריה (Euclid או Εὐκλείδης). אולי אפילו יותר. הם ספרו, מדדו וחישבו. האדם הקדמון ספר ממותות וימי שנה, המצרים ידעו להשוות שטחים מורכבים מאוד, הבבלים ידעו לפתור בעיות שנמצאות כפסע ממשוואות ריבועיות, והפיתגוראים הגיעו לתוצאות מאוד מרשימות כמה מאות שנים לפניו.
אבל במשך מאות שנים אחרי מותו המתמטיקה הייתה מזוהה יותר מכל דבר אחר עם ספר "היסודות" של אוקלידס. איננו יודעים כמה מהתובנות המתמטיות הכלולות בספר שייכות לו, וכמה הם פרי עבודתם של מתמטיקאים אחרים, שהוא אסף, כינס ואירגן. אבל אוקלידס צועד בראש המצעד הזה לא בזכות הישגיו המתמטיים האישיים, אלא בדיוק בזכות הארגון הזה. הוא כאן כדי לייצג את הספר, שמייצג את הגיאומטריה, שמייצגת את המתמטיקה.
המתמטיקה לפני אוקלידס יכלה להיות מתוחכמת מאוד, אבל היא הלכה בעיקר "לרוחב": בואו נפתור את הבעיה הזאת, ואת הבעיה הזאת, ואת הבעיה הזאת. לפעמים הבעיה ההיא תהיה שימושית במהלך הפתרון של הבעיה הזאת, אבל לא הרבה מעבר לכך.
החיבור של אוקלידס הכניס את המושג "אקסיומה". גם כאן הוא לא היה הראשון, אבל הוא המייצג המובהק ביותר. אוקלידס אירגן את הידע הגיאומטרי של זמנו, ושאל "איך אנחנו יודעים שזה נכון?". אם א' נכון בזכות ב' - מדוע ב' נכון? בזכות ג'? נהדר! אז מדוע ג' נכון? אפשר להמשיך עם זה לנצח. אוקלידס הבין שזה חסר תוחלת. צריך לקבוע בסיס. טענות שאנחנו מקבלים את אמיתותן בלי לתהות מדוע. אלו האקסיומות.
מאוחר יותר משמעות המושג הזה תתעדן ותשתנה מעט – אבל הדבר הכי חשוב שהן עושות נשאר איתנו עד היום: הן נותנות כיוון למתמטיקה. כשאנחנו קובעים את האקסיומות כנקודת ההתחלה, ברור לאן הולכים: קדימה. משלבים כמה אקסיומות, ומסיקים טענה חדשה. לוקחים עוד טענות ומוכיחים חדשות. ה"אקסיומה" וה"הוכחה" הן שעומדות בבסיס הרעיון המרכזי והחשוב ביותר של המתמטיקה שלנו: הדדוקטיביות. לא רק אוסף "עובדות" או "תוצאות" - אלא תורה סדורה שבה דבר נובע מדבר.
כל האחרים ברשימה הזאת באו אחריו, וכולם קראו את "היסודות". תכנית הלימודים מתבססת על הספר הזה עד היום. רוחו של אוקלידס עדיין איתנו, ולא תעזוב אותנו. יותר מכל אדם אחר, המתמטיקה מתחלקת בזכותו לשתי תקופות: לפני אוקלידס ואחרי אוקלידס.
תורה סדורה שבה דבר נובע מדבר. אוקלידס בציור קיר מהמאה ה-14 ומהדורה לטינית של "היסודות" | מקורות: ROYAL ASTRONOMICAL SOCIETY / SHEILA TERRY / SCIENCE PHOTO LIBRARY
כוכבים בחוץ
כמו תמיד ברשימות כאלה רבים וטובים נותרו בחוץ. ביניהם אפשר למצוא את דויד הילברט, שקבע 23 בעיות פתוחות במתמטיקה שעיצבו את העולם המתמטי במאה ה- 20; קורט גדל שמשפטי אי השלמות שלו עדיין מכים הדים בעולם המתמטיקה והפילוסופיה; אמי נתר, שעיצבה מחדש את האלגברה המתמטית; אלן טיורינג חלוץ ומייסד מדעי המחשב; היפאטיה – מתמטיקאית מהמאה הרביעית לספירה שהגרסה הנפוצה של כתבי אוקלידס במאות השנים שאחר כך הייתה הגרסה שלה; אווריסט גלואה, שיש האומרים שהיה יכול להיות הגדול מכולם אלמלא סופו הטראגי בגיל כה צעיר; פיתגורס (ההוא ממשפט פיתגורס), פרמה (ממשפט פרמה), פסקל (ממשולש פסקל) פיבונאצ'י (מסדרת פיבונאצ'י) ועוד ועוד.
חושבים שהרשימה שלנו שגויה מהיסוד? שמישהו חסר בה? שהסדר לא נכון בעליל? כתבו לנו בתגובות, ואל תשכחו לנמק בקצרה את עמדתכם.
