איך יוצאים מההסגר?
בעזרת המתמטיקה

אחד המאפיינים של מגפת הקורונה, כמו של מחלות מדבקות אחרות, הוא קצב ההתפשטות המהיר של המחלה באוכלוסייה. בתחילת הדרך המחלה מתפשטת בקצב מעריכי (אקספוננציאלי) ומספר הנדבקים גדל בקצב הולך ועולה. בכתבה קודמת ראינו שאפשר לתאר את מתמטית את ההתפשטות של מגפת הקורונה, לפי המשוואה הלוגיסטית שפיתח המתמטיקאי והרופא בלגי פְּיֶר פְרַנְסוּאָה וֶרְהוּלְסְט (Verhulst) באמצע המאה ה-19.

 הגידול המעריכי במספר הנדבקים בהחלט יכול להיות מבהיל, אבל גם בלי צעדי הסגר, מובטח לנו שהעקומה הלוגיסטית המתארת את הגידול במספר הנדבקים המצטבר עם הזמן, תתיישר בסופו של דבר. עקומה כזאת נקראת עקומה סיגמואידית (בזכות הדמיון לאות היוונית הקטנה סיגמא, ς, הדומה לאות s הלטינית) והיא תהיה בצורה הזו בין אם ננקוט צעדי מנע ובין אם לא, זאת משום שבסופו של דבר נגיע לאפס הדבקות. זה יכול להיות בזכות פיתוח חיסון, או שרוב האוכלוסייה תתחסן באופן טבעי עקב חשיפה לנגיף או שהנגיף ייעלם בסופו של דבר בשל נסיבות סביבתיות.

מתי נוכל לצאת מהסגר? צפו בסרטון של מכון דוידסון, המטה לביטחון לאומי ומכון ויצמן למדע: 

אז מדוע דרושים כל צעדי המנע? למה אנחנו בהסגר? משום שגם בלי חיסון אנחנו יכולים לשלוט בצורה של הגרף, ולקבוע אם ה-s יהיה תלול וגבוה כמו העקומה של סין, שהצליחה לשטח אותה בסוף, או יותר פחוס, כמו העקומה של קוריאה הדרומית, שגם היא הגיעה להשטחה אבל עם הרבה פחות נדבקים.  

מצא את ההבדלים. עקומות ההדבקה בנגיף הקורונה בסין ובקוריאה הדרומית במשך כשלושה חודשים | איור: יוסי אלרן

 העקומה הלוגיסטית משתטחת ככל שקצב ההדבקה יורד. בסין בתחילת המגפה קצב ההדבקה עלה בממוצע ב-50 אחוז בכל יום. אם למשל ביום מסוים 1000 אנשים נדבקו בנגיף, למחרת נוספו 500 חולים חדשים והמספר קפץ ל-1500. למחרת, אם קצב הגידול נשאר 50 אחוז, מספר החולים כבר קופץ ל-2250. ביום אחד נוספו 750 חולים חדשים וזה מה שמבהיל בגידול מעריכי. הסגר הנוקשה של הסינים, הצליח להוריד את קצב הגידול עד שנכון ליום כתיבת הכתבה הוא עומד על כ- 0.07 אחוז בלבד.

ומה קרה במדינות כמו איטליה, ספרד, בריטניה, ארצות הברית ומדינות אחרות שההדבקות גדלות אצלן בקצב מסחרר? בכמה מהמדינות האלה רק עכשיו מגיעים להשטחה של הגרף, ובאחרות גם זה עדיין נראה רחוק. בכל מקרה המחיר בחיי אדם כבד מאוד, למרבה הצער, ושיעור התמותה הוא כ-10 אחוזים ממספר החולים, לעומת כאחוז אחד בישראל, לשם השוואה. זה קרה משום שמדינות אלו איחרו להפעיל פעולות כמו הסגר ובידוד וכך מספר עצום של אנשים נדבקו בנגיף. בעקבות זאת נוצר עומס כבד על מערכות הבריאות, והן קרסו זו אחר זו בשל מחסור חריף ברופאים, אחיות, מיטות, מכונות הנשמה, חומרי הרדמה ועוד. הבעיה בהצפת מערכות הבריאות מעבר לקיבולת שלהן היא לא רק חוסר יכולת לטפל בחולי הקורונה הקשים אלא גם לספק פתרונות לכלל החולים, למשל בסרטן, מחלות לב, סוכרת וכן הלאה.

בישראל, נכון לכתיבת שורות אלה, המצב טוב בהרבה. קצב הגידול מלכתחילה היה נמוך, כ-25 אחוז בכל יום, ככל הנראה עקב נקיטת צעדי מנע מוקדמים, והוא ממשיך לרדת בעקביות. נכון לזמן כתיבת הכתבה אנחנו כבר על קצב גידול של כשלושה אחוזים בלבד.

בקרוב אנו מקווים כי צעדי המנע הדרמטיים בישראל יישאו פרי, ויהיה אפשר להתחיל להקל את ההסגר, בהנחה שהגענו לתחילת השטחה ושהרע מכל מאחורינו. הגרף של ישראל שמושווה באיור למדינות נוספות, תומך בהנחה זו.

המספר המצטבר של הדבקות בקורונה באוסטריה, ישראל, שוודיה ואוסטרליה ב-50 הימים האחרונים | איור: יוסי אלרן

עדיין נצטרך להיזהר מאוד מהתפרצות חדשה, ובשביל זה צריך "כלל אצבע" – מספר נדבקים חדשים ביום שכאשר נגיע אליו, נוכל להתחיל לצמצם את ההגבלות על האוכלוסייה. המתמטיקה יכולה לעזור לנו לחשב את המספר הזה. נבהיר עם זאת, שבגלל שמדובר בהנחות רבות ובעולם לא אידאלי, אין חשיבות רבה לדיוק. יתרה מזאת, יש השפעות נוספות שלא לקחנו בחשבון כמו מספר הבדיקות המבוצעות, מספר החולים שאינם מראים סימני מחלה ועוד. אף על פי כן, לפי כל ההערכות, השפעת הנתונים הללו אינה גדולה מאוד. בחישובים להלן נשתמש בהערכות בלבד - ונשתדל שהן יהיו לחומרה. בחרנו, לשם התרגיל, להניח את ההנחות הבאות:

‏א.       הקיבולת של בתי החולים בישראל היא כ-1,000 מיטות טיפול נמרץ.

‏ב.      ברגע שתפוסת בתי החולים מלאה (1,000 מיטות), קצב האשפוז תלוי בקצב שחרור החולים שהחלימו, מיד נראה שזה כ-60 ביום.

‏ג.       קצב הגידול בהדבקה הוא כ-25 אחוז  נדבקים חדשים בכל יום. במילים אחרות, מספר החולים מכפיל את עצמו כל שלושה ימים. 

‏ד.      זמן הדגירה של המחלה הוא כ-15 יום.

‏ה.     משך האשפוז הממוצע של חולה הוא 15 יום. 

למנוע אסון

מצב קטסטרופלי מתרחש ברגע שבתי החולים בתפוסה מלאה, כלומר כל 1,000 מיטות הטיפול הנמרץ תפוסות. במצב זה, מכיוון שקצב האשפוז והשחרור הוא כ-60 חולים קשים חדשים ביום, ואילו הגידול בהדבקה הוא מעריכי, מצטבר והולך תור של חולים מחוץ לבתי החולים, שאינם מקבלים טיפול רפואי הולם. אסור להגיע למצב כזה!

לכן אנחנו צריכים סוג של איתות אזהרה שבועיים לפני שנגיע לתוספת של 60 חולים קשים ביום אחד, מכיוון שמספר זה יגדל מעריכית, ואנו נאבד שליטה. נזכור שבערך חמישה אחוזים מהחולים הם חולים קשים, לכן המצב הקטסטרופלי יתרחש כאשר תוך שבועיים יהיו 1,200 חולים חדשים ביום אחד. 

מספר "אצבע" זה הוא 40, משום שבהכפלה כל שלושה ימים גדל תוך 15 יום ל-1,280 חולים, כפי שאפשר לראות בטבלה: 

המסקנה המתבקשת היא שברגע שיש 40 נדבקים חדשים ביום, יוחזרו צעדי המנע, כדי לרסן התפרצות עתידית שתהיה צפויה שבועיים לאחר מכן. מן הסתם, מקבלי ההחלטות יקחו עוד מרווח ביטחון, כדי לוודא שהתוצאות אכן מובהקות, ויחליטו על מספר נמוך מ-40, למשל 30, 25 או 20.

הניתוח המספרי הזה מדגים איך המתמטיקה מאפשרת למקבלי ההחלטות לתכנן את "אסטרטגיית היציאה"  ולשלוט על המצב. רק נציין שהמספרים שבחרנו בכתבה אינם משקפים בהכרח את הנתונים האמיתיים או את בחירת הפרמטרים של מקבלי ההחלטות. אולי הם יהיו יותר זהירים ויחליטו על קצב גידול של 50 אחוז, או שאולי יש יותר מ-1,000 מיטות טיפול נמרץ, וכן הלאה. כל נתון כזה ישנה כמובן את המספרים, אבל לא את השיטה. אז מי אמר שהמתמטיקה לא רלוונטית לחיים? במקרה זה היא רלוונטית לחיים ולמוות!