لماذا من المهمّ تسطيح (تسوية) منحنى وباء الكورونا؟ كيف نعرف متى تبدأ التّسهيلات؟ الأرقام تعطي أجوبة
إحدى خصائص وباء (جائحة) الكورونا - كسائر الأمراض المعدية - هي سرعة تفشّي الوباء بسرعة بين السّكّان. في البداية، ينتشر المرض بمعدّل أسّيّ (Exponential) حيث يرتفع عدد المصابين بوتيرة متسارعة. عرضنا في المقال السّابق كيف يمكن وصف انتشار وباء الكورونا رياضيًّا حسب المعادلة اللّوجستيّة الّتي طوّرها الرّياضيّ والطّبيب البلجيكيّ بيير فرانسوا فيرهولست (Verhulst) في أواسط القرن التّاسع عشر.
حقًا، الارتفاع الأسّيّ لعدد المصابين هو أمر مفزع ومقلق، لكن وبدون حجر صحّيّ، نستطيع أن نطمئنّ بأنّ المنحنى اللّوغستيّ (دالّة لوغستيّة) الّذي يصف ارتفاع عدد المصابين مع الوقت، سوف يستقيم (يستوي) في النّهاية. يُسمّى هذا المنحنى بالمنحنى السّيجمويديّ (دالّة سيجمويديّة) بسبب تشابهه مع الحرف اليونانيّ الصّغير سيجما ς، الّذي يشبه الحرف اللّاتينيّ S، وسوف يبقى هذا المنحنى كما هو، إن اتّخذنا إجراءات منع أم لا، لأنّه في النّهاية سوف يكون عدد المصابين صفرًا. وقد يحدث هذا في حالة تطوير لقاح ضدّ الفيروس، أو أنّ غالبيّة السّكّان تتلقّح (تتطعّم) بشكل طبيعيّ جرّاء تعرّضها للفيروس، أو أنّ الفيروس يختفي لأسباب بيئيّة.
متى نستطيع أن نخرج من الحجر الصّحّيّ؟ شاهدوا الفيلم الصّادر عن معهد دافيدسون، مجلس الأمن القوميّ ومعهد وايزمان للعلوم:
إذًا، لماذا يتطلّب اتّخاذ إجراءات المنع (الوقائيّة)؟ لماذا نتواجد في حجر صحّيّ؟ لأنّه حتّى بدون لقاح (تطعيم) نستطيع السّيطرة على الرّسم البيانيّ، والتّقرير بأن يكون منحنى ال S عموديًّا ومرتفعًا مثل منحنى الصّين الّتي استطاعت تسويته (جعله مستقيمًا) في النّهاية، أو على الأقلّ، مثل منحنى كوريا الجنوبيّة الّتي استطاعت تسويته، لكن مع أقلّ عدد من المصابين.
جد الفروق: منحنيات الإصابة بفيروس الكورونا في الصّين وكوريا الجنوبيّة خلال ثلاثة أشهر.| رسم: يوسي إلران
تستوي الدّالّة اللّوغستيّة كلّما قلّت نسبة العدوى. في الصّين، ومع بداية تفشّي الوباء، ارتفعت نسبة العدوى ب 50 % كلّ يوم. على سبيل المثال، إذا كان عدد المصابين 1000 في يوم ما، أضيف إليهم 500 مصاب في اليوم التّالي، ليصبح المجموع 1500 مصاب. وإذا بقيت نسبة العدوى كما هي في اليوم التّالي لارتفع عدد المصابين إلى 2250 مصابًا. في يوم واحد ارتفع العدد ب 750 مصابًا، وهذا مفزع حسب الارتفاع الأسّيّ. لقد نجحَ فرضُ إجراءات الحجر الصّحّيّ بشكل صارم في الصّين في تخفيض معدّل الإصابات إلى 0.07 % فقط، حتّى يوم كتابة هذه المقالة.
وماذا مع باقي الدّول كإيطاليا، إسبانيا، إنجلترا، الولايات المتّحدة ودول أخرى الّتي شهدت نسبة عدوى مرتفعة جدًّا؟ في قسم من هذه الدّول بدأ المنحنى بالاستواء، وفي قسم منها ما زال الأمر بعيدًا. والأمر المحزن هو الوباء الّذي أودى بحياة الكثيرين، إذ وصلت نسبة الوفاة إلى 10 % من عدد المصابين، مقارنة ب 1 % في إسرائيل. ويعود السّبب إلى تأخّر هذه الدّول في اتّخاذ إجراءات سريعة وصارمة كالحجر الصّحّيّ والعزل، الأمر الّذي أدّى لإصابة عدد كبير من الأشخاص، وهذا بدوره خلق ضغوطات كبيرة على المرافق والمراكز الصّحّيّة، فأدّى الأمر إلى انهيارها لنقص في الأطبّاء، ممرّضات، أسرّة، أجهزة تنفّس، وموادّ التّخدير (بنج). لا تكمن المشكلة في عدم قدرة المراكز الطّبّيّة على استقبال الأعداد الهائلة لمرضى الكورونا، وتقديم علاجات لهم فقط، بل في تقديم خدمات طبّيّة لباقي المرضى كمرضى السّرطان، مرضى القلب، مرضى السّكّري وغيرهم.
حتّى كتابة هذه السّطور، يمكن القول إنّ الوضع في إسرائيل جيّد جدًّا. من البداية كان معدّل انتشار المرض قليلًا، إذ وصل إلى 25 % كلّ يوم، وما زال في هبوط مستمرّ، ويعود ذلك إلى اتّخاذ إجراءات وقائيّة مسبقة. وحتّى وقت كتابة هذه المقالة نجد أنّ المعدّل يصل إلى 3 % فقط.
نأمل قريبًا أن تأتي الإجراءات الوقائيّة بثمارها، لتقديم تسهيلات بهدف الخروج من الحجر الصّحّيّ، على افتراض أنّنا وصلنا لدرجة تسوية المنحنى، وتجاوزنا المحنة. الرّسم البيانيّ الّذي يمثّل إسرائيل مقارنةً مع دول أخرى، يدعم هذه الفرضيّة.
المجموع الكلّيّ لعدد المصابين بالكورونا في النّمسا، إسرائيل، السّويد وأستراليا في آخر 50 يومًا.| رسم: يوسي إلران
علينا أن نكون حذرين من تفشّي المرض مجدّدًا، ولذلك علينا العمل وفق "قاعدة موجِّهة" تعتمد على تجارب سابقة وتفكير عميق. عندما نسيطر على عدد المصابين الجدد في اليوم، نستطيع أن نقلّص من إجراءات المنع والحجر الصّحّيّ على السّكّان. يستطيع علم الرّياضيّات مساعدتنا في حساب هذه الأرقام. لتوضيح ذلك نقول: بسبب وجود فرضيّات عديدة في عالم ليس مثاليًّا، فلا أهمّيّة للدّقّة. إضافة لذلك، هناك عوامل أخرى لم نأخذها بالحسبان مثل عدد الفحوصات، عدد المرضى الّذين لا يُظهرون عوارض المرض وغيرها. رغم ذلك، وحسب التّقديرات، تأثير هذه المعطيات ليس كبيرًا للغاية. لحساباتنا نعتمد على تقديرات فقط، ونحاول أن تكون ملموسة. اِخترنا، بهدف التّمرين، أن نفترض ما يلي:
أ. سعة الاستيعاب في المستشفيات الإسرائيليّة هي 1000 سرير لحالات العلاج المكثّف.
ب. عندما يصل عدد إشغال الأسرّة إلى 1000 سرير، تصبح مدّة العلاج بالمستشفى مرتبطة بمعدّل المرضى المعافين الخارجين من المستشفى، حاليًّا سنجد أنّ المدّة 60 يومًا.
ج. معدّل ارتفاع الإصابات بالعدوى هو 25 % إصابات جديدة يوميًّا. بكلمات أخرى، يتضاعف عدد المرضى كلّ ثلاثة أيّام.
د. زمن حضانة المرض (تعشيش ) هو 15 يومًا.
ه. معدّل مدّة الاستشفاء 15 يومًا.
למנוע אסון
מצב קטסטרופלי מתרחש ברגע שבתי החולים בתפוסה מלאה, כלומר כל 1,000 מיטות הטיפול הנמרץ תפוסות. במצב זה, מכיוון שקצב האשפוז והשחרור הוא כ-60 חולים קשים חדשים ביום, ואילו הגידול בהדבקה הוא מעריכי, מצטבר והולך תור של חולים מחוץ לבתי החולים, שאינם מקבלים טיפול רפואי הולם. אסור להגיע למצב כזה!
לכן אנחנו צריכים סוג של איתות אזהרה שבועיים לפני שנגיע לתוספת של 60 חולים קשים ביום אחד, מכיוון שמספר זה יגדל מעריכית, ואנו נאבד שליטה. נזכור שבערך חמישה אחוזים מהחולים הם חולים קשים, לכן המצב הקטסטרופלי יתרחש כאשר תוך שבועיים יהיו 1,200 חולים חדשים ביום אחד.
מספר "אצבע" זה הוא 40, משום שבהכפלה כל שלושה ימים גדל תוך 15 יום ל-1,280 חולים, כפי שאפשר לראות בטבלה:
המסקנה המתבקשת היא שברגע שיש 40 נדבקים חדשים ביום, יוחזרו צעדי המנע, כדי לרסן התפרצות עתידית שתהיה צפויה שבועיים לאחר מכן. מן הסתם, מקבלי ההחלטות יקחו עוד מרווח ביטחון, כדי לוודא שהתוצאות אכן מובהקות, ויחליטו על מספר נמוך מ-40, למשל 30, 25 או 20.
הניתוח המספרי הזה מדגים איך המתמטיקה מאפשרת למקבלי ההחלטות לתכנן את "אסטרטגיית היציאה" ולשלוט על המצב. רק נציין שהמספרים שבחרנו בכתבה אינם משקפים בהכרח את הנתונים האמיתיים או את בחירת הפרמטרים של מקבלי ההחלטות. אולי הם יהיו יותר זהירים ויחליטו על קצב גידול של 50 אחוז, או שאולי יש יותר מ-1,000 מיטות טיפול נמרץ, וכן הלאה. כל נתון כזה ישנה כמובן את המספרים, אבל לא את השיטה. אז מי אמר שהמתמטיקה לא רלוונטית לחיים? במקרה זה היא רלוונטית לחיים ולמוות!