המשפט האחרון של פרמה הצית את דמיונם של מתמטיקאים במשך למעלה משלוש מאות שנים. פייר דה-פרמה, שהיה משפטן צרפתי ומתמטיקאי חובב, ניסח את המשפט הפשוט לניסוח ולהבנה באמצע המאה ה-17. הוא כתב את המשפט בשוליים של ספר מתמטיקה והוסיף "גיליתי הוכחה נפלאה למשפט הזה, אך השוליים האלה צרים מלהכילה".

הוכחת המשפט התגלתה כאתגר קשה לפיצוח. דורות של מתמטיקאים ניסו להוכיח אותו וכשלו עד שהגיע אנדרו ויילס. ויילס נולד באנגליה בשנת 1953. כשהיה בן עשר קרא ספר שעסק במשפט האחרון של פרמה והתחיל לנסות להוכיח אותו. אחרי עשרות שנים של מאבק נחוש ודרכי חתחתים הוא הגיע אל ההוכחה המיוחלת. בסרטון הבא, מסדרת הסרטונים של Numberphile, מראיין בריידי הרן את סיימון סינג, שתיעד את ההיסטוריה המרתקת של המשפט, ביים סרט ואף כתב ספר בשם "המשפט האחרון של פרמה".

מהו המשפט האחרון של פרמה?

על פי משפט פיתגורס במשולש ישר זווית שבו הניצבים הם a ו-b והיתר הוא c מתקיים:

a2 + b2 = c2

קל למצוא אינסוף שלשות פיתגוראיות - שלשות של מספרים טבעיים  b ,a ו-c שמקיימים את השיוויון הזה. באופן טבעי עולה השאלה האם יש שלשות של מספרים טבעיים שמקיימים את השיוויון a3 + b3= c3   או את השיוויון a4 + b4 = c4  או באופן כללי את השיוויון  an+ bn= cn כאשר n גדול מ-2.

על פי המשפט האחרון של פרמה לא קיימות שלשות כאלה. ההוכחה של אנדרו ויילס למשפט מורכבת ביותר ומסתמכת על רעיונות ותיאוריות של מתמטיקאים רבים נוספים.

צפייה מהנה! (אחרי הפעלת הסרטון תוכלו לבחור בכתוביות בעברית).
 

הסרטון הופק בידי בריידי הרן, Numberphile. מרואיין: סיימון סינג. תרגום: יפעת אדלר, צוות דוידסון אונליין

נהניתם? צפו בסרטונים הבאים:

הומר סימפסון נגד פייר פרמה.

סרטונים מתמטיים נוספים מבית Numberphile באתר דוידסון אונליין.

סרטונים באתר Numberphile.

יפעת אדלר (בן יעקב)
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

12 תגובות

  • א.עצבר

    בעקבות פרמה...השערות בתורת המספרים.

    השערות בתורת המספרים. מספרים אמיתיים ומשוואות אמיתיות. מספר אמיתי זוגי מתחלק ללא הגבלה ב 2 ,
    ומגיע עד 1
    מספר אמיתי אי זוגי, מתחלק ללא הגבלה
    במספר אי זוגי אחר, ( או בעצמו )
    ומגיע עד 1 משוואות אמיתיות,
    מכילות רק מספרים אמיתיים. שורה ראשונה של
    מספרים אמיתיים,
    תתחיל כך. 2 , 3 , 4, 5 , 7 , 8 , 11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31, 32, 37, 41, שורה שנייה של מספרים אמיתיים, תתחיל כך.
    4, 9, 16, 25, 49, 64, 121, 169, 256, 289 , 361, 529 , 961, 1024 , שורה שלישית של מספרים אמיתיים, תתחיל כך.
    8, 27, 64, 125 , 343 , 512 , 1331 , 2197 , 4096 , 4913 , 6059 , השערות, לגבי משוואות אמיתיות, שמופיעים בהם רק מספרים אמיתיים. בשורה ראשונה יש משוואות אמיתיות ללא הגבלה
    3+5 = 8 , 11-7= 4 , 5-3=2 , 41=37= 4 , 5+11=16 , 13+19=32 , בשורה שנייה יש רק משוואה אחת
    25-9=16 , בשורה שלישית אין משוואות אמיתיות. אי אפשר להוכיח את ההשערה של שורה שלישית, כיוון שזו השערה מסוג "אין"
    אפשר רק לנסות להפריך את ההשערה, על ידי הצגת משוואה אמיתית, משורה זו. אפשר גם להפריך את השערת השורה השנייה, על ידי הצגת משוואה אמיתית נוספת. בהצלחה למפריכים. א.עצבר

  • אנונימי

    גילוי שיטה חדשה הממספרת את אורך הצלעות של משולש ישר זווית

    נבחר מספר גדול מ 1 עבור ניצב ראשון.
    נעלה את המספר הנבחר בחזקת 2 , ונקבל מספר א .
    ממספר א נפחית 1 , ונקבל מספר ב.
    מספר הניצב השני יהיה מחצית מספר ב.
    מספר היתר יהיה, 1 פלוס , מחצית מספר ב. המספר הנבחר קובע את צורת המשולש.
    2.42 יתאים בקירוב טוב, לצורת משולש ישר זווית ושווה ניצבים.
    ככל שהמספר הנבחר יהיה גדול מ 2.42 , כך ההפרש בין אורך הניצבים יגדל. א.עצבר

  • א.עצבר

    קיצור מקוצר של תולדות המתמטיקה

    קיצור מקוצר של תולדות המתמטיקה-------------- -------- ------------------------------------ 1
    מאמר מקורי מאת א.עצבר A . aetzbar מתמטיקה בעברית זה כמתנות
    המלה כמתנות מבוססת על המלה כמות.
    את המובן של המלה כמות, לומדים מהניסיון
    יש כמות של אנשים באסיפה , ויש כמות של כבשים בעדר, ויש כמות של מטבעות בכיס, ויש כמות של זמן הנדרשת כדי להגיע לפגישה, ויש כמות של ככרות לחם. ויש כמות של מרחק בין שתי ערים, ויש כמות של כסף בבנק, ויש כמות של אבטיחים בערימה ויש כמות של שטח בדירה , ויש כמות של קילוגרמים במשקל הגוף , ויש כמות של מטרים באורך מגרש הכדורגל, ויש כמות קילומטרים עד הירח , ויש כמות של ס"מ בגובה האדם, וכן הלאה. לכמות אין גבולות –
    כל כמות נבחרת, יש גדולה ממנה ויש קטנה ממנה. כמתנות היא שפה של כמויות ערטילאיות, והמלים שלה הם מספרים.
    מספר הוא שרבוט קו בעל צורה ייחודית ושם ייחודי, והוא מביע כמות ערטילאית ייחודית.
    כמות ערטילאית היא כמות שלא נתפסת בחושים.
    הרעיון של כמויות ערטילאיות , הוא שמאפשר את הופעת המספרים.
    את המספר הראשון יש צורך להמציא : המצאת המספר הראשון.
    לשרבוט הקו הזה 1 יש צורה ייחודית , שמו המוסכם יהיה אחד, והוא יביע כמות ערטילאית מוחלטת.
    כמות ערטילאית מוחלטת נתפסת מתוך עצמה, וכל מה שאפשר להגיד לגבי 1 מופיע במשפט הבא הכמות הערטילאית של 1 שווה לכמות הערטילאית של 1 . משפט זה נרשם בקיצור כך 1 = 1 1 הוא המספר הראשון, והוא יהיה מספר היצירה של המספרים הגדולים מ 1 , ששמם יהיה מספרחדים , ושל המספרים הקטנים מ 1 ששמם יהיה אנטי מספרחדים..
    קיצור מקוצר של תולדות המתמטיקה-------------- -------- ------------------------------------ 2
    מאמר מקורי מאת א.עצבר A . aetzbar יצירת המספרחדים
    מספרחדים הם מספרים הנוצרים על ידי צבירת 1 ,והם 2 שתיים , 3 שלוש , 4 ארבע , 5 , 6 ,,,,,
    משוואת היצירה של 5 היא 1 בהגדל 5 = 5 המשמעות של משוואת היצירה היא כדלקמן:
    1 ימני ו 5 שמאלי הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 5 אמצעי מתאר כמה פעמים נצבר 1 על
    עצמו, כדי שתתקבל הכמות הערטילאית של 5 שמאלי. ( כמה פעמים ? פם פם פם פם פם ) משוואת היצירה של 1578 היא 1 בהגדל 1578 = 1578
    1 ימני ו 1578 שמאלי הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 1578 אמצעי מתאר כמה פעמים נצבר 1
    על עצמו, כדי שתתקבל הכמות הערטילאית של 1578 שמאלי.
    במשוואת היצירה של מספרחדים חייב להופיע 1 , כיוון שהוא מספר היצירה של כל המספרים.
    התיאור הכללי של משוואת יצירה זו הוא 1 בהגדל א = א כאשר א יכול להיות כל מספרחד
    עם משוואת יצירה זו יוצרים את שורה אינסופית של מספרחדים המתחילה כך 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ,,,, יצירת אנטי מספרחדים
    במשוואת היצירה של אנטי מספרחדים גם יופיע 1 , כיוון שהוא מספר היצירה של כל המספרים.
    יצירת אנטי מספרחדים מבוססת על חלוקה אחידה של 1 , ושימוש בחלק יחיד מחלוקה זו.
    אנטי 2 יסומן 2' , אנטי 3 יסומן 3' , אנטי 5 יסומן 5' ,,,,,,,ואנטי 1578 יסומן 1578' במשוואת היצירה של אנטי מספרחדים תופיע המלה בהקטן במקום המלה בהגדל
    משוואת היצירה של 5' היא 1 בהקטן 5 = 5' המשמעות של משוואת יצירה זו היא כדלקמן.
    1 ו 5' הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 5 מתאר את חלוקת הכמות הערטילאית של 1
    ל 5 חלקים שווים, ( חלק יחיד מחלוקה אחידה זו הוא אנטי חמש , המסומן כך 5' ).
    התיאור הכללי של משוואת יצירה זו הוא 1 בהקטן א = א' כאשר א יכול להיות כל מספרחד
    עם משוואת יצירה זו יוצרים את שורה אינסופית של אנטי מספרחדים המתחילה כך 2' , 3' , 4' , 5'
    קיצור מקוצר של תולדות המתמטיקה-------------- -------- ------------------------------------ 3
    מאמר מקורי מאת א.עצבר A . aetzbar משוואת היצירה של אנטי 1578 היא - 1 בהקטן 1578 = 1578'
    1 ו 1578' הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 1578 מתאר את חלוקת הכמות הערטילאית של 1
    ל 1578 חלקים שווים ( חלק יחיד מחלוקה אחידה זו הוא אנטי 1578 המסומן כך 1578' ) סיכום חלקי
    משוואות היצירה יוצרות שתי שורות אינסופיות של מספרים, וזוהי למעשה כל המצאת המספרים.
    שורת המספרחדים שכמותם הערטילאית גדולה מזו של 1 ............2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,,,,,,,,,,,,,,
    שורת אנטי מספרחדים שכמותם הערטילאית קטנה מזו של 1 .... 2' , 3' , 4' , 5' , 6' ,,,,,,,,,,,,,,,
    ממשואות היצירה נובע כי אנטי א בהגדל א = 1 ( א' בהגדל א = 1 )
    בניגוד למלים , התוכן של מספרים הוא כמותי בלבד.
    אם נשאל כמה זה 17 ? התשובה תהיה משוואת היצירה של 17 כלומר.. ( 1 בהגדל 17 = 17 )
    אם נשאל כמה זה 17' ? התשובה תהיה משוואת היצירה של 17' כלומר..( 1 בהקטן 17 = 17' ) הופעת המספרים המשולבים ( הכוללים מספרחד ואנטי מספרחד)
    בין כל שני מספרים עוקבים (בכל שורה) , יש כמויות ערטילאיות שאפשר לייצגן במספרים משולבים.
    את המספרים המשולבים נכנה בשם...... מספרפמים.
    מספרפם לדוגמה הוא 128 פעמים אנטי 56 , שירשם בקיצור 128פם56' והוא = 2+ 16פם56'
    המספרפם 128פם56' נמצא בין המספרחדים 2 ו 3
    המספרפם 56פם128' נמצא בין אנטי מספרחדים 2' 3'
    בין 2 ו 3 יש אינסוף מספרפמים , לדוגמה ( 18769פם 9127' ) = 2 + 515פם927'
    בין 2' ל 3' יש אינסוף מספרפמים , לדוגמה ( 8396פם17567' )
    עם הופעת המספרפמים הושלמה שפת הכמויות הערטילאיות , או שפת הכמתנות.
    שפת הכמתנות היא שפה פשוטה מאוד, ובהחלט ניתן להשיב על השאלה
    מה יש בשפת הכמתנות ?
    קיצור מקוצר של תולדות המתמטיקה-------------- -------- ------------------------------------ 4
    מאמר מקורי מאת א.עצבר A . aetzbar
    תשובה לשאלה...מה יש בשפת הכמתנות ?
    יש 1 שכמותו הערטילאית מוחלטת ומובנת מתוך עצמה , ויש את המשוואה המוחלטת 1 = 1 יש משוואת יצירה לשורה אינסופית של מספרחדים............. 1 בהגדל א = א
    ממשוואת היצירה נובע , כי הכמות הערטילאית של כל מספרחד, מובנת אך ורק על פי התייחסות
    לכמות הערטילאית של 1 , הנצברת על עצמה.
    המסקנה : 1 הוא מספר מוחלט , וכל מספרחד הוא מספר יחסי. יש משוואת יצירה לשורה אינסופית של אנטי מספרחדים .... 1 בהקטן א = א'
    ממשוואת היצירה נובע , כי הכמות הערטילאית של כל אנטי מספרחד, מובנת אך ורק על פי
    התייחסות לחלוקה האחידה המתבצעת ,על הכמות הערטילאית של 1 .
    המסקנה : 1 הוא מספר מוחלט , וכל אנטי מספרחד הוא מספר יחסי. התוצאה: 1 הוא המספר המוחלט היחידי, וכל שאר המספרים הם יחסיים.
    ומהם שאר המספרים ?
    או מספרחדים, או אנטי מספרחדים. אין עוד מספרים פרט לאלה.
    כל טענה על קיום עוד מספרים נוספים , חייבת בהצגת משוואת יצירה חדשה עם 1
    אבל אין משוואת יצירה חדשה עם 1 , מכיוון שכל מה שאפשר לעשות עם הכמות הערטילאית של 1
    זה ...או צבירה עצמית או חלוקה אחידה.
    לכן, אין עוד מספרים פרט למספרחדים ולאנטי מספרחדים שמהם נובעים המספרפמים.
    שפת הכמתנות הושלמה עם הצגת המספרחדים, האנטי מספרחדים , והמספרפמים. אם נתרגם יחסי לרציונלי , ומוחלט לאי רציונלי ( כלומר לא יחסי) נקבל את המשפט הבא:
    1 הוא המספר האי רציונלי היחידי, וכל שאר המספרים הם רציונליים.
    קיצור מקוצר של תולדות המתמטיקה-------------- -------- ------------------------------------ 5
    מאמר מקורי מאת א.עצבר A . aetzbar
    מה עושים עם שפת הכמתנות ? סופרים וסופרים וסופרים.
    סופרים כמויות בדידות ( כמו שקלים , מכוניות, עצים, צלחות,,,,)
    וסופרים כמויות רציפות כמו גובה 176 ס"מ , או זמן כמו 44 דקות. ויש עוד עיסוק עם שפת הכמתנות והוא כולו תיאורטי .
    העיסוק הזה שייך לכמתנים המקצועיים , והם פשוט חוקרים את שפת הכמתנות מתוך סקרנות ועניין
    לשמו. חקירה זו מגלה מהר את המספרים המקיימים את כלל "אי היכולת"
    כלל אי היכולת.
    המספרחדים 3 5 7 11 13 17 19 וכן הלאה ,הם תוצר של משוואת יצירה בלבד, והם
    מקיימים כלל ברור שניתן לכנותו בשם כלל אי היכולת :
    מספרחד נבחר מאלה, לא יכול ליצור מספרחד גדול ממנו, בדרך של צבירה עצמית.
    גם אנטי מספרחדים 3' , 5' , 7' , 11' , 13' , 17' , 19' וכן הלאה , מקיימים את כלל אי היכולת :
    אנטי מספרחד נבחר מאלה , לא יכול ליצור אנטי מספרחד גדול ממנו, בדרך של צבירה עצמית.
    שורת המספרחדים המקיימת את כלל אי היכולת היא אינסופית, אך אינה ידועה מראש.
    כדי לגלות את מספרחד אי היכולת הבא אחרי 19 ,יש לערוך חישוב צבירה עצמית של 3 , 5 , 7 ,11
    ולבדוק איזה מספרים אי זוגיים גדולים מ 19 הם יוצרים.
    החישוב מפיק את 21 , 25 33 , והוא מדלג על 23 .
    המסקנה: רק 1 בצבירה עצמית מסוגל ליצור את 23 , וזה מספרחד אי היכולת שיבוא אחרי 19. החקירה מתוך עניין לשמו מגלה גם את כללי ההגדל העצמי
    מספרחד בהגדל עצמי מפיק תמיד מספרחד ( 7 בהגדל 7 = 49 )
    אנטי מספרחד בהגדל עצמי מפיק תמיד אנטי מספרחד ( 7' בהגדל 7' = 49' )
    מספרפם בהגדל עצמי מפיק תמיד מספרפם ( 12פם18' בהגדל עצמי = 144פם324')
    כל מספר בהגדל עצמי – שומר על אופיו
    מספרחד נשאר מספרחד, אנטי מספרחד נשאר אנטי מספרחד, ומספרפם נשאר מספרפם.
    קיצור מקוצר של תולדות המתמטיקה-------------- -------- ------------------------------------ 6
    מאמר מקורי מאת א.עצבר A . aetzbar
    בעיית הרצף
    החקירה מתוך עניין לשמו מגלה גם את בעיית הרצף, הנובעת מכללי ההגדל העצמי
    היות שברצף הכמותי הערטילאי – [בין הכמות הערטילאית של 2 ( היוצרת בהגדל עצמי את 4 ) ,
    לבין הכמות הערטילאית של 3 ( היוצרת בהגדל עצמי את 9 ) ] –
    יש רק כמויות ערטילאיות של מספרפמים, היוצרות בהגדל עצמי אך רק מספרפמים,
    ניתן להסיק את המסקנה הבאה .
    לכמויות הערטילאיות שבין 2 ו 3
    שאמורות ליצור בהגדל עצמי את 5 , 6 , 7 , 8
    אין ייצוג מספרי. שורש 5 אינו מספר , אלא כמות ערטילאית חסרת ייצוג מספרי. ( לכן הייצוג שלה מילולי - שורש 5 )
    שורש 8 אינו מספר , אלא כמות ערטילאית חסרת ייצוג מספרי. ( לכן הייצוג שלה מילולי - שורש 8 ) בעיית הרצף קובעת כי שפת הכמתנות היא מושלמת כאשר מדובר בכמויות בדידות, והיא אינה
    מושלמת כאשר מדובר בכמויות רציפות.( יש כמויות רציפות שאין להם ייצוג מספרי)
    כמויות רציפות מופיעות בתחום הגיאומטרי אורך , שטח, נפח , ובתחום הפיזיקלי זמן, אנרגיה, הדוגמה המפורסמת לכמויות רציפות שאין להם ייצוג מספרי, מופיעה בתחום הגיאומטרי.
    אי אפשר לייצג בכמויות ערטילאיות של מספרים, את האורכים הרציפים של צלע הריבוע ואלכסונו.
    אם נבחר כמות ערטילאית לייצוג אורך הצלע, לא תהיה לנו כמות ערטילאית לייצוג אורך האלכסון.
    אם נבחר מספר לייצוג אורך הצלע, לא יהיה לנו מספר לייצוג אורך האלכסון.
    ואם נבחר מספר לייצוג אורך האלכסון, לא יהיה לנו מספר לייצוג אורך הצלע. החקירה של שפת הכמתנות מתוך עניין לשמו ידועה ומפורסמת, וכל המחפש אותה ימצאנה.
    לפעמים, יש לחקירה כזו שימוש מעשי .
    קיצור מקוצר של תולדות המתמטיקה-------------- -------- ------------------------------------ 7
    מאמר מקורי מאת א.עצבר A . aetzbar מבחן נכון לא נכון ( מבחן נלנ)
    התוצאות של חקירה כמתנית מתוך עניין לשמו, חייבות לעמוד במבחן נלנ .
    הטענה כי שורות המספרים המקיימים את כלל אי היכולת היא אינסופית,חייבת לעמוד במבחן נלנ.
    כללי ההגדל העצמי חייבים לעמוד במבחן נלנ.
    הטענה האומרת ..אין משוואות מסוג אאא + בבב = גגג חייבת לעמוד במבחן נלנ.
    מבחן נלנ שייך לחקירה כמתנית מתוך עניין לשמו, אבל עד היום לא ברור מהו מבחן נלנ ? אי אפשר לענות על השאלה...מהו מבחן נלנ ? מכיוון שהתשובה חייבת לעמוד במבחן נלנ. א.עצבר
    8/2015

  • א.עצבר

    המשפט האחרון של פרמה - אינו ניתן להוכחה.

    טענה מסוג "יש" וטענה מסוג "אין" המשפט האחרון של פרמה הוא בגדר של טענה מסוג "אין"
    טענה מסוג "אין" תיתפס תמיד כניחוש לא מבוסס , ללא כל אפשרות להוכיח אותה.
    איך אפשר להוכיח "שאין משהו" ?
    האם אפשר להוכיח כי במחסן אינסופי של גרגרי אורז , אין גרגרי אפונה ?
    טענה מסוג "אין" אפשר רק להפריך.
    אם חוקר עקשן יבלה שנים רבות במחסן האינסופי האמור, והוא ימצא פתאום גרגיר אפונה –
    אז הוא יכריז בהתלהבות "יש גרגיר אפונה" ובכך הוא יפריך את הטענה מסוג "אין" סיכום: טענה מסוג "אין" אינה ניתנת להוכחה, והיא תקפה מיד עם הופעתה.
    טענה מסוג "אין" מועמדת תמיד להפרכה עם תגלית "יש"
    אם תגלית "יש" עוד לא הופיעה , טענת "אין" ממשיכה להיות תקפה. המשפט האחרון של פרמה הוא בגדר של טענה מסוג "אין"
    טענה זו אומרת…אין משוואות מסוג אאא + בבב = גגג
    טענה זו תקפה מיד עם הופעתה ואינה ניתנת להוכחה.
    טענה זו מועמדת להפרכה עם תגלית "יש"
    היות ועד היום לא נתגלתה משוואה מסוג אאא + בבב = גגג הטענה ממשיכה להיות תקפה. שאלות שכל מתעניין ישיב לעצמו.
    איך לא הבחינו המתמטיקאים שהמשפט האחרון של פרמה הוא טענה מסוג "אין" ?
    מה הטעם לניסיונות הוכחה במשך 500 שנה , את מה שאי אפשר להוכיח.
    איך זה יתכן שקיימת הסכמה להוכחות חלקיות, ולבסוף הסכמה להוכחה כללית גורפת.
    איך אפשר להוכיח כי "אין משהו " ?
    האם פרמה ידע שהוא זורק לחלל העולם טענה מסוג "אין" ?
    האם פרמה ידע כי המתמטיקאים לא יבחינו שטענתו היא מסוג "אין" ?
    האם פרמה ידע כי הטענה שלו תציג בהכרח שאלה נוקבת…. איך מזהים הוכחה מתמטית ? א.עצבר

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןיפעת אדלר

    שלום א. ותודה על שאלתך

    כדי להוכיח טענות מסוג "אין" משתמשים לעיתים קרובות בשיטת הוכחה שנקראת "הוכחה בדרך השלילה".
    נניח שאנחנו רוצים להוכיח ש"לא קיים X".
    בשיטת ההוכחה בדרך השלילה אנחנו מניחים שהטענה אינה נכונה. כלומר, במקרה שלנו אנחנו מניחים ש"קיים X". במהלך ההוכחה אנחנו מראים שההנחה שלנו מביאה אותנו לסתירה.
    ומכיוון שלא תתכן סתירה - אנחנו מסיקים מכך שההנחה שלנו שגויה. מכיוון שההנחה היתה "קיים X" והוכחנו שההנחה הזאת שגויה - אנחנו מסיקים מכך ש"לא קיים X". גם המשפט האחרון של פרמה הוכח בעזרת הוכחה בדרך השלילה. מתמטיקאים הוכיחו שקיום פתרון למשוואה של פרמה סותר השערה של שני מתמטיקאים יפנים שנקראה "השערת טניאמה שימורה". אנדרו ויילס הוכיח את השערת טניאמה שימורה וכך שיתוף פעולה בינלאומי של מתמטיקאים הוביל בסופו של דבר להוכחה של המשפט האחרון של פרמה. מצרפת קישורים לכמה דוגמאות להוכחות בדרך השלילה:
    הוכחה בדרך השלילה לכך שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים:
    https://he.wikibooks.org/wiki/%D7%9E%D7%91%D7%95%D7%90_%D7%9C%D7%9E%D7%A... הוכחה בדרך השלילה לכך ששורש 2 אינו מספר רציונלי:
    http://davidson.weizmann.ac.il/online/mathcircle/articles/%D7%9E%D7%A1%D... בברכה,
    יפעת

  • א.עצבר

    הבהרת עמדתי בדרך של המחשה

    הבהרת עמדתי בדרך של המחשה נתון מחסן אינסופי של קוביות, הבנויות מקוביות יסודיות זעירות.
    הקובייה הראשונה בנויה מ 8 קוביות יסודיות זעירות
    הקובייה השנייה בנויה מ 27 קוביות יסודיות זעירות
    הקובייה השלישית בנויה מ 64 קוביות יסודיות זעירות, וכך הלאה ללא סוף
    המטרה : לבחור שתי קוביות , לפרק אותן לקוביות יסודיות , ומהכמות הכוללת המתקבלת
    של קוביות יסודיות , יש לבנות קובייה חדשה.
    טענת ראובן:............................ אין כל אפשרות להשיג את המטרה...........................
    לוי: איך אתה יודע זאת ? הרי מדובר באינסוף אפשרויות של בחירת קוביות.
    ראובן: אני יודע, ואם אינך מאמין לי , אתה מוזמן לבחור שתי קוביות , לפרק אותן לקוביות יסודיות
    ומהכמות הכוללת של קוביות יסודיות שהתקבלה, תרכיב קובייה חדשה.
    לוי: במקום לשלוח אותי " לעבודה מפרכת של פירוק והרכבה של קוביות יסודיות" תוכיח לי כי אין כל אפשרות להשיג את המטרה .
    ראובן: הטענה שלי היא מסוג "אין" ואי אפשר להוכיח טענה מסוג "אין"
    לוי: מדוע אי אפשר להוכיח טענה מסוג "אין"
    ראובן: אני צריך לערוך אינסוף ניסיונות כושלים של פירוק והרכבה, וזה בלתי אפשרי. לכן הצעתי לך
    לערוך ניסיון מוצלח יחיד, ובכך תפריך את טענתי.
    לוי: גם זה לא פשוט....להצליח בניסיון יחיד.
    ראובן: ואולי ישחק לך המזל ותצליח, אחרי 12 ניסיונות .
    לוי: עכשיו אני מבין שטענה מסוג "אין" אינה ניתנת להוכחה, וכל ניסיון להוכיח אותה הוא בזבוז זמן .
    ראובן: טענה מסוג "אין" תקפה מיד עם הופעתה, ואפשר להפריך אותה עם "תגלית יש יחידה "
    לוי: עלי למצוא קוביה באורך צלע א , אשר כמות הקוביות היסודיות שלה הוא אאא
    לאחר מכן עלי למצוא קובייה באורך צלע ב , אשר כמות הקוביות היסודיות שלה הוא בבב
    ומהסכום הכולל של הקוביות היסודיות עלי לבנות קובייה שאורך צלעה ג , ואשר סכום הקוביות היסודיות שלה הוא אאא + בבב.
    ראובן: אם תצליח אז הפרכת את טענתי, ואם לא תצליח אז טענתי תקפה .
    לוי : אז תסביר לי בבקשה, מדוע ניסו מתמטיקאים להוכיח את המשפט האחרון של פרמה ?
    הרי המשפט הזה הוא בגדר של טענת "אין"
    ראובן: אני לא יודע.
    א.עצבר

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןיפעת אדלר

    כמו שכתבתי בתשובה הקודמת

    יש דרכים להוכיח טענות מסוג "אין" בלי צורך לעבור על כל האפשרויות ולפסול אותן.
    יש גם דברים להוכיח טענות מסוג "לכל" בלי צורך לעבור על כל האפשרויות ולהוכיח אותן.
    וזה היופי שבמתמטיקה.

  • א.עצבר

    אפשר לוותר על המושג "הוכחה בדרך השלילה"

    כל הוכחה בדרך השלילה תצליח, אם כבר קיימת הוכחה בדרך החיוב.
    לכן, ההוכחה בשלילה פשוט מיותרת. מהמצאת המספרים נובע, כי שבר כפול עצמו מניב תמיד שבר ולא מספר טבעי.
    לכן, לא קיים שבר המייצג אורך צלע של ריבוע – ששטחו = 2
    ( זוהי הוכחה בדרך החיוב ששורש 2 הוא אי רציונלי)
    ההוכחה בשלילה ששורש 2 הוא מספר אי רציונלי תמיד תצליח, מכיוון שכבר קיימת הוכחה בחיוב ששורש 2 הוא אי רציונלי.
    ואם זה המצב, ההוכחה בשלילה פשוט מיותרת. אפשר להוכיח בדרך החיוב, כי יש מספרים אי זוגיים , שרק 1 יכול ליצור בדרך של צבירה עצמית.
    רק 1 מסוגל ליצור את 3 בדרך של צבירה עצמית, ולכן 3 הוא מספר ראשוני.
    המספר האי זוגי הקטן ביותר אשר 3 מסוגל ליצור בדרך של צבירה עצמית, הוא 9
    3 חייב לדלג על 5 ועל 7 , ומכאן נובע כי רק 1 מסוגל ליצור את 5 ואת 7 בדרך של צבירה עצמית.
    לכן תמיד יהיו מספרים שרק 1 יכול ליצור בדרך של צבירה עצמית, ולאלה אין סוף.
    ואם בדרך החיוב יודעים כי יש אינסוף מספרים ראשוניים, מה הטעם ללכת אל דרך השלילה ולהגיע לסתירה. הרי ברור ומובן מאליו כי הסתירה תופיע.
    כדי להוכיח בדרך השלילה כי אין משוואות מסוג אאא + בבב = גגג צריך קודם כל להוכיח בדרך החיוב שאין משוואות כאלו. הוכחה כזו בלתי אפשרית, מכיוון שאי אפשר להוכיח "שאין משהו". מכאן ברור חוסר הטעם בכל הניסיונות להוכיח את טענת פרמה, וזאת במשך מאות שנים.
    הטענה " אין משוואות מסוג אאא + בבב = גגג " תקפה מיד עם הופעתה, ורק אם ימצאו משוואה מהסוג הנדון – הטענה תופרך. עד לרגע זה הטענה תקפה, מכיוון שלא נמצאה משוואה כזו.
    סיכום: היות וההצלחה של הוכחה בדרך השלילה, תלויה בקיומה של הוכחה בדרך החיוב, אפשר
    לוותר על השימוש במושג " הוכחה בדרך השלילה" א.עצבר

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןיפעת אדלר

    "הוכחה בדרך השלילה" היא כלי מתמטי חשוב מאוד

    <p>
    כל הוכחה צריכה להיות מדוייקת כדי להיות תקפה, וצריכה להשתמש במונחים מתמטיים מדוייקים. ההגדרה של &quot;שבר&quot; למשל היא מנה של שני מספרים שלמים (כאשר המספר השני אינו אפס). ולכן גם 2 חלקי 1 הוא שבר וגם 10 חלקי 2 הוא שבר. ולכן, לדוגמה, הטענה שלך ש&quot;שבר כפול עצמו מניב תמיד שבר ולא מספר טבעי.&quot; אינה נכונה.</p>

  • א.עצבר

    קישור לנושא...שבר כפול שבר מניב תמיד שבר (שבר = מספרפם)

    http://davidson.weizmann.ac.il/online/mathcircle/articles/%D7%9E%D7%A1%D...

  • ולנה

    הערת השוליים של פרמה

    אתם יכולים להסביר לי את זה בסדר יותר קל או לתת לי קישור של אתר אחר?

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןיפעת אדלר

    המשפט האחרון של פרמה

    שלום ולנה

    תודה על השאלה.

    המשפט האחרון של פרמה הוא משפט בתורת המספרים שאומר כך:

    עבור n טבעי גדול מ-2, לא קיימים מספרים טבעיים (גדולים מ-0) a,b,c שמקיימים את המשוואה:
    a^n+b^n=c^n (כאשר הסימון ^ הוא סימן החזקה).

    כלומר, לא קיימים a,b,c מספרים טבעיים גדולים מ-0 שמקיימים את המשוואה
    a^3+b^3=c^3
    לא קיימים a,b,c מספרים טבעיים גדולים מ-0 שמקיימים את המשוואה
    a^4+b^4=c^4
    וכן הלאה עבור כל n טבעי גדול מ-2.

    פרמה ניסח את המשפט אבל לא כתב את ההוכחה עבורו. ורק לאחר מאות שנים הצליח מתמטיקאי בשם אנדרו ויילס למצוא הוכחה למשפט זה.

    המשפט האחרון של פרמה והסיפור שעומד מאחורי גילוי הוכחה עבורו מופיעים בסרטון.

    מקווה שעכשיו זה קצת יותר ברור.
    במידה שיש לך שאלות נוספות - נשמח לעמוד לרשותך.
    בברכה,
    יפעת