מדוע חשוב כל כך "לשטח את העקומה" של מגפת הקורונה? איך יודעים מתי אפשר להתחיל בהקלות? המספרים נותנים תשובות

אחד המאפיינים של מגפת הקורונה, כמו של מחלות מדבקות אחרות, הוא קצב ההתפשטות המהיר של המחלה באוכלוסייה. בתחילת הדרך המחלה מתפשטת בקצב מעריכי (אקספוננציאלי) ומספר הנדבקים גדל בקצב הולך ועולה. בכתבה קודמת ראינו שאפשר לתאר את מתמטית את ההתפשטות של מגפת הקורונה, לפי המשוואה הלוגיסטית שפיתח המתמטיקאי והרופא בלגי פְּיֶר פְרַנְסוּאָה וֶרְהוּלְסְט (Verhulst) באמצע המאה ה-19.

 הגידול המעריכי במספר הנדבקים בהחלט יכול להיות מבהיל, אבל גם בלי צעדי הסגר, מובטח לנו שהעקומה הלוגיסטית המתארת את הגידול במספר הנדבקים המצטבר עם הזמן, תתיישר בסופו של דבר. עקומה כזאת נקראת עקומה סיגמואידית (בזכות הדמיון לאות היוונית הקטנה סיגמא, ς, הדומה לאות s הלטינית) והיא תהיה בצורה הזו בין אם ננקוט צעדי מנע ובין אם לא, זאת משום שבסופו של דבר נגיע לאפס הדבקות. זה יכול להיות בזכות פיתוח חיסון, או שרוב האוכלוסייה תתחסן באופן טבעי עקב חשיפה לנגיף או שהנגיף ייעלם בסופו של דבר בשל נסיבות סביבתיות.

מתי נוכל לצאת מהסגר? צפו בסרטון של מכון דוידסון, המטה לביטחון לאומי ומכון ויצמן למדע: 

אז מדוע דרושים כל צעדי המנע? למה אנחנו בהסגר? משום שגם בלי חיסון אנחנו יכולים לשלוט בצורה של הגרף, ולקבוע אם ה-s יהיה תלול וגבוה כמו העקומה של סין, שהצליחה לשטח אותה בסוף, או יותר פחוס, כמו העקומה של קוריאה הדרומית, שגם היא הגיעה להשטחה אבל עם הרבה פחות נדבקים.  

מצא את ההבדלים. עקומות ההדבקה בנגיף הקורונה בסין ובקוריאה הדרומית במשך כשלושה חודשים | איור: יוסי אלרן
מצא את ההבדלים. עקומות ההדבקה בנגיף הקורונה בסין ובקוריאה הדרומית במשך כשלושה חודשים | איור: יוסי אלרן

 העקומה הלוגיסטית משתטחת ככל שקצב ההדבקה יורד. בסין בתחילת המגפה קצב ההדבקה עלה בממוצע ב-50 אחוז בכל יום. אם למשל ביום מסוים 1000 אנשים נדבקו בנגיף, למחרת נוספו 500 חולים חדשים והמספר קפץ ל-1500. למחרת, אם קצב הגידול נשאר 50 אחוז, מספר החולים כבר קופץ ל-2250. ביום אחד נוספו 750 חולים חדשים וזה מה שמבהיל בגידול מעריכי. הסגר הנוקשה של הסינים, הצליח להוריד את קצב הגידול עד שנכון ליום כתיבת הכתבה הוא עומד על כ- 0.07 אחוז בלבד.

ומה קרה במדינות כמו איטליה, ספרד, בריטניה, ארצות הברית ומדינות אחרות שההדבקות גדלות אצלן בקצב מסחרר? בכמה מהמדינות האלה רק עכשיו מגיעים להשטחה של הגרף, ובאחרות גם זה עדיין נראה רחוק. בכל מקרה המחיר בחיי אדם כבד מאוד, למרבה הצער, ושיעור התמותה הוא כ-10 אחוזים ממספר החולים, לעומת כאחוז אחד בישראל, לשם השוואה. זה קרה משום שמדינות אלו איחרו להפעיל פעולות כמו הסגר ובידוד וכך מספר עצום של אנשים נדבקו בנגיף. בעקבות זאת נוצר עומס כבד על מערכות הבריאות, והן קרסו זו אחר זו בשל מחסור חריף ברופאים, אחיות, מיטות, מכונות הנשמה, חומרי הרדמה ועוד. הבעיה בהצפת מערכות הבריאות מעבר לקיבולת שלהן היא לא רק חוסר יכולת לטפל בחולי הקורונה הקשים אלא גם לספק פתרונות לכלל החולים, למשל בסרטן, מחלות לב, סוכרת וכן הלאה.

בישראל, נכון לכתיבת שורות אלה, המצב טוב בהרבה. קצב הגידול מלכתחילה היה נמוך, כ-25 אחוז בכל יום, ככל הנראה עקב נקיטת צעדי מנע מוקדמים, והוא ממשיך לרדת בעקביות. נכון לזמן כתיבת הכתבה אנחנו כבר על קצב גידול של כשלושה אחוזים בלבד.

בקרוב אנו מקווים כי צעדי המנע הדרמטיים בישראל יישאו פרי, ויהיה אפשר להתחיל להקל את ההסגר, בהנחה שהגענו לתחילת השטחה ושהרע מכל מאחורינו. הגרף של ישראל שמושווה באיור למדינות נוספות, תומך בהנחה זו.

המספר המצטבר של הדבקות בקורונה באוסטריה, ישראלי, שוודיה ואוסטרליה ב-50 הימים האחרונים | איור: יוסי אלרן
המספר המצטבר של הדבקות בקורונה באוסטריה, ישראל, שוודיה ואוסטרליה ב-50 הימים האחרונים | איור: יוסי אלרן

עדיין נצטרך להיזהר מאוד מהתפרצות חדשה, ובשביל זה צריך "כלל אצבע" – מספר נדבקים חדשים ביום שכאשר נגיע אליו, נוכל להתחיל לצמצם את ההגבלות על האוכלוסייה. המתמטיקה יכולה לעזור לנו לחשב את המספר הזה. נבהיר עם זאת, שבגלל שמדובר בהנחות רבות ובעולם לא אידאלי, אין חשיבות רבה לדיוק. יתרה מזאת, יש השפעות נוספות שלא לקחנו בחשבון כמו מספר הבדיקות המבוצעות, מספר החולים שאינם מראים סימני מחלה ועוד. אף על פי כן, לפי כל ההערכות, השפעת הנתונים הללו אינה גדולה מאוד. בחישובים להלן נשתמש בהערכות בלבד - ונשתדל שהן יהיו לחומרה. בחרנו, לשם התרגיל, להניח את ההנחות הבאות:

‏א.       הקיבולת של בתי החולים בישראל היא כ-1,000 מיטות טיפול נמרץ.

‏ב.      ברגע שתפוסת בתי החולים מלאה (1,000 מיטות), קצב האשפוז תלוי בקצב שחרור החולים שהחלימו, מיד נראה שזה כ-60 ביום.

‏ג.       קצב הגידול בהדבקה הוא כ-25 אחוז  נדבקים חדשים בכל יום. במילים אחרות, מספר החולים מכפיל את עצמו כל שלושה ימים. 

‏ד.      זמן הדגירה של המחלה הוא כ-15 יום.

‏ה.     משך האשפוז הממוצע של חולה הוא 15 יום. 

למנוע אסון

מצב קטסטרופלי מתרחש ברגע שבתי החולים בתפוסה מלאה, כלומר כל 1,000 מיטות הטיפול הנמרץ תפוסות. במצב זה, מכיוון שקצב האשפוז והשחרור הוא כ-60 חולים קשים חדשים ביום, ואילו הגידול בהדבקה הוא מעריכי, מצטבר והולך תור של חולים מחוץ לבתי החולים, שאינם מקבלים טיפול רפואי הולם. אסור להגיע למצב כזה!

לכן אנחנו צריכים סוג של איתות אזהרה שבועיים לפני שנגיע לתוספת של 60 חולים קשים ביום אחד, מכיוון שמספר זה יגדל מעריכית, ואנו נאבד שליטה. נזכור שבערך חמישה אחוזים מהחולים הם חולים קשים, לכן המצב הקטסטרופלי יתרחש כאשר תוך שבועיים יהיו 1,200 חולים חדשים ביום אחד. 

מספר "אצבע" זה הוא 40, משום שבהכפלה כל שלושה ימים גדל תוך 15 יום ל-1,280 חולים, כפי שאפשר לראות בטבלה: 

המסקנה המתבקשת היא שברגע שיש 40 נדבקים חדשים ביום, יוחזרו צעדי המנע, כדי לרסן התפרצות עתידית שתהיה צפויה שבועיים לאחר מכן. מן הסתם, מקבלי ההחלטות יקחו עוד מרווח ביטחון, כדי לוודא שהתוצאות אכן מובהקות, ויחליטו על מספר נמוך מ-40, למשל 30, 25 או 20.

הניתוח המספרי הזה מדגים איך המתמטיקה מאפשרת למקבלי ההחלטות לתכנן את "אסטרטגיית היציאה"  ולשלוט על המצב. רק נציין שהמספרים שבחרנו בכתבה אינם משקפים בהכרח את הנתונים האמיתיים או את בחירת הפרמטרים של מקבלי ההחלטות. אולי הם יהיו יותר זהירים ויחליטו על קצב גידול של 50 אחוז, או שאולי יש יותר מ-1,000 מיטות טיפול נמרץ, וכן הלאה. כל נתון כזה ישנה כמובן את המספרים, אבל לא את השיטה. אז מי אמר שהמתמטיקה לא רלוונטית לחיים? במקרה זה היא רלוונטית לחיים ולמוות!

21 תגובות

  • אורי

    טעות בניתוח

    ברוב מדינות אירופה אחוז התמותה הגבוה אינו בגלל שמערכות הבריאות קרסו אלא בעיקר בגלל שסופרים שם רק אישפוזי קורונה ולא גם חולים קלים או אסימפטומטיים כמו אורי

  • Asaf M

    שגיאת כתיב

    "קצת ההתפשטות של המהיר של המחלה"

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןאיתי נבו

    תודה!

    תודה!

  • אנונימי

    לחננ

    דובר מוכר זאת פרשנות שלך לא של כולם. צריך עוד להוכיח שמה שאת חושבת זאת עובדה ולא דעה. גם דעות טובות הן ברכה אבל כמה שטובות הן לא יהיו הן עדין דעות ולא עובדות. בהצלחה בהמשך החיים.

  • חנה

    חבל שלא מפרסמים לפחות את

    חבל שלא מפרסמים לפחות את הסרטון הברור המצורף לכתבה, בחדשות כל הערוצים: מידע ברור ובהיר מפי דובר מוכר, במקום גיבוב של כתבות מציצניות שממלאות את שידורי החדשות מעבר לחדשות המהותיות וחשובות. ההסברה - לוקה בחסר בלשון המעטה. צריך להיות מידע ברור, בהיר, מובן על ידי כולם. טוב יעשה מכון דוידסון אם יקדם מיזם פשוט כזה. והעיקר - עוד קצת סבלנות עד שיתבהר יותר מה אופי הוירוס ודרכי ההתמודדות הרצויות. נקוה לטוב

  • אנונימי

    טירוף

    אם היו מדווחים בכל יום בשעה 20:00 את מספר ה אנשים שנפטרו ואת הסיבות לכך, אנשים היו נכנסים לפאניקה ולא יוצאם מהבית או מפתחים אדישות למצב.
    המספרים המדאיגים ביותר הם נתון שעדיין לא ידוע לנו. לא ידוע לנו באיזה מצב בריאותי פיזי ונפשי אנשים יסיימו את הבידוד. לא ידוע כיצד ניתן לשטח את העקומה של אחוז המובטלים. מצטערת אם זה נשמע קר אך זה מדאיג אותי הרבה יותר מאנשים שרובם הלכו לעולמם בשיבה טובה (בסוף מתים ממשהו) כולי תקווה לאחוזי אבטלה נמוכים במהרה בימיינו.

  • אבינועם

    מהו מספר מיטות הטיפול הנמרץ?

    לפי הכתבה זהו הפרמטר הקובע לקיבולת בתי החולים וליכולת להקל בסגר.
    לפי הכתבה הוא 1000. לפי כתבה בכלכליסט מה- 10/4 מספר מכשירי ההנשמה (מקביל למיטות?) הוא 3300 ומחציתם תפוסים, זה משאיר למעלה מ- 1500 מכשירים פנויים. לפי אתר מאקו יש בישראל 2864 מכונות הנשמה.
    אז איך זה שנתון כל כך קריטי להמשך המלחמה בנגיף אין נתון מהימן?

  • יוסי

    הנתונים בכתבה הם להדגמה - הם לא רשמיים

    אנחנו לא משרד הבריאות ואין לנו נתונים רשמיים. הלכנו לפי מספר שיהיה קל להסביר...

  • אנונימי

    בכתבה אמרו שהולכים לחומרה אז

    בכתבה אמרו שהולכים לחומרה אז הם שמו קו נמוך והסיבה להבדל יכולה להיות כמה דברים: קודם כול יש כמה סוגים של מכונות הנשמה יכול להיות שבמאקו שמו עוד סוגים יכול להיות שבאחד מהם הוסיפו מכונות הנשמה במחלקות אחרות וכו וכו וכו

  • יונתן

    אפשר לבודד את מוקדי התחלואה ולהוציא את השאר

    אם מבודדים את מוקדי התחלואה (בני ברק, י-ם וכו) מקבלים מספר נמוך של נדבקים חדשים ליממה וכך אפשר לשחרר את האוכלוסיה בזמן שיש סגר (אמיתי) על המקומות הבעייתיים.

  • יוסי

    יש בעיה בתיזה הזאת...

    תיזת הבידוד הסלקטיבי היא בהחלט אופציה שאנחנו קוראים שמקבלי ההחלטות שוקלים. חשוב להגיד שמבחינה מתמטית אפשר (וכך גם עושים) להסתכל על כל מקבץ כפריט בודד. כך למשל אפשר לדמות כל עיר או שכונה לאדם בודד - חוקי ההדבקה עדיין עובדים - ולכן בידוד שהוא לא הרמיטי ואבסולוטי (כלומר אין יוצא ואין בא - כולל אוכל, תרופות וכו׳) עדיין ידביק את שאר האוכלוסיה. יש עוד בעיה וזה שעיר כמו בני ברק יכולה בהחלט לבדה לסתום את מערכת הבריאות אם זה יהפוך למדגרה. את כל אלה צריך לקחת בחשבון

  • אייל מילר

    בימים האחרונים היום כמה מאות נדבקים...

    בימים האחרונים יש גידול של בערך 4% שזה כ-400-500 חולים חדשים כדי להגיע ל-40 צריך עשירית מזה...
    נראה שאנחנו די רחוקים...

  • יוסי

    כמו שהגידול אקספוננציאלי,

    כמו שהגידול אקספוננציאלי, בשאיפה כך יהיה גם הקיטון...
    אם נתנהל נכון ובאופן סימטרי נגיע לזה בעוד כחודש להערכתי. בסין זה קרה באופן סימטרי, בדרום קוריאה פחות והזנב אכן התארך...

  • אנונימי

    לא עדיף להגדיל את מלאי המיטות טיפול נמרץ??

    מאשר להשתיק את המשק

  • יוסי

    זה היה הכי טוב

    אבל היה צריך להגדיל עוד הרבה מרכיבים במערכת הבריאות בשביל זה: רופאים, אחיות, מכונות הנשמה, בדיקות, חומרי הרדמה, מרדימים ועוד...
    היות ומדובר במגפה יחסית מדבקת צריך הגדלה משמעותית מאוד - אפילו אם נניח שליש מהאוכלוסייה נדבקים בסך הכל ומתוכם רק 5% קשה, יהיו 150,000 בטיפול נמרץ...

  • שגיא

    שתי הערות

    1. הגישה מתעלמת לחלוטין מהפן הכלכלי. כאילו מספר חולי הקורונה הוא השיקול הבלעדי. מה עם 25% אבטלה? סתם לידע כללי - בסין בסגר מטורף עדיין יש מעל 40 חולים חדשים ביום. אז נמתין כמה? המשיח יגיע כבר קודם. בשבדיה ללא סגר וללא סגירת בתי ספר אין קטסטרופה. למעשה יש התמתנות.
    2. לפי הנתונים היום יש כ 11,800 חולים מתוכם 181 חולים קשה בישראל. זה רק 1.5 אחוז מהחולים ולא 5% ולכן גם לא 1200 חולים יובילו ל60 חולים קשה, אלה רק 4000. לפי המספרים בסרט - בגלל שיש בישראל 181 חולים קשה (3 פעמים 60) היה צריך להיות בארץ 3600 חולים בלבד... כך שכל המספרים שהוכנסו למודל פשוט לא מתאימים (בהרבה!) למצב בארץ.

  • יוסי

    אנחנו לא הממשלה

    אני מתמחה במתמטיקה יצירתית (recreational mathematics) ולכן בחרתי להראות איך המתמטיקה יכולה לעזור לנו בהבנת המצב הרפואי

  • אנונימי

    כיצד אפשר לעשות ניתוח מתמטי

    כיצד אפשר לעשות ניתוח מתמטי כאשר הנתונים לא אמיתיים ולא מייצגים?
    הרי כמות הבדיקות משתנה.
    הבדיקות הן לא אקראיות. בודקים רק אנשים שחשודים כחולים או נשאים.
    איך אפשר לבסס ניתוחים מתמטיים עכשוויים ועתידייים על נתונים כאלה?

  • יוסי

    המשוואה הלוגיסטית

    בכללות נכונה לכל מגיפה. הצורה שלה משתנה בהתאם לנסיבות בין השאר מספר הבדיקות. לכן, הכתבה מדגישה את היכולת של פרמטרים נוספים לשנות את מראה העקומה (אבל לא את צורתה הכללית - הסיגמואיד)

  • yoram italy

    קצב הבדיקות במגמת ירידה ורגישות הבדיקות ירוד

    המאושפזים והנפטרים יכולים לספר לנו את הסיפור המתימטי אמין יותר

  • יוסי

    קצב הבדיקות אכן משנה כמו עוד פרמטרים...

    ...אבל זה לא משנה את השיטה המתמטית או את ההתאמה למשוואה הלוגיסטית, כפי שמוסבר בכתבה