ממד הדמיון העצמי

בדרך כלל יש לנו מושג אינטואיטיבי של מהו הממד של עצם גיאומטרי: הממד של קובייה הוא 3, מפני שיש לקובייה רוחב, גובה ועומק. הממד של ריבוע בעל גובה ורוחב הוא 2 והממד של קו הוא 1. בכתבה הזו נכליל את מושג הממד גם לעצמים גיאומטריים שאינם מוכרים לנו מהגיאומטריה הקלאסית.

הבה ניקח קובייה ונחלק אותה לקוביות קטנות יותר, כמו הקובייה ההונגרית.
 

קובייה הונגרית | צילום: ברט ריינולדס, ויקיפדיה

כל צלע בקובייה הזאת מחולקת לשלוש צלעות קטנות יותר ושוות באורכן; כל פאה מחולקת לתשע פאות קטנות יותר; והקובייה כולה מחולקת ל-27 קוביות קטנות יותר.

אפשר גם להגיד שגורם ההקטנה הוא 3 ושכל צלע מקורית מחולקת ל-3¹ העתקים מוקטנים של עצמה, כל פאה מקורית מחולקת ל-3² העתקים מוקטנים של עצמה והקובייה כולה מחולקת ל-3³ קוביות קטנות יותר. שימו לב גם שכל צורה שממדה הוא  dחולקה ל-3^d העתקים מוקטנים של עצמה.
 

הקשר בין הממד למספר העצמים המוקטנים שממלאים את העצם המקורי | תרשים: ויקיפדיה

ככלל, מספר העצמים N שממלאים את העצם המקורי שווה ל-s^D, כאשר s הוא גורם ההקטנה (3 בדוגמה הקודמת) ו-D הוא הממד: N=s^D. כשאנחנו כותבים כאן ובהמשך הכתבה עצם גיאומטרי אנו מתייחסים באופן כללי לצורות דו-ממדיות או לגופים תלת-ממדיים, או לעוד משהו אחר שממדו שונה מ-2 ומ-3.

את הנוסחה הקודמת אפשר לפתור עבור D: $ D = {\log N}/{\log s}$

כאשר N הוא מספר ההעתקים המוקטנים הכלולים בעצם הגיאומטרי המקורי ו-s הוא גורם ההקטנה.

להזכירכם: הלוגריתם הופך את החזקה כמו שחילוק הופך את הכפל. למעלה נעזרנו בכלל החישוב

$$ \log (s^D) = D \log s $$

כעת יש לנו דרך להגדיר את הממד שנסמן ב -D: $ D = {\log N}/{\log s}$ . למספרD  קוראים גם "ממד הדמיון העצמי" (ולפעמים גם ממד האוסדורף) ויש לו חשיבות גדולה. במקרה של עצמים גיאומטריים קלאסיים, כמו הקובייה שלמעלה, ממד הדמיון העצמי שווה לממד במובן של הגיאומטריה הקלאסית: 3 בדוגמת הקובייה, כי  $ {\log 27}/{\log 3}=3$  (זכרו שמלאנו את הקובייה המקורית ב-27=N קוביות מוקטנות ב-s=3).

עכשיו ננסה למצוא דוגמאות יוצאות דופן: צורות גיאומטריות שבהן מספר ההעתקים המוקטנים הכלולים בעצם המקורי אינו  s(כמו בקו הישר שממדו 1), s² (כמו בריבוע שממדו 2) או s³ (כמו בקובייה שממדה 3), כלומר צורות גיאומטריות שיש להן ממד שאינו מספר שלם.

קבוצת קנטור
נחלק קטע לשלושה קטעים שווי אורך ונמחק את הקטע האמצעי. כעת שני הקטעים בצדדים אינם העתקים של הצורה הגדולה, כי בצורה הגדולה יש "רווח" שאינו קיים בקטעים הקטנים. לכן נחלק גם את שני הקטעים שבצדדים לשלושה חלקים שווי אורך ונמחק את הקטע האמצעי, וכך הלאה עד אינסוף: כל פעם נחלק כל קטע לשלושה קטעים שווי אורך ונמחק את הקטע האמצעי. נקבל את התמונה הבאה.
 

קבוצת קנטור. הפרקטל הראשון

ה"אבק" שנקבל אחרי אינסוף צעדים נקרא "קבוצת קנטור" והוא פרקטל: עצם גיאומטרי שכולל העתקים מוקטנים של עצמו. יש לו אינסוף חורים ובכל זאת הוא יותר מכלום. מהו ממד הדמיון שלו?

גורם ההקטנה הוא s=3 (בכל צעד אנחנו מסתכלים בקבוצה שאורכה שליש מהקבוצה הקודמת) ומספר החלקים החדשים הוא  N=2 (בכל צעד אנחנו מקבלים שני עותקים מוקטנים של הצעד הקודם), לכן

$$ D= \log N/ \log s = \log 2 / \log 3 \approx 0.63 $$

ממד הדמיון העצמי של קבוצת קנטור אינו מספר שלם. הוא גדול מ-0 וקטן מ-1. יש לנו כל כך הרבה "חורים" בקבוצה הזו עד שאינטואיטיבית אין פלא שממד הדמיון העצמי שלה קטן מ-1. הממד של כל קטע מלא שניקח בישר הוא 1, כך שקבוצת קנטור היא "פחות" מכל קטע בישר.

הצד השני מפתיע מעט יותר: לנקודה בודדת על הישר יש ממד אפס, וכך גם לכל אוסף סופי של נקודות ולכל אוסף בן מניה של נקודות (לא ניכנס כאן להגדרה, רק נאמר שאפשר לחשוב על "בן מניה" כעל האינסוף הכי קטן). העובדה של קבוצת קנטור יש ממד דמיון עצמי גדול מאפס אומרת שלמעשה יש בה אינסוף נקודות, ואפילו לא האינסוף הכי קטן.

גאורג קנטור היה מתמטיקאי גרמני שחי בשנים 1918-1845 ועסק בתורת הקבוצות ובמושג האינסוף. ב"קבוצת קנטור" הוא יצר את הפרקטל הראשון במתמטיקה, לפני שעוד קראו לו כך. מקור המילה פרקטל בא מהמילה הלטינית "פרקטוס" שמשמעותה "שבור" (המילה האנגלית ל"שבר" היא פרקשן).
 

גאורג קנטור | תמונה: ויקיפדיה

יש דוגמאות רבות נוספות לפרקטלים עם ממד שאינו מספר שלם, למשל משולש שרפינסקי. ואצלב שֶׁרְפִּינסקי היה מתמטיקאי פולני שחי בשנים 1969-1882 ועסק בין השאר בתורת הקבוצות. יש פרקטלים נוספים שקרויים על שמו.

ואצלב שרפינסקי | תמונה: ויקיפדיה

משולש שרפינסקי הוא משולש שווה צלעות שמורכב מארבעה משולשים שווי צלעות שהאמצעי מביניהם נמחק. גם את שלושת המשולשים הנותרים נחלק לעותקים קטנים יותר שמהם נמחק את האמצעי, וכן הלאה.

בניית משולש שרפינסקי, משמאל לימין

בכל שלב, אורך הצלע של כל אחד מהמשולשים החדשים קטן בחצי מאורך הצלע של המשולש שקדם לו, לכן גורם ההקטנה הוא 2. מספר ההעתקים בכל שלב הוא 3. לכן ממד הדמיון של משולש שרפינסקי הוא

$$D=\log N/ \log s = \log 3/\log 2 = \approx 1.58$$

גם כאן אפשר להבין את התוצאה באופן אינטואיטיבי: משולש שרפינסקי מחורר עד כדי כך שהממד שלו קטן מ-2, אך הוא מכיל הרבה מאוד נקודות יחסית לכל צורה חד-ממדית (למשל ישר או אוסף סופי של ישרים) ולכן הממד שלו גדול מ-1.

כעת יש לנו את כל הכלים כדי לחשב את הממד של טנגרם פרקטלי.נעשה את זה בa>כתבה הבאה בסדרה.

ד"ר סבינה שטוקר-סגרה
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע

הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.