75 שנה למותו של דויד הילברט, מתמטיקאי רב השפעה במגוון עצום של תחומים, מהגיאומטריה של אוקלידס ועד היחסות של איינשטיין

דמיינו לעצמכם איש בעל ידע עצום, עם מבט עמוק וחודר, כוח ריכוז אינסופי, ותשוקה אדירה, המסוגל לקחת כל נושא, ולו המורכב ביותר, לפרק אותו לחלקיו הקטנים והיסודיים ולבנות אותו מהתחלה בדיוק כה רב ובאופן מסודר ומאורגן להפליא עד שאין אפילו דבר קטנטן מיותר או שאיננו במקום. המתמטיקאי הגרמני דויד הילברט (Hilbert) נחשב לאחד מגדולי המתמטיקאים שחיו אי-פעם והוא היה בדיוק איש כזה.

הילברט נולד ב-23 בינואר 1862, למשפחה אמידה. אביו אוטו היה שופט, ואמו, מריה תרזה ארדטמן הייתה אישה משכילה, בתו של סוחר מהעיר קניגסברג. היא הוקסמה מאסטרונומיה, פיתחה אובססיה למספרים ראשוניים והייתה בקיאה ומלומדת בפילוסופיה. זה כנראה לא מקרה, אם כך, שבנה "יחזיר" לימים את יסודות הפילוסופיה לתוך המתמטיקה. למעשה, הוא אולי הראשון שעשה זאת מאז אוקלידס היווני.

החזיר את היסודות הפילוסופיים למתמטיקה, ופרץ גבולות בתחומים רבים. הילברט | צילום: Science Photo Library
החזיר את היסודות הפילוסופיים למתמטיקה, ופרץ גבולות בתחומים רבים. הילברט | צילום: Science Photo Library

סופו של תור הזהב

הילברט לא בלט כלל בבית הספר והחל לגלות ניצוצות של גאונות מתמטית רק בסוף לימודי התיכון שלו ואחר-כך באוניברסיטה של קניגסברג. מוריו מהשנים האחרונות בתיכון שמו לב לתכונתו הייחודית – הבנה מדויקת ובהירה מאוד שחודרת לנבכי היסודות הבסיסיים ביותר של התיאוריות המתמטיות.

בשנת 1885 קיבל הילברט תואר דוקטור בפיזיקה ופילוסופיה ופיתח קריירה מתמטית מזהירה כחוקר  באוניברסיטה של קניגסברג ואחר-כך באוניברסיטת גטינגן,

הוא פיתח יחסי חברות ועבודה בין השאר עם המתמטיקאים הגרמנים והאוסטרים המובילים של אותם הימים – פליקס קליין (Klein), גיאורג פיק (Georg Pick),  ליאופולד קרוניקר (Kronecker) והרמן מינקובסקי (Minkowski). היו אלה ימי "תור הזהב" של מתמטיקאים ומדענים מגרמניה ואוסטריה, בעיקר בגטינגן. כל אחד מהענקים הללו קידם את המתמטיקה בקצב מסחרר עד שעליית הנאצים שמה קץ ל"מעצמת המתמטיקה". הילברט נגעל כל כך מהחורבן התרבותי והאינטלקטואלי שהמיטו הנאצים על גרמניה מיד עם עלייתם לשלטון, שעל שאלת שר החינוך הגרמני ב-1934 אם המכון למתמטיקה בגטינגן באמת סבל מעזיבת היהודים, השיב בסרקזם: "סבל?! המכון כבר בכלל לא קיים…".

מרחבים מופשטים

כבר בראשית דרכו בלט הילברט ביכולתו לפשט בעיות מתמטיות ולבנות מבנים מתמטיים מורכבים שנשענים על יסודות ברורים ומדויקים. עבודותיו הראשונות עסקו בתורת האינווריאנטים (invariants) וכבר בה הוא הניח תשתית בסיסית ויסודית להבנת התחום. הילברט עסק רבות גם בתורת הקבוצות, באנליזה פונקציונלית ובתחומים רבים נוספים. בשנת 1897 פרסם ספר רב חשיבות בתורת המספרים האלגבריים והוא נחשב לאחד מאבות התחום בעידן המודרני.

עבודה חשובה נוספת של הילברט היא בתחום הגיאומטריה, ובה הוא למעשה סיכם את עבודותיהם של מתמטיקאים רבים בצורה קוהרנטית, יסודית וברורה. הילברט הניח 20 אקסיומות (הנחות יסוד) והראה איך בחירה נבונה מתוכן של קבוצות אקסיומות שונות מאפשרת ליצור כמעט כל מבנה גיאומטרי, מורכב ככל שיהיה.

עבודה זו כנראה הובילה אותו ליצור את מה שמכונה היום מרחבי הילברט (Hilbert Spaces). מרחב הילברט אינו מקום גיאומטרי שאפשר לצפות בו כמו קובייה או כדור, אלא מושג מופשט המשמש כלי מתמטי לחקר סוג מסוים של פונקציות. מרחבי הילברט הניחו את התשתית המתמטית העיקרית לכל תורת הקוונטים שהתפתחה לאחר מכן.

זו לא הייתה תרומתו המתמטית היחידה של הילברט להתפתחות הפיזיקה המודרנית. הוא פיתח במקביל לאלברט איינשטיין את תורת היחסות הכללית.

בשנת 1900, בוועידת פריז של הקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים, הציג הילברט עשר בעיות "פתוחות" – בעיות מתמטיות שטרם נפתרו. הוא חשב שאלו הן בעיות יסוד, ושפתרונן יוביל להתפתחויות רבות ערך במתמטיקה. בעיות אלו עוררו הד כה חזק עד שהילברט הוסיף עליהן עוד 13 בעיות. 23 הבעיות של הילברט ראו אור בספר והפכו עד מהרה לשם דבר. עד היום נפתרו עשר מהן ומתמטיקאים רבים בכל העולם שוקדים על דרכים לפתור את 13 הבעיות הנותרות.

הילברט לא רק הבין את המתמטיקה על בוריה וידע לכתוב מאמרים בהירים לקהילה המתמטית, הוא גם נודע כמורה מחונן בעל יכולת להדגים בצורה נהירה מאוד רעיונות מורכבים במתמטיקה. בין השאר הסביר הילברט את רעיון האינסוף לפי מודל של בית מלון המארח אינסוף אורחים.

צפו בסרטון על "המלון של הילברט":

חייבים לדעת

הילברט הלך לעולמו ב-14 בפברואר 1943 ונקבר בעיר גטינגן שבה התגורר ועבד כמעט כל חייו. על מצבתו חקוקות מילותיו הסיום בנאום הפרישה שלו בכינוס בשנת 1930:

Wir müssen wissen.

Wir werden wissen.

"אנחנו חייבים לדעת. אנחנו אכן נדע". זו הייתה תשובתו הפילוסופית ואמונתו האופטימית שלמתמטיקה יש כלים לפתור כל בעיה שתתעורר. המשפט הזה היה תגובה לדברי הרופא הגרמני, אמיל דו-בואה ריימונד (du Bois-Reymond) שטען שיש דברים שלא נדע לעולם, או במילותיו שלו, בלטינית: ignoramus et ignorabimus – אנו לא יודעים ולא נדע.

 אירוניה גדולה היא שבאותו כינוס עצמו מתמטיקאי אוסטרי אחר, קורט גדל (Gödel) הנחית על מכה ניצחת על תפיסתו זו של הילברט, כאשר הוכיח שאפילו במתמטיקה יש טענות שאי אפשר להוכיח או להפריך.

השאיר שורה ארוכה של בעיות בלתי פתורות. קברו של הילברט בגטינגן | צילום: Kassandro, ויקיפדיה
השאיר שורה ארוכה של בעיות בלתי פתורות. קברו של הילברט בגטינגן | צילום: Kassandro, ויקיפדיה

תגובה אחת

  • אינפיניטי

    לא מדוייק וזה בלשון המעטה...

    ציטוט מהכתבה:" בין השאר הסביר הילברט את רעיון האינסוף לפי מודל של בית מלון המארח אינסוף אורחים"
    ובכן, זה לא כל רעיון האינסוף, מפני שאפשריים סוגי אינסוף נוספים שאי-אפשר להוסיף עליהם כמו לדוגמה חלל אינסופי
    מכל הכיוונים.