75 שנה למותו של דויד הילברט, מתמטיקאי רב השפעה במגוון עצום של תחומים, מהגיאומטריה של אוקלידס ועד היחסות של איינשטיין

דמיינו לעצמכם איש בעל ידע עצום, עם מבט עמוק וחודר, כוח ריכוז אינסופי, ותשוקה אדירה, המסוגל לקחת כל נושא, ולו המורכב ביותר, לפרק אותו לחלקיו הקטנים והיסודיים ולבנות אותו מהתחלה בדיוק כה רב ובאופן מסודר ומאורגן להפליא עד שאין אפילו דבר קטנטן מיותר או שאיננו במקום. המתמטיקאי הגרמני דויד הילברט (Hilbert) נחשב לאחד מגדולי המתמטיקאים שחיו אי-פעם והוא היה בדיוק איש כזה.

הילברט נולד ב-23 בינואר 1862, למשפחה אמידה. אביו אוטו היה שופט, ואמו, מריה תרזה ארדטמן הייתה אישה משכילה, בתו של סוחר מהעיר קניגסברג. היא הוקסמה מאסטרונומיה, פיתחה אובססיה למספרים ראשוניים והייתה בקיאה ומלומדת בפילוסופיה. זה כנראה לא מקרה, אם כך, שבנה "יחזיר" לימים את יסודות הפילוסופיה לתוך המתמטיקה. למעשה, הוא אולי הראשון שעשה זאת מאז אוקלידס היווני.

החזיר את היסודות הפילוסופיים למתמטיקה, ופרץ גבולות בתחומים רבים. הילברט | צילום: Science Photo Library
החזיר את היסודות הפילוסופיים למתמטיקה, ופרץ גבולות בתחומים רבים. הילברט | צילום: Science Photo Library

סופו של תור הזהב

הילברט לא בלט כלל בבית הספר והחל לגלות ניצוצות של גאונות מתמטית רק בסוף לימודי התיכון שלו ואחר-כך באוניברסיטה של קניגסברג. מוריו מהשנים האחרונות בתיכון שמו לב לתכונתו הייחודית – הבנה מדויקת ובהירה מאוד שחודרת לנבכי היסודות הבסיסיים ביותר של התיאוריות המתמטיות.

בשנת 1885 קיבל הילברט תואר דוקטור בפיזיקה ופילוסופיה ופיתח קריירה מתמטית מזהירה כחוקר  באוניברסיטה של קניגסברג ואחר-כך באוניברסיטת גטינגן,

הוא פיתח יחסי חברות ועבודה בין השאר עם המתמטיקאים הגרמנים והאוסטרים המובילים של אותם הימים – פליקס קליין (Klein), גיאורג פיק (Georg Pick),  ליאופולד קרוניקר (Kronecker) והרמן מינקובסקי (Minkowski). היו אלה ימי "תור הזהב" של מתמטיקאים ומדענים מגרמניה ואוסטריה, בעיקר בגטינגן. כל אחד מהענקים הללו קידם את המתמטיקה בקצב מסחרר עד שעליית הנאצים שמה קץ ל"מעצמת המתמטיקה". הילברט נגעל כל כך מהחורבן התרבותי והאינטלקטואלי שהמיטו הנאצים על גרמניה מיד עם עלייתם לשלטון, שעל שאלת שר החינוך הגרמני ב-1934 אם המכון למתמטיקה בגטינגן באמת סבל מעזיבת היהודים, השיב בסרקזם: "סבל?! המכון כבר בכלל לא קיים…".

מרחבים מופשטים

כבר בראשית דרכו בלט הילברט ביכולתו לפשט בעיות מתמטיות ולבנות מבנים מתמטיים מורכבים שנשענים על יסודות ברורים ומדויקים. עבודותיו הראשונות עסקו בתורת האינווריאנטים (invariants) וכבר בה הוא הניח תשתית בסיסית ויסודית להבנת התחום. הילברט עסק רבות גם בתורת הקבוצות, באנליזה פונקציונלית ובתחומים רבים נוספים. בשנת 1897 פרסם ספר רב חשיבות בתורת המספרים האלגבריים והוא נחשב לאחד מאבות התחום בעידן המודרני.

עבודה חשובה נוספת של הילברט היא בתחום הגיאומטריה, ובה הוא למעשה סיכם את עבודותיהם של מתמטיקאים רבים בצורה קוהרנטית, יסודית וברורה. הילברט הניח 20 אקסיומות (הנחות יסוד) והראה איך בחירה נבונה מתוכן של קבוצות אקסיומות שונות מאפשרת ליצור כמעט כל מבנה גיאומטרי, מורכב ככל שיהיה.

עבודה זו כנראה הובילה אותו ליצור את מה שמכונה היום מרחבי הילברט (Hilbert Spaces). מרחב הילברט אינו מקום גיאומטרי שאפשר לצפות בו כמו קובייה או כדור, אלא מושג מופשט המשמש כלי מתמטי לחקר סוג מסוים של פונקציות. מרחבי הילברט הניחו את התשתית המתמטית העיקרית לכל תורת הקוונטים שהתפתחה לאחר מכן.

זו לא הייתה תרומתו המתמטית היחידה של הילברט להתפתחות הפיזיקה המודרנית. הוא פיתח במקביל לאלברט איינשטיין את תורת היחסות הכללית.

בשנת 1900, בוועידת פריז של הקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים, הציג הילברט עשר בעיות "פתוחות" – בעיות מתמטיות שטרם נפתרו. הוא חשב שאלו הן בעיות יסוד, ושפתרונן יוביל להתפתחויות רבות ערך במתמטיקה. בעיות אלו עוררו הד כה חזק עד שהילברט הוסיף עליהן עוד 13 בעיות. 23 הבעיות של הילברט ראו אור בספר והפכו עד מהרה לשם דבר. עד היום נפתרו עשר מהן ומתמטיקאים רבים בכל העולם שוקדים על דרכים לפתור את 13 הבעיות הנותרות.

הילברט לא רק הבין את המתמטיקה על בוריה וידע לכתוב מאמרים בהירים לקהילה המתמטית, הוא גם נודע כמורה מחונן בעל יכולת להדגים בצורה נהירה מאוד רעיונות מורכבים במתמטיקה. בין השאר הסביר הילברט את רעיון האינסוף לפי מודל של בית מלון המארח אינסוף אורחים.

צפו בסרטון על "המלון של הילברט":

חייבים לדעת

הילברט הלך לעולמו ב-14 בפברואר 1943 ונקבר בעיר גטינגן שבה התגורר ועבד כמעט כל חייו. על מצבתו חקוקות מילותיו הסיום בנאום הפרישה שלו בכינוס בשנת 1930:

Wir müssen wissen.

Wir werden wissen.

"אנחנו חייבים לדעת. אנחנו אכן נדע". זו הייתה תשובתו הפילוסופית ואמונתו האופטימית שלמתמטיקה יש כלים לפתור כל בעיה שתתעורר. המשפט הזה היה תגובה לדברי הרופא הגרמני, אמיל דו-בואה ריימונד (du Bois-Reymond) שטען שיש דברים שלא נדע לעולם, או במילותיו שלו, בלטינית: ignoramus et ignorabimus – אנו לא יודעים ולא נדע.

 אירוניה גדולה היא שבאותו כינוס עצמו מתמטיקאי אוסטרי אחר, קורט גדל (Gödel) הנחית על מכה ניצחת על תפיסתו זו של הילברט, כאשר הוכיח שאפילו במתמטיקה יש טענות שאי אפשר להוכיח או להפריך.

השאיר שורה ארוכה של בעיות בלתי פתורות. קברו של הילברט בגטינגן | צילום: Kassandro, ויקיפדיה
השאיר שורה ארוכה של בעיות בלתי פתורות. קברו של הילברט בגטינגן | צילום: Kassandro, ויקיפדיה

2 תגובות

  • א.עצבר

    אם חירות הביטוי במדע חשובה למכון דוידסון, השאירו תגובה זו

    מוזר שהילברט הציע 20 אכסיומות עבור הגיאומטריה האוקלידית, שהיא הגיאומטריה של הקו הישר. למעשה מספיקות 2 אכסיומות לגיאומטריה האוקלידית,והאכסיומה השלישית דרושה עבור הגיאומטריה של קווים עגולים סגורים.
    אכסיומה בשבילי היא ידיעה טבעית המובנת מאליה. ידיעה טבעית ראשונה המתאימה לכל סוגי הגיאומטריה.
    המושג היסודי של הגיאומטריה הוא קו ,ולכל קו יש אורך ממשי וצורה.
    אורך ממשי של קו נביע עם כמות של מ"מ, ואת צורת הקו נתפוס בעזרת מבט פשוט.
    רוחב ממשי של קו הוא אפס מ"מ. צורות קווים יש ללא הגבלה, ואנו נדון תחילה בקו הפשוט ביותר שניתן להמחישו עם שרוך מתוח. לקו זה יש צורה אחידה ייחודית הנתפסת במבט, ושמה המוסכם .. ישר. ידיעה טבעית שנייה, המתאימה לגיאומטריה האוקלידית.
    כל שתי נקודות של קו ישר, נמצאות במרחק הכי קצר זו מזו.
    יש להדגיש כי לנקודה אין אורך ממשי, אין רוחב ממשי, ואין צורה , ואפשר להחליף את מושג הנקודה במושג של מקום. וכך מתפתחת לה הגיאומטריה האוקלידית.
    שני קווים ישרים, היוצאים מנקודה משותפת לשני כיוונים אחרים, יוצרים צורה ייחודית הנתפסת במבט, ושמה המוסכם זווית.
    במקביל לתפיסת צורת הזווית במבט, אפשר להתאים לכל זווית מספר צורה, כאשר
    הופכים אותה למשולש שווה שוקיים. ועתה אל צורה חדשה של שני קווים ישרים שאין להם נקודה משותפת.
    בצורה זו – המרחק הכי קצר בין שני הקווים הישרים , הוא קבוע בכל מקום שנבחר.
    השם של צורה זו – קווים מקבילים זה לזה. זווית בעלת צורה ייחודית ושמה המוסכם זווית ישרה.
    הקו המציג את המרחק הקבוע בין שני קווים מקבילים , יוצר עם כל קו מאלה, זווית בעלת צורה ייחודית, ושמה המוסכם זווית ישרה. שטח בעל צורה ישרה – או מישור
    השטח בין שני קווים מקבילים, שכל שתי נקודות שלו נמצאות במרחק הכי קצר זו מזו, הוא שטח בעל צורה אחידה ייחודית, ושמו המוסכם שטח ישר. מצולעים – שם כללי לצורות הבנויות מקטעי קו ישר היוצרים קו סגור, המכיל שטח.
    לכל מצולע אפשר להתאים מספר צורה. הנובע מצירוף כמויות של היקף ושטח. ידיעה טבעית שלישית, המתאימה לגיאומטריה העצברית.
    לכל קו עגול סגור יש אורך ממשי ייחודי, וצורה אחידה ייחודית.
    מצירוף הכמויות של אורך קו עגול סגור ואורך קוטרו הישר נובע מספר צורה ייחודי.
    מספרי הצורה האלה נמצאים בתחום צר בין 3.1416 ל 3.164 , והם מקיימים את הכלל, ככל שהקוטר גדול יותר, מספר הצורה של קטן יותר.

  • אינפיניטי

    לא מדוייק וזה בלשון המעטה...

    ציטוט מהכתבה:" בין השאר הסביר הילברט את רעיון האינסוף לפי מודל של בית מלון המארח אינסוף אורחים"
    ובכן, זה לא כל רעיון האינסוף, מפני שאפשריים סוגי אינסוף נוספים שאי-אפשר להוסיף עליהם כמו לדוגמה חלל אינסופי
    מכל הכיוונים.