הוא מילא תפקיד מרכזי במהפכות המדעיות והטכנולוגיות שעיצבו את עולמנו, היה חלק בלתי נפרד מעבודתם של מדענים, מהנדסים וטכנאים, ואפילו טס לירח, אך רבים מעולם לא שמעו עליו. 400 שנה להמצאתו של סרגל החישוב

הזמן הוא תחילת המאה ה-17 והמהפכה המדעית כבר החלה, עם התגלית המרעישה שפרסם קופרניקוס ( Copernicus) כחצי מאה קודם, שכדור הארץ ושאר כוכבי הלכת מקיפים את השמש. קופרניקוס שיער כי המסלולים של כוכבי הלכת הם מעגלים מושלמים, אך יוהנס קפלר (Kepler) היה בטוח שקופרניקוס טועה לגבי צורת המסלולים, ושכוכבי הלכת אינם נעים במעגלים מושלמים. לרשותו של קפלר עמדו מדידות מדויקות להפליא של תנועת מאדים בשמיים, שערך מורוֹ, האסטרונום טיכו ברהה (Brahe). בעזרת המדידות הללו, קפלר ניגש לחשב באופן ידני את מסלול התנועה של מאדים. אך החישוב התארך והלך, וקפלר טעה שוב ושוב. עברה שנה ועוד שנה, והוא אינו מצליח להגיע לתשובה. קפלר מתענה ומבקש עזרה מאסטרונומים אחרים. הם מסרבים, וקפלר ממשיך לבצע בעצמו את החישוב. ארבע שנים נדרשו לקפלר כדי להשלים את החישוב הזה, שאורכו כ-900 עמודים, ובמהלכן נאלץ לחזור עליו כ-70 פעמים! למזלו, קפלר לא ידע שחישוביו האחרונים היו רצופי טעויות, אשר בדרך נס ביטלו זו את זו כמעט לחלוטין.

המקרה של קפלר אינו יחיד. לאורך ההיסטוריה, הקושי בביצוע חישובים מורכבים הטריד מלומדים רבים ועיכב את התפתחות הידע האנושי. קושי זה הוליד מכשיר חישוב מהפכני: סרגל החישוב.

מהפכה בתחום החישובים המורכבים. המתמטיקאי הסקוטי ג'ון נפייר, שגילה את פונקציית הלוגריתם | מקור: KEN WELSH / DESIGN PICTURES / SCIENCE PHOTO LIBRARY
מהפכה בתחום החישובים המורכבים. המתמטיקאי הסקוטי ג'ון נפייר, שגילה את פונקציית הלוגריתם | מקור: KEN WELSH / DESIGN PICTURES / SCIENCE PHOTO LIBRARY

הולדתו של סרגל הלוגריתמים

עם התקדמות המהפכה המדעית, התגבר הקושי בביצוע חישובים. חוקרים וטכנאים ביצעו מדידות מדעיות מדויקות, המתמטיקה התפתחה ומדענים נדרשו לבצע חישובים ארוכים ומורכבים. ואז קרה דבר מדהים. המתמטיקאי, הפיזיקאי והאסטרונום הסקוטי ג'ון נפייר (Napier) גילה פונקציה שהוא קרא לה "לוגריתם", שמאפשרת להפוך פעולות מסובכות של כפל וחילוק לפעולות פשוטות של חיבור וחיסור. במונחים של היום, פונקציית לוגריתם בבסיס 10 של המספר x, אשר מסומנת log(x), מחשבת כמה פעמים צריך לכפול את 10 בעצמו כדי לקבל את המספר x. למשל, log(100)=2, כי 100 = 102, כלומר יש לכפול את 10 בעצמו פעמיים כדי לקבל את המספר 100. דוגמה לשימוש בלוגריתם היא כשאנחנו "סופרים אפסים" כדי לכפול את 100 ב-1,000: למעשה אנחנו מחשבים את הלוגריתמים שלהם בבסיס 10, log(100)=2 ו- log(1000)=3, ואז סוכמים אותם לקבלת 5 שהוא הלוגריתם של מכפלתם, 100,000. באופן כללי, ניתן לכתוב את הזהות הזאת כך: בעבור שני מספרים ממשיים, a ו-b מתקיים: log(ab)=log(a)+log(b). 

​טבלאות לוגריתמים מאפשרות לחשב פעולות מסובכות של כפל וחילוק בעזרת חיבור וחיסור פשוטים | איור: יובל רוזנברג
טבלאות לוגריתמים מאפשרות לחשב פעולות מסובכות של כפל וחילוק בעזרת חיבור וחיסור פשוטים | איור: יובל רוזנברג

בשנת 1614, לאחר כעשרים שנים של עבודה מאומצת, פרסם נפייר את תגליתו עם טבלה באורך 90 עמודים – לוח המפרט את הלוגריתמים של כעשרה מיליון מספרים. לוח הלוגריתמים אִפשֵר למצוא את המכפלה של שני מספרים באופן הזה: יש למצוא בטבלה את הלוגריתם של כל אחד מהמספרים, לחבר בין שני הלוגריתמים שנמצאו ולבסוף למצוא את המספר שהלוגריתם שלו זהה לסכום שחושב - זוהי המכפלה הרצויה. כאשר אסטרונום ניגש לכפול שני ערכים של פונקציה טריגונומטרית, למשל 0.57357 ו- 0.42261, עליו למצוא בטבלה קירוב ללוגריתמים שלהם: (0.24141-) ו-(0.37406-), בהתאמה, לחבר שני מספרים אלו: (0.61547-), ולמצוא בטבלה את המספר שזהו הלוגריתם שלו: 0.242399. מספר זה הוא קירוב למכפלה המבוקשת. חיבור הוא פעולה פשוטה יותר מכפל, ולכן לוח הלוגריתמים הפך ללהיט, בעיקר בקרב אסטרונומים כמו קפלר, שההמצאה חסכה להם זמן וכוחות נפשיים רבים, ולכן הם אף שילבו לוחות כאלו בפרסומיהם. 

בשנת 1620 פיתח המתמטיקאי והאסטרונום האנגלי אדמונד גנטר (Gunter) סרגל שאִפשֵר לחשב את המכפלה של שני מספרים על ידי מדידת אורכים, במקום להשתמש בטבלה שאורכה 90 עמודים. הסרגל נבנה כך שהמרחק מתחילתו אל מספר מסוים, x, הוא יחסי ל (log(x: הסרגל מתחיל במספר 1, שכן log(1)=0 ולכן המרחק אל 1 הוא 0, והמרחק בין המספר 1 לבין 3 הוא מחצית המרחק מהמספר 1 אל המספר 9, שכן log(3)=1/2log(9) . לחישוב המכפלה של המספרים a ו-b, יש למדוד את המרחק מתחילת הסרגל אל כל אחד מהמספרים הללו, ואז לסכום את שני האורכים (log(a)+log(b ולבדוק איזה מספר נמצא על הסרגל במרחק הזהה לסכום האורכים (log(ab.

ואז, בשנת 1622, לפני 400 שנים בדיוק, ויליאם אוטרד ( Oughtred) יצר את סרגל החישוב הראשון. היה זה כלי חישוב פשוט ונוח לשימוש, המורכב משני סרגלים לוגריתמיים זה לצד זה. כדי לחשב את מכפלת המספרים a ו-b, כל שיש לעשות הוא להסיט את הסרגל העליון כך שהמספר 1 יימצא מעל למספר a בסרגל התחתון, ולבדוק איזה מספר נמצא תחת המספר b. שם, במרחק log(ab)=log(a)+log(b) מתחילת הסרגל התחתון, כתובה המכפלה הרצויה: ab. ביצוע אותן הפעולות בסדר הפוך מאפשר גם לבצע חילוק, כיוון שחילוק הוא הפעולה ההפוכה לכפל. לצורך חילוק המספר ab ב-b, יש להציב את המספר b בסרגל העליון מעל המספר ab בסרגל התחתון, ולקרוא את המספר שנמצא מתחת למספר 1 שבסרגל העליון. 

מהפכת החישוב המהיר. חישוב מכפלת המספרים 2 ו-3 בעזרת סרגל חישוב בסיסי | איור: Jakob.scholbach, Wikipedia
מהפכת החישוב המהיר. חישוב מכפלת המספרים 2 ו-3 בעזרת סרגל חישוב בסיסי | איור: Jakob.scholbach, Wikipedia

350 שנות חישוב

המצאת סרגל החישוב הקלה מאוד את ביצוע פעולות הכפל והחילוק. החלו להשתמש בו מתמטיקאים, מדענים, מהנדסים, רופאים, גיאוגרפים, אנשי צבא, טייסים, פקידי מס ועוד. אייזק ניוטון, תומס ג'פרסון, אלברט איינשטיין, כולם השתמשו בסרגל חישוב. הוא סייע כמעט בכל המצאה, בכל תכנון של מבנה היסטורי, בכל פיתוח מדעי משמעותי, במשך כ-350 שנים. 

ככל שהשימוש בו נעשה נרחב יותר, כך סרגל החישוב הלך והשתכלל. לצד הסקלות הלוגריתמיות ה"רגילות", החלו להופיע סקלות נוספות שאפשרו לחשב פונקציות רבות, כמו סינוס, שורש, ריבוע ואקספוננט. למשל, לחישוב ריבוע ושורש ריבועי, נוצרה סקלה לוגריתמית שבה המספר x2 מופיע מעל כל מספר x בסקלה הרגילה: מעל המספר 1 מופיע 1, מעל 2 מופיע 4, מעל 3 מופיע 9 וכן הלאה. קריאת מספרים המופיעים זה מעל זה באותו המרחק מתחילת הסרגל, אך בסקלות שונות, היא כל מה שנדרש לחישוב הפונקציה, הריבוע או השורש בדוגמה זו. הוספת קו דקיק אנכי, הניתן להזזה לאורך הסרגל, הקלה על השוואת המספרים בין הסקלות, ואפשרה לחשב את הפונקציות בדיוק של שלוש ספרות. כתיבה מדעית אפשרה לבצע את החישובים בעבור כל מספר, גדול או קטן.

המכשיר הלך והשתכלל. סרגל חישוב עם סקלות שונות, הקו הדקיק שאפשר להזיז לאורך הסרגל מאפשר קריאה נוחה ומדויקת של תוצאות החישוב | צילום: dvande, Shutterstock
המכשיר הלך והשתכלל. סרגל חישוב עם סקלות שונות, הקו הדקיק שאפשר להזיז לאורך הסרגל מאפשר קריאה נוחה ומדויקת של תוצאות החישוב | צילום: dvande, Shutterstock

נוסף על חישוב פונקציות כלליות, היו גם סרגלים ייעודיים, בעלי סקלות שתוכננו לסייע בחישובים מסוימים. אלו כללו המרות בין יחידות שונות, חישובי הלוואות בנקאיות, חישובים הנדסיים ומחשבי טיסה שלמים ששימשו לביצוע חישובים הקשורים לטיסה. היו גם סרגלים מעגליים, ואף גליליים. 

מכונאי מוטס במפציץ בריטי נעזר בסרגל חישוב כדי לחשב את צריכת הדלק של המטוס, אוקטובר 1941 | צילום:  Royal Air Force, Public Domain
מכונאי מוטס במפציץ בריטי נעזר בסרגל חישוב כדי לחשב את צריכת הדלק של המטוס, אוקטובר 1941 | צילום:  Royal Air Force, Public Domain 

סרגל החישוב נחשב במשך זמן רב לשיא הטכנולוגיה, ונותר רלוונטי גם עם המצאת שלל אמצעי חישוב מכניים אחרים. אך הסרגל התקשה להתחרות במחשב הדיגיטלי, ובעיקר בגרסה הממוזערת שלו. מאמר משנת 1972 בישר על מכת המחץ שייתרה בן לילה את השימוש בסרגל: "כאשר מהנדס או מדען נדרש לחישוב מהיר של בעיה הדורשת כפל, חילוק או פונקציה טרנסצנדנטלית, הוא ניגש בדרך כלל לסרגל החישוב שנמצא תמיד בהישג יד. אך בתוך זמן קצר, הכלי הזה עשוי לצאת לגמלאות. כעת יש מחשבון כיס אלקטרוני אשר מספק את אותן התוצאות בקלות רבה יותר, מהר יותר ובאופן מדויק הרבה יותר". בכך המחשב עשה את הלא ייאמן, וסיים פרק חשוב בהיסטוריה של המדע ושל המין האנושי כולו – עידן שלם שהתבסס על כלי חישוב פשוט להפליא.

סוף עידן הסרגל: מחשב אחד יכול להחליף 150 מהנדסים (עם סרגלי חישוב). מודעת פרסומת של חברת IBM למחשב שלה משנת 1951 | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל
סוף עידן הסרגל: מחשב אחד יכול להחליף 150 מהנדסים (עם סרגלי חישוב). מודעת פרסומת של חברת IBM למחשב שלה משנת 1951 | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל

10 תגובות

  • א.עצבר

    חישוב פאי

    אין ספק שבסרגל החישוב השתמשו לחישוב פאי המתמטיקה במלכודת המעגלים המתמטיקה לא מסוגלת לחשב את היקף המעגל על פי אורך מילימטרי של קוטר המעגל, מכיוון שאי אפשר לחשב את אורכה של קשת, על פי אורך מילימטרי של המיתר שלה. כדי להציג את המלכודת נצייר כמה מעגלים, ונוסיף לכולם מיתר באורך של 34 מ"מ.
    מיד יתברר לנו שבכל מעגל שבציור, אורך הקשת הוא אחר.
    עתה אפשר לקבוע, כי למיתר זה אפשר להתאים אינסוף קשתות, וכל קשת תהיה בעלת אורך מילימטרי אחר.
    הקשת הקצרה ביותר ( שאורכה 34 מ"מ פלוס טיפה ) תופיע במעגל בעל קוטר אינסופי, והקשת הארוכה ביותר ,תופיע במעגל שקוטרו 34 מ"מ. ומכאן אל מסקנות.
    מסקנה א : אין אפשרות לחשב את אורכה של קשת, על פי האורך המילימטרי של המיתר שלה. האפשרות היחידה היא על ידי מדידה של אורך הקשת עם סרגל פשוט , ומדידה זו בהכרח תהיה לא מדויקת. מסקנה ב: היות וקוטר המעגל הוא גם "המיתר הארוך ביותר" אז אין אפשרות לחשב את האורך של קשת הקוטר ( שהוא מחצית מהיקף המעגל) מסקנה ג: אין אפשרות לחשב את האורך של היקף המעגל, על פי האורך המילימטרי של קוטר המעגל. המתמטיקאים הקדמונים ידעו זאת, ומעולם הם לא ניסו לחשב את האורך של היקף המעגל, על פי האורך המילימטרי של קוטר המעגל.
    ומה הם כן ניסו ? הם ניסוי לחשב את אורך ההיקף של מצולע משוכלל רב צלעות (ממר"צ) ,על פי האורך המילימטרי של קוטר מעגל , החסום בממר"צ.
    תוצאת החישוב הזה ידועה ומפורסמת.
    היקף ממר"צ החוסם מעגל – גדול מקוטר מעגל החסום בממר"צ - פי 3.14 וקצת. היקף מעגל על פי קוטרו המילימטרי לא חושב מעולם, עד שהופיעה נוסחת עצבר. בנוסחת עצבר , היקף המעגל C וקוטר המעגל D נרשמים במילימטרים, כאשר D תמיד גדול מ 0.001 מ"מ . נוסחת עצבר המחשבת את C על פי D C שווה ל D כפול [ 3.1416 פלוס שורש של ( 0.0000003 חלקי D ) נוסחת עצבר מציגה גיאומטריה חדשה של מעגלים שאינה מוכרת למדע. א.עצבר

  • הרצל

    מר עצבר: אכן הנוסחה שלך לא

    מר עצבר: אכן הנוסחה שלך לא מוכרת למדע. אז אולי תתחיל להפיץ אותה לשאינם מדענים במקום לאנשים שמתעניינים במדע? לנו כבר נמאס.

  • אנונימי

    האסטרונאטים שטסו לירח בשנות ה- 60 70 טסו עם סרגלי חישוב

  • מוטיבצביה

    תחרות

    סבא שלי, שסיים לימודי מהנדס כימיה בסוף שנות העשרים, היה מיומן מאוד בשימוש בסרגל חישוב. במהלך מלחמת העולם הוא גוייס ושירת ככוון של סוללת תותחים. בתחילת שנות השבעים, כשהגיעו מחשבוני הכיס הראשונים, אחי הגדול הזמין את סבי לתחרות. למרות כל ניסיונותיו סבא שלי ניצח פעם אחרי פעם. כשאחי שאל איך ענה סבא - כל ירי של הסוללה גורר ניסיון של סוללת אופייה לפגוע במקור הירי. כלומר כל ירי הוא בעצם תחרות בין הכוונים של שתי הסוללות מי יורה גם מהר יותר וגם מדוייק יותר. אם לא למדת להיות הכי מהיר ועדיין מדוייק - לא תהיה לך בעיה של שאלות מנכדים

  • אנונימי

    סיפור מקסים!

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןיובל רוזנברג

    תודה על שיתוף הסיפור המעניין

    תודה על שיתוף הסיפור המעניין!
    בהקשר הזה ראוי לציין את אמדי מנהיים (Mannheim), שהיה מתמטיקאי וקצין תותחנים צרפתי במאה ה-19, והיווה חלק חשוב בהיסטוריה של סרגל החישוב. מנהיים יצר מערכת סטנדרטית של סקאלות, והרחיב את השימוש באותו ״ציין״ (קו דקיק אנכי הניתן להזזה לאורך הסרגל) ובסרגל החישוב באופן כללי.

  • זקן בן 90

    מחשבון

    תודה. הסבר פשוט וקולע שמזכיר ימים עברו.
    לדעתי יש מקום לפרסם גם הסבר על איך מבוצעות פעולות אריתמטיות במחשבון דיגיטלי.
    ואני מתכוון מעבר להבנה הבנאלית של חיבור חיסור מספרים בינאריים.
    איך מחשבון פשוט בעלות דולרים בודדים, יודע להתמודד עם כמעט כל פונקציות הכלליות?

  • קולו אור

    אימרו כן לזקן

    כתבה נהדרת, והשאלה של הזקן שעוד 10 שנים ייצא מהחלון וייעלם גם מעניינת. הרהרתי בזה בעצמי לפני כמה שנים, והייתי בטוח שמשתמשים בטור פולינומי כלשהו (ההגיון שלי היה שמדובר על טור טיילור), שבאמצעות ארבע הפעולות האריתמטיות הבסיסיות (כפל, חילוק, חיבור וחיסור) יכולות בתוך מספםר אברים מצומצם יחסית להגיע לקירוב גבוה של פונקציות טרנסצנדנטליות רבות כמו פונקציות טריגונומטריות, אקספוננטים, לוגריתמים ועוד.
    למשל טור טיילור של סינוס זווית X (ברדיאנים), הוא -
    sin x = x − x3/3! + x5/5! − x7/7! +... and so on
    כאשר מהר מאד מגיעים לדיוק גבוה. למשל גם אם נשתמש רק בארבעת האיברים הראשונים בסדרה (אלו שכתבתי למעלה) נגיע כבר לדיוק של 7 ספרות אחרי הנקודה. אבל האמת שגיליתי היא שבדרך כלל דווקא לא משתמשים בטורי טיילור אלא באלגוריתם אחר, שנקרא CORDIC, ופותj בשנות ה 50׳ עבור המחשב הפרימיטיבי שהותקן במטוסים מפציצים, על בסיס על מתמטיקה של מספרים מרוכבים ועקרונות שפותחו כבר לפני מאות שנים.

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןיובל רוזנברג

    בהחלט!

    בהחלט! תודה על השאלה ועל התשובה.
    רק אוסיף שאלגוריתמי CORDIC אלו אלגוריתמים איטרטיבים, שככל שהם רצים יותר פעמים מספקים הערכה טובה יותר של הפונקציה המחושבת (כלומר ניתן להעריך עוד ועוד ספרות אחרי הנקודה). מחשבוני הכיס אשר בנויים עליהם מאפשרים להעריך פונקציות חשובות ושימושיות מאוד, אבל אלו רק מספר מוגבל למדי של פונקציות (בדומה לסרגל החישוב). שיטות אחרות, כמו טורי הפולינומים שהוזכרו, הן כלליות יותר, אך גם דורשות יותר משאבים לצורך החישוב.

  • זקן בן 90

    תודה למשיבים😄

    תודה למשיבים😄
    האמת בזמנו חשבתי שהפונקציות הם צריבה של הדפים הלוגרתמיים שהשתמשנו בהם בזיכרון המחשב. אבל נדמה לי שגם היום ROM שיכיל את התוצאה של כל הפונקציות ושל כל מספר כולל כמה ספרות אחרי הנקודה, הוא אתגר טכני . מה שאני כן זוכר זה שROM שהוא למעשה מכפיל (הכתובת בROM מייצגת את המספרים להכפלה, והדאטה את התוצאה) היה לפחות פעם בשימוש למערכות שדורשת מהירות חישוב הכפלה מהיר.