הגילוי שהמתמטיקה אינה מושלמת כמו שחשבו הוא דוגמה לדרך שבה השיטה המדעית מפריכה הנחות קודמות ומשנה תפיסות שגויות. זה נושא לוח השנה החדש של מכון דוידסון לחינוך מדעי
בתחילת המאה ה-20 הובילו המתמטיקאים המפורסמים ברטרנד ראסל (Russell) ודיוויד הילברט (Hilbert) מאמץ משולב למציאת מערכת לוגית בעלת מספר סופי של אקסיומות מתמטיות בסיסיות, שבאמצעותה יהיה אפשר להוכיח כל משפט. היוזמה נולדה בעקבות גילוי פרדוקסים בתורת הקבוצות של גאורג קנטור (Cantor), והשאיפה הייתה "לחסל אחת ולתמיד את הספק הכללי בדבר מהימנותו של היסק מתמטי", כלשונו של הילברט.
המאמץ הזה, של בכירי המתמטיקאים של הדור, עלה על שרטון ב-1931, כשמתמטיקאי בן 25 בשם קורט גדל (Gödel) פרסם מאמר שבו הבטיח שתמיד יהיו לנו ספקות. שני משפטי אי-השלמות המפורסמים שלו הוכיחו שאי אפשר ליצור מערכת כזאת.
גדל נולד בעיר ברנו בקיסרות האוסטרו-הונגרית (כיום בצ'כיה), בגיל 18 החל את לימודיו באוניברסיטת וינה, ובהמשך התמקצע בלוגיקה מתמטית ונמנה עם חברי "החוג הווינאי" – קבוצת פילוסופים שנהגו לדון במפגשיהם בלוגיקה ובפילוסופיה של המדע. את עבודת הדוקטורט שלו הוא סיים בשנת 1930 ובתוך שנה בלבד כבר קנה לעצמו שם בעולם המתמטיקה.
לצורך משפטי אי-השלמות שלו השתמש גדל בשיטה מתוחכמת לקידוד טענות וכללי היסק באמצעות מספרים טבעיים. הוא יצר למעשה מעין וריאציה על פרדוקס השקרן המפורסם של הפילוסוף אפימנידס ("אני שקרן") והראה שבשיטת הקידוד שלו אפשר ליצור על ידי המספרים הטבעיים פסוק שמשמעותו היא "אני פסוק בלתי ניתן להוכחה במערכת האקסיומות הזאת".
בדומה לפרדוקס השקרן, המערכת אינה מסוגלת להכריע אם הפסוק אמיתי או שקרי. מכאן נובע שאם היא עקבית, ואינה מסוגלת להצמיח סתירות, היא אינה שלמה, כלומר היא מכילה טענות בלתי ניתנות להכרעה. זהו משפט אי-השלמות הראשון. כמו כן היא אינה יכולה להוכיח שהיא עצמה עקבית, כלומר שאין בה סתירות, או שאי אפשר להוכיח באמצעותה דבר והיפוכו. זהו משפט אי השלמות השני.
למשפטים האלה הייתה השפעה עמוקה על ענף הלוגיקה, כי הם הוכיחו שאי אפשר ליצור את מערכת האקסיומות המושלמת, בניגוד לשאיפתם של ראסל והילברט. הלוגיקה שמאחורי המשפטים ואופן ההוכחה שלהם השפיעו עמוקות גם על מדעי המחשב ועל חלוץ המחשבים אלן טיורינג, שבעקבות מאמרו של גדל פיתח את המודל התיאורטי של המחשב.
רובוט עם מגש "מוכחות" מלא ניירות ומגש "לא מוכחות" ריק | יוסי לגזיאל
השיטה המדעית היא מנגנון יעיל להפליא של בחינה ותיקון. מה שאנחנו חושבים שאנחנו יודעים היום עשוי להשתנות מחר, כשראיות חדשות והסברים טובים יותר ישנו את מה שאנחנו יודעים על המציאות.
לוח השנה של מכון דוידסון עומד הפעם בסימן בחינה מחדש של מוסכמות. אנו מזמינים אתכם להתקדם איתנו, חודש אחרי חודש, מההשערות שנחשבו פעם אמת, לתיאוריות המוצקות יותר שבאמצעותן אנו מסבירים את המציאות כיום. אך מי יודע? אולי גם בהן נגלה בעתיד חורים ושגיאות, ומלאכת התיקון תעזור לנו להבין טוב יותר את המציאות שאנו חיים בה.
