110 שנים להולדתו של קורט גדל, שמשפטי אי-השלמות שלו הפתיעו את עולם המתמטיקה

בתחילת המאה ה-20 הובילו המתמטיקאים המפורסמים ברטרנד ראסל (Russell) ודיוויד הילברט (Hilbert) מאמץ גדול למצוא מערכת לוגית בעלת מספר סופי של אקסיומות מתמטיות בסיסיות, שבאמצעותה יהיה אפשר להוכיח כל משפט. זה היה אמור להיות מעין אלגוריתם מושלם שיכול להסביר הכול. היוזמה נולדה בעקבות גילוי פרדוקסים בתורת הקבוצות של גאורג קנטור (Cantor), והשאיפה הייתה "לחסל אחת ולתמיד את הספק הכללי בדבר מהימנותו של היסק מתמטי", כלשונו של הילברט.

המאמץ הזה של בכירי המתמטיקאים של הדור עלה על שרטון ב-1931, כשמתמטיקאי אלמוני לחלוטין בן 25 בשם קורט גדל (Gödel) פרסם מאמר שבו הבטיח שתמיד יהיו לנו ספקות. שני משפטי אי השלמות המפורסמים שלו הוכיחו שאי אפשר ליצור מערכת כזו.

מר למה
גדל, מהמתמטיקאים הידועים ביותר של המאה ה-20, נולד בעיר ברנו שבאימפריה האוסטרו-הונגרית (כיום בצ'כיה). כבר כילד התעניין במדע ובמתמטיקה ובני משפחתו כינו אותו "מר למה" בשל שאלותיו הרבות. בגיל 18 החל את לימודיו באוניברסיטת וינה, ובהמשך התמקצע בלוגיקה מתמטית ונמנה על חברי "החוג הוינאי" – קבוצת פילוסופים שנהגה לדון במפגשיה בלוגיקה ובפילוסופיה של המדע. את עבודת הדוקטורט שלו סיים בשנת 1930 ובתור שנה בלבד, כאמור, כבר קנה לעצמו שם בעולם המתמטיקה.

לצורך משפטי אי-השלמות שלו השתמש גדל בשיטה מתוחכמת לקודד טענות וכללי היסק באמצעות מספרים טבעיים. הוא יצר למעשה מעין וריאציה על פרדוקס השקרן המפורסם של הפילוסוף אפימנידס ("אני שקרן") והראה שבשיטת הקידוד שלו אפשר ליצור על ידי המספרים הטבעיים פסוק שמשמעותו היא "אני פסוק בלתי ניתן להוכחה במערכת האקסיומות הזו".

בדומה לפרדוקס השקרן, המערכת אינה מסוגלת להכריע אם הפסוק אמיתי או שקרי. מכאן נובע שהיא אינה שלמה (כלומר מכילה טענות בלתי ניתנות להכרעה – משפט אי-השלמות הראשון), וגם אינה יכולה להוכיח שהיא עצמה עקבית (כלומר שאין בה סתירות – משפט אי השלמות השני).

למשפטים אלו הייתה השפעה עמוקה על ענף הלוגיקה, והם הוכיחו שאי אפשר ליצור את מערכת האקסיומות המושלמת, בניגוד לשאיפתם של ראסל והילברט. הלוגיקה שמאחורי המשפטים ואופן ההוכחה שלהם השפיעו עמוקות גם על מדעי המחשב ועל חלוץ המחשבים אלן טיורינג, שבעקבות מאמרו של גדל פיתח את המודל התיאורטי של המחשב (מכונת טיורינג).

בנוסף, המשפטים זכו לפופולריות מחוץ למדע וזכו לפרשנויות פילוסופיות ואפילו רוחניות כהוכחה לעליונותו של האדם על המכונה – על פי פרשנות שגויה למשפטים שלפיה האדם יכול להמציא פסוק שמכונה לא תוכל להכריע בדבר אמיתותו. אחרים ראו בה ראיה למגבלות המדע, שאינו יכול להוכיח כל טענה בכלים העומדים לרשותו. הפרשנויות הללו עדיין נתונות במחלוקת חריפה.


עליונותו של האדם. גדל (משמאל) עם אלברט איינשטיין | צילום מתוך: ויקיפדיה

נפש מעורערת
לאחר פרסום המשפטים זכה גדל להכרה ולתהילה בעולם המתמטיקה, אך חברותו ב"חוג הווינאי", שרוב חבריו היו יהודים, הקשו עליו למצוא משרה אקדמית באווירה האנטישמית ששלטה אז באוסטריה, אף שהוא עצמו לא היה יהודי. בשנת 1936 רצח תלמיד נאצי את מייסד החוג הווינאי מוריץ שליק, שהיה האיש שהדביק את גדל מלכתחילה בחיידק הלוגי. גדל לקח את הרצח קשה והעביר את מרבית אותה שנה במוסד לחולי נפש. בשנת 1939 זוהה בטעות ברחוב כיהודי וספג מכות נמרצות.

בשנת 1940, בעיצומה של מלחמת העולם השנייה, ברח גדל מגיוס לצבא, היגר עם אשתו לארה"ב ועבד עד סוף ימיו במכון ללימודים מתקדמים בפרינסטון. שם הוא גם פגש מדען מפורסם אחר שברח מהנאציזם, אלברט איינשטיין. גדל הקדיש חלק ניכר מימיו בפרינסטון כדי לעבוד על המתמטיקה של תורת היחסות ואף יצר בסיס תיאורטי מסוים לאפשרות של מסע בזמן.

בכלים דיאגנוסטיים של היום היינו מאבחנים את גדל כהיפוכונדר והיינו אומרים שהוא סבל מתסמונת אספרגר ובערוב ימיו אף היה סכיזופרן פרנואיד. המחלות הרבות שפקדו אותו בילדותו עוררו בו פחד חולני ממוות. הוא חיפש הוכחות באובססיביות בכל תחומי החיים, והיה מוכן להביע דעה רק אם הייתה לו הוכחה מוצקה. במבחן קבלת האזרחות האמריקאית שלו, לדוגמה, הוא התעקש לטעון שהחוקה האמריקאית פותחת פתח לדיקטטורה ואף טען שהוא יכול להוכיח את זה.

בערוב ימיו הסתגר גדל בביתו. כשהמתמטיקאי הצעיר פול כהן הגיע להציג לו את הוכחתו שהשערת הרצף, שהיא השערת יסוד בתורת הקבוצות, אכן בלתי ניתנת להכרעה כפי שגדל עצמו החל להוכיח עוד בשנות ה-30, חטף המתמטיקאי הוותיק את הדפים מידיו של כהן וטרק את הדלת בפניו. בזקנתו אף השתכנע שמנסים להרעיל אותו והסכים לאכול רק מזון שאשתו בישלה. ב-1978, כשהדבר נבצר ממנה בעקבות אשפוז ממושך בבית החולים, מת גדל מתת-תזונה. משקלו במותו היה פחות משלושים קילוגרם.

2 תגובות

  • א.עצבר

    המתמטיקה היא רק שפה של כמויות ערטילאיות שלא נתפסות בחושים

    איך הופיעו ידיעות כזב בעולם המדעים המדויקים. ידיעות כזב קיימות בכל חברה אנושית, וגם בקרב החברה האנושית
    העוסקת במדע מדויק (מתמטיקה, גיאומטריה, ופיזיקה) הפיזיקאים מצאו את הדרך " לפסול ידיעות כזב"
    הפיזיקאים מעמידים תמיד את הרעיונות שלהם למבחן המציאות הטבעית,
    ואם מציאות זו קובעת שהרעיון שגוי, אז הם מתקנים את עצמם. הניסוי המעשי הנערך במציאות הפיזיקלית הטבעית הוא הפוסק האחרון בעולמם של הפיזיקאים ,וכולם הסכימו לקבל את פסיקתו.
    ניסוי מעשי חדשני יכול לפסול תיאוריה מקובלת במשך שנים רבות, ובמקומה תבוא ללא היסוס תיאוריה חדשה.
    לכן לא פלא הוא שהפיזיקה כמדע מעשי משתנה ללא הרף, ובעקבות השינויים היא משתפרת בהבנת המציאות, ומגיעה להישגים מעשיים מופלאים , הנמצאים כיום על גבול המדע הבדיוני. ואילו המתמטיקאים לא רגילים להעמיד את הרעיונות שלהם למבחן הניסוי המעשי , והם מסתפקים במבחן ההיגיון של עצמם.
    המתמטיקאים הלכו מההתחלה בדרך התבונה הטהורה וההיגיון הצרוף, מכיוון שהם האמינו שהתבונה וההיגיון הצרוף , יובילו אותם אל האמת. חובה להדגיש כי המתמטיקאים קבעו בעצמם מהו ההיגיון הצרוף ומהי התבונה הטהורה, ולכן הם הציגו את המתמטיקה כמבנה רעיוני שאין בו טעויות, ושלא ייתכן שיהיו בו טעויות. העיסוק המתמטי מעולם לא כלל מנגנון ביקורת טבעי שקיים במציאות מכוח עצמו, ובהכרח נוצרה כאן אפשרות , שידיעות כזב מתמטיות יקננו בתוך המתמטיקה במשך מאות שנים, ולא תהיה כל דרך לסלקן. ומדוע לא תהיה אפשרות לסלקן ? מכיוון שהמתמטיקה כבר קבעה מראש "שהיא עצמה מבנה רעיוני שאין בו טעויות, ולא ייתכן שיהיו בו טעויות" כך נוצרו כל התנאים, שידיעות כזב יקננו בתוך המתמטיקה אולי לנצח. הנה דוגמה לידיעת כזב מתמטית שהחזיקה מעמד 2000 שנים ?
    קיימת ידיעת כזב מתמטית עוד מתקופת ארכימדס, הקובעת כי מספר יחיד שערכו כ 3.14 , הוא שמאפשר את המעבר בין קוטרו של כל מעגל ( קטן או גדול) אל אורך ההיקף שלו. אין שום אפשרות לפעול נגד ידיעת כזב זו, מכיוון שמלמדים אותה כידיעה מתמטית אמיתית בבתי ספר ובאוניברסיטאות. היא גם מופיעה כידיעה אמיתית בוויקיפדיה, וכמעט בכל פרסום של המדעים המדויקים . המספר 3.14 נטוע היטב בתודעה האנושית, ויש לו יום חג בתאריך 14/3 על המספר הזה 3.14 כתבו ספר, והוא מופיע גם בסרט.
    מספר זה 3.14 גם קיבל את התואר "קבוע מתמטי" ויש לו מקום של כבוד בלימודי המתמטיקה. ידיעת כזב זו של המספר היחיד 3.14, עיכבה למעשה את התפתחות הגיאומטריה , וזו נשארה קפואה ומאובנת כמו בזמנו של אוקלידס. את ידיעת הכזב הזו אפשר רק להפריך בדרכם של הפיזיקאים, כלומר בדרך של ניסוי מעשי ממשי הכולל מדידה מדויקת מאוד.
    דרך כזו נפסלת מיד על ידי המתמטיקאים, כיוון שהם קבעו שרק בדרך התבונה וההיגיון אפשר לדבר אתם.
    אבל בדרך התבונה וההיגיון, המתמטיקאים כבר קבעו שאין טעויות במתמטיקה, ולכן אין טעם להציע דרך של ניסוי מעשי. לכן ידיעת הכזב של 3.14 יכולה להתקיים לנצח, אבל לא לעולם חוסן.
    בשנת 2017 נערך ניסוי ההיקפן, והוא הוכיח כי לכל גודל אמיתי של מעגל יש מספר מעבר ייחודי, המאפשר את המעבר בין אורך הקוטר לאורך ההיקף. מספרי המעבר האלה נמצאים בתחום צר, בין 3.14 ל 3.16 ניסוי ההיקפן מופיע ביוטיוב Aetzbar proves the … א.עצבר

  • ניסים כהן

    משפטי גדל

    פרדוקס "השקרן", איננו שייך למערכת רציונלית דטרמיניסטית, אלא למערכת של חוסר מידע על אחת מהמשפטים. וזה דומה ל"חתול" של שרדינגר. חוסר הידיעה על משפט אחד הוא הגורם לחוסר ההוכחה..אם כי, טענה נכונה באריתמטיקה שאיננה ניתנת להוכחה איננה בהכרח עדות לאי שלמות אלא לחיסרון בידיעת השלמות.