קנאת מדענים
תרבה חוכמה?

למרות מה שנראה לעיתים מבחוץ, עולם המדע אינו ים שקט ורוגע, אלא נהר שוצף וסוער. לרבות מההתפתחויות הגדולות ביותר במדע ובטכנולוגיה נלוו מאבקים יצריים על קרדיט אישי, כבוד ומעמד. לא תמיד מי שההיסטוריה הכתירה בתור פורץ הדרך שפיתח תיאוריה חשובה או חשף תגלית מהפכנית אכן היה האדם הראוי ביותר לכתר. יש אפילו מקרים שבהם מחלוקות עתיקות יומין על חלוציותה של המצאה מסוימת מאפילות עד היום על גודל ההמצאה עצמה.

אחת מההמצאות הגדולות הללו היא החשבון האינפיניטסימלי, הידוע גם כחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי – או בראשי תיבות: חדו"א. תלמידי תיכון וסטודנטים רבים בארץ ובעולם יוכלו לספר על חוויות מטלטלות שהם עברו במהלך לימודי החדו"א – תיאוריה מתמטית בסיסית ואלגנטית מאוד, אך מאתגרת למי שנתקל בה לראשונה. כוחה טמון בהיותה כלי רב עוצמה לחישובים שנחוצים בענפים רבים של הידע האנושי, בהם פיזיקה, הנדסה, כימיה, ביולוגיה, כלכלה, אקולוגיה ועוד. החשבון האינפיניטסימלי מאפשר לנו לחקור שינוי של גדלים לגדלים אחרים, ומכאן נובעת השפעתה הרבה על תחומי חיים רבים העוסקים במערכות דינמיות.

הבה נכוון את מכונת הזמן שלנו קצת יותר מ-300 שנה אחורה. בזירה שלפנינו שני ענקי רוח מתגוששים על שאלה פשוטה לכאורה: מי מהם המציא ראשון את החדו"א? בפינה השמאלית, המדען והפילוסוף הבריטי אייזק ניוטון; בפינה הימנית, הפילוסוף והמדען הגרמני גוטפריד וילהלם פון לייבניץ. כיום ברור לנו כי שניהם גם יחד תרמו תרומה אדירה לפיתוח התיאוריה המתמטית החדשה, אולם בזמן אמת המאבק ביניהם היה מר למדי – ואף הסב נזק להתפתחות המדע למשך כמה דורות אחריו.

שני ענקים מתגוששים על קרדיט. דיוקנאות של ניוטון (משמאל) ולייבניץ | מקור: SHEILA TERRY, PHOTOSTOCK-ISRAEL / SCIENCE PHOTO LIBRARY

מגדלי השן

כדי להבין את תמונת המציאות שבה פעלו ניוטון ולייבניץ, יש לדעת שעולם המדע אז נראה ותפקד בצורה שונה מאוד ממה שאנו מכירים כיום. באירופה של הימים ההם רוב שכבות הציבור לא זכו להשכלה בסיסית, לא כל שכן ללימודים גבוהים. רק שכבת עילית מצומצמת של אנשי אשכולות מלומדים ישבה במגדל שן אקדמי וחבריה לא התמחו בשדה ספציפי כנהוג בימינו, אלא עסקו בעת ובעונה אחת בתחומי דעת רבים, חלקם מדעיים וחלקם נופלים כיום תחת הכותרת "פסאודו מדע". ניוטון, למשל, היה מתמטיקאי, פיזיקאי, פילוסוף, אלכימאי ואיש דת. גם לייבניץ היה כזה.

התקשורת בין מדענים נעשתה בימים ההם בעיקר באמצעות חליפת מכתבים ארוכה שנמשכה חודשים רבים ואפילו שנים. כמו כן, בשונה מהמקובל היום, חיבורים מדעיים לא עברו ביקורת עמיתים מסודרת טרם פרסומם. הנסיבות האלה, לצד גורמים פוליטיים ואחרים, אפשרו לתיאוריות מדעיות חדשות להתפתח באופן בלתי תלוי בכמה מקומות במקביל. כך קרה שהמדע האנגלי התקדם בנתיב שונה מזה של המדע ב"יבשת", הלא היא מכלול המדינות במערב אירופה ובמרכזה.

יש מי שמשייכים את היסודות של החשבון האינפיניטסימלי כבר לתקופות קדומות יותר, אולם אין מחלוקת על כך שהוא לא היה תחום מתמטי מפותח עד המחצית השנייה של המאה ה-17. ובמדע, כמו בחיים עצמם, בעיות גדולות מביאות פתרונות גדולים. וכאן מתחיל סיפורנו.

חיבורים מדעיים לא עברו ביקורת עמיתים מסודרת. מאמרו הראשון של לייבניץ על חשבון אינפיניטסימלי מ-1684 | מקור: MATHEMATICAL ASSOCIATION OF AMERICA / SCIENCE PHOTO LIBRARY

בין שתי ערים

אייזק ניוטון היה בריטי מבריק בצורה בלתי רגילה, שנולד בעיירה הקטנה וולסטרת'ורפ באנגליה הכפרית. במהלך לימודיו באוניברסיטת קיימברידג' התעניין ניוטון הצעיר בפילוסופיה, בתנועתם של גופים ובאופטיקה, שאז עוד נחשבה לענף נפרד מהפיזיקה. אחרי שהשלים את לימודיו הסתגר ניוטון בשנים 1665-6 בבית ילדותו. הסיבה לכך הייתה מגפה. לא קורונה, כמובן, אלא מגפת דֶבֶר שהשתוללה אז בלונדון והביאה לסגירת האוניברסיטאות באנגליה. מכיוון שניוטון הסתדר לא רע עם עבודה מהבית, הוא הגיע להישגים חסרי תקדים בתקופה הזאת. בראשם עומדים שלושת חוקי התנועה הנקראים כיום על שמו, שזיכו אותו במשרת פרופסור בקיימברידג'.

על מנת לתאר דינמיקה של תנועה נזקק ניוטון לשפה מתמטית חדשה, שתתאר שינויים רגעיים במסלולי הגופים. כיום קוראים לזה נגזרת. בשפה הזאת, מהירות היא שינוי רגעי במקומו של הגוף, ותאוצה היא שינוי רגעי במהירות. ניוטון קרא לתבנית השינוי בזמן "פלקסיון", ואת סימן הנגזרת רשם בתור נקודה מעל שם הפונקציה המשתנה בזמן. אך הרעיונות החדשניים שפיתח עדיין לא ראו אור.

בינתיים, כאלף קילומטר מזרחית למקום מושבו של ניוטון, באוניברסיטת לייפציג הגרמנית, פעל לייבניץ. בשונה מניוטון, שחיפש כלים יישומיים, המוטיבציה של לייבניץ הייתה מתמטית טהורה. על רעיונותיו בפיתוח החשבון האינפיניטסימלי הוא עמל במשך כעשור. לייבניץ פיתח צורת רישום נוחה במיוחד עבור מושג הנגזרת וגם עבור האינטגרל, שהוא הכללה רציפה של מושג הסכום. השיטות החדשות הללו אפשרו לו לחשב לראשונה את השטח הכלוא מתחת לעקומה ולפתור בעיות של מציאת מינימום ומקסימום. את מכלול הרעיונות האלה, שתיאר את סיפור המסגרת של החדו"א, הוא פרסם בשנת 1684.

שלוש שנים לאחר מכן פרסם ניוטון את הכרך הראשון של ספרו פורץ הדרך "עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע", הידועה כיום בקיצור בשם "פרינקיפיה" (עקרונות). הספר, שנחשב לפסגת יצירתו של ניוטון, כלל שלושה כרכים, שפירטו רעיונות מתמטיים ופיזיקליים הרי חשיבות. בראשם ניצבה תורת הכבידה ושלושת חוקי התנועה של ניוטון, שהגדירו לראשונה בצורה מדעית את תנועתם של גופים – מתפוח נופל ועד תנועת כוכבי הלכת. הכרך הראשון הוקדש לחשבון האינפיניטסימלי – שאליו הוא הגיע מנקודת מבט גיאומטרית וצורנית. בשנת 1693 ניאות ניוטון להסביר גם את רעיונותיו על הפלקסיונים, וטען כי נמנע מלדון בהם ב"פרינקיפיה" מתוך חשש שהקהילה המדעית תקבל אותם בעיקום פרצוף.

אחד הספרים החשובים בהיסטוריה של המדע כלל רק הסברים חלקיים על החשבון האינפיניטסימלי. השער ואחד מעמודי ה"פרינקיפיה" | מקור:  ROYAL INSTITUTION OF GREAT BRITAIN / SCIENCE PHOTO LIBRARY

תחילתה של יריבות מופלאה

עד כה בסיפורנו נהגו ניוטון ולייבניץ כבוד הדדי זה בזה. במהלך שנות עבודתם המקבילה על החשבון האינפיניטסימלי התכתבו השניים מפעם לפעם ואף ציטטו זה את זה בפרסומיהם. בשנת 1696, כשמתמטיקאי הצרפתי המרקיז דה-לופיטל (de l'Hôpital) פרסם את ספר הלימוד הראשון לחשבון דיפרנציאלי, הוא התבסס בו על הסמלים המתמטיים של לייבניץ, אך גם הביע הערכה עמוקה לניוטון והבליט את תרומתו לפיתוח החדו"א.

כאן נגמר ירח הדבש. בשנת 1699 האשים המתמטיקאי השוויצרי ניקולה דה-דוליה (Duillier) את לייבניץ בגניבה ספרותית מניוטון; ב-1704 נשמעה טענה הפוכה כלפי ניוטון מכותב אלמוני. האשמות כאלה הן בין החמורות ביותר שיכול מדען להשמיע כלפי עמית, גם אם הן נאמרות בידי צד שלישי.

בשנים הבאות החלו תומכיו של ניוטון לאסוף עוד ועוד סימוכין המערערים על מקוריות התיאוריה המתמטית של לייבניץ, וריכזו אותם בחוברת קצרה תחת הכותרת "איגרת המסחר". בין השאר התברר שלייבניץ ביקר בלונדון בשנת 1676 לצורך הרחבת ידיעותיו המתמטיות והפיזיקליות. ניוטון ותומכיו טענו כי במהלך הביקור עיין לייבניץ בטיוטת מאמר שלו על שיטת הפלקסיונים – השם שנתן ניוטון לרעיונותיו בתחום החשבון האינפיניטסימלי.

חמתו של ניוטון על לייבניץ הלכה וגברה בדיוק באותן שנים שבהן צבר כוח ניהולי ופוליטי בחוגים המדעיים האנגליים. בתקופה זו הוא התמנה למזכיר החברה המלכותית – הגוף המדעי החשוב והיוקרתי ביותר בבריטניה. החברה, בתורה, התגייסה להאדיר את תרומתו של ניוטון לפיתוח החדו"א ולקעקע את חלקו של לייבניץ בהישג. הצד הארסי הזה באישיותו של ניוטון ניכר גם קודם לכן במאבקו נגד המדען האנגלי רוברט הוק (Hooke), הוגה חוק הוק ומפתח המיקרוסקופ המורכב הראשון. כשהוק דרש הכרה בתרומתו לפיתוח רעיונותיו של ניוטון בתחום תורת הכבידה, סירב ניוטון בתוקף ואף פעל לגמד את חשיבותו ההיסטורית של הוק אחרי מותו.

לייבניץ, מצידו, לא השיב באיגרת דומה, אך המתמטיקאי השוויצרי יוהן ברנולי (Bernoulli), שהיה מגדולי תומכיו, תקף את ניוטון בפסים אישיים במכתב שהתפרסם בשנת 1713.

כשנשאל על שתיקתו הרועמת מול ההתקפות עליו, כתב לייבניץ: "על מנת להגיב בצורה סדורה לכל מה שפורסם נגדי, הייתי צריך לדקדק בעניינים שהתרחשו לפני שלושים וארבעים שנה, שאני בקושי זוכר משהו מהם. מה גם שבמרבית המקרים לא שמרתי עותק [... של התכתובות בינינו] וכאשר כן עשיתי זאת, העותק נקבר מתחת לערימה ענקית של ניירות, שהייתי ממיין לו רק היו לי זמן וסבלנות...". 

בשנת 1715 נעשו כמה ניסיונות ליישר את ההדורים בין ניוטון ללייבניץ, בין השאר במאמצי התיווך של המתמטיקאי האיטלקי אבָּטֶה קונטי (Conti), אך לשווא. בנובמבר 1716 הלך לייבניץ לעולמו, זמן לא רב אחרי שאיבד את תמיכת פטרונו הוותיק לודוויג מהנובר, שהפך בינתיים למלך בריטניה ג'ורג' הראשון.

נראה היה כי ידו של ניוטון על העליונה, אך אף שהמחלוקת שככה מעט, היא הייתה עדיין רחוקה מהכרעה. הוויכוח המשיך על אש קטנה עוד שנים אחדות, בעיקר בין ברנולי למתמטיקאי ג'ון קייל (Keill), ששימש דוברו ומגינו של ניוטון. בשלב הזה ניוטון עצמו כבר מאס בפולמוס הבלתי פוסק, ובשנים האחרונות לחייו חדל לחלוטין מכל עיסוק בו. הוא הלך לעולמו בשנת 1727, בגיל 84.

הכללה רצופה של מושג הסכום, מאפשרת לחשב שטחים מורכבים. האינטגרל של הפונקציה נותן את השטח הכלוא בין הגרף למערכת הצירים | איור: SCIENCE PHOTO LIBRARY

מקל בגלגלי המדע

מחוגי ההיסטוריה המשיכו לנוע. לכל אורך המאה ה-18, קהילת המדענים הבריטית הוסיפה לתמוך ללא מְצָּרִים בניוטון, ולא הכירה ביתרונות שהציעה שיטתו של לייבניץ. ההתבצרות הבריטית באסכולה של ניוטון הביאה לפירוד ואף עיכבה את התקדמות המדע הבריטי לעומת היבשת. רק בתחילת המאה ה-19, עם הופעת האלקטרומגנטיות הקלאסית, נמלכו הבריטים בדעתם ושילבו גם הם את גישתו המתמטית של לייבניץ לצד רעיונותיו הגיאומטריים של ניוטון.

במהלך המאה ה-20, מאתיים שנה ויותר אחרי מותם של ניוטון ולייבניץ, התאזנה דעת הקהל המדעית וההיסטורית באשר לתרומתם האדירה  של השניים לחשבון האינפיניטסימלי ולמדע בכלל. לא צריך להיות איינשטיין כדי להבין שמדובר בשני מאורות גדולים ברוח ובמדע, שמפעל חייהם הניע את המדע האנושי ואת הקידמה הטכנולוגית במשך מאות שנים. כתביהם דנו באותו נושא בדיוק, גם אם עשו את זה עם סמלים מתמטיים שונים ומתוך מוטיבציה אחרת. אך בסופו של דבר הן ניוטון והן לייבניץ חקרו את קסמם של השינויים הקטנים, שהתברר כי משמעותם כה גדולה.

סייג להרמוניה ההיסטורית מצוי בעובדה שניוטון נותר המפורסם מן מבין השניים בהיותו אבי המכניקה הקלאסית ותורת הכבידה, בשעה שתרומתו של לייבניץ למתמטיקה ולמדע כמעט שאיננה ידועה לציבור הרחב. ניוטון זכה לכבוד רב עוד בחייו, וניכר כי אף על פי שהכבוד הזה הגיע לו ביושר, הוא גם רדף אחריו בעצמו. הוא כיהן בין השאר כשופט, כממונה על המטבעה המלכותית, כחבר בית הלורדים ואף הוכתר בתואר אבירות והיה לסר אייזק. לייבניץ היה טיפוס סולידי וצנוע יותר, שלא ביקש לקנות לעצמו שם באמצעות מאבק וכוח. אף שנשא תפקידים רשמיים של היסטוריון, יועץ פוליטי וספרן, הוא הלך לעולמו כמעט בלי תמיכה פוליטית וחוג נאמנים ומעריצים משל עצמו.

מדידת השינוי של השינוי. הנגזרת (דיפרנציאל) של הפונקציה נותנת את השיפוע שלה בנקודה מסוימת | איור: SCIENCE PHOTO LIBRARY

ניצחון המתמטיקה

במעין פיוס פואטי בין ענקי הרוח הניצים, הקהילה המתמטית בחרה בסופו של דבר לקרוא למשפט היסודי של החדו"א, הקושר בין פעולת הגזירה לפעולת האינטגרציה, על שם ניוטון ולייבניץ גם יחד. שתי דרכי הסימון של ניוטון ולייבניץ לנגזרת נמצאות כיום בשימוש בהתאם להקשר: בעוד הכתיב של לייבניץ משמש באופן כללי לתיאור פעולת הגזירה ומאפשר פעולות מתמטיות מתקדמות יותר, הכתיב של ניוטון (סימן הנקודה) משמש לתיאור של גזירה בזמן בלבד; שתי נקודות משמשות לסימון גזירה כפולה בזמן, כמו בחוק התנועה השני של ניוטון, המתאר את הקשר בין כוח לבין תאוצה.

בספרו "פילוסופים במלחמה: המריבה בין ניוטון ללייבניץ", כתב היסטוריון המדע הבריטי אלפרד רופרט הול (Hall), "אין ספק שאייזק ניוטון היה הראשון שהנחיל את החשבון האינפיניטסימלי ושכלל אותו לכדי אלגוריתם בעל בסיס רחב, שהמימושים האפשריים שלו היו ידועים לו היטב; אין גם ספק בכך שהחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, אותו מעיין של התפתחויות גדולות שממשיך לנבוע מאז 1684 ועד ימינו, נוצר באופן בלתי תלוי בידי גוטפריד לייבניץ".

ולסיום, נקודה למחשבה: המאבק על יוקרה אישית בעולם המדע, בדומה לעולמות תוכן אחרים, הוא תולדה של אגו ורדיפת כבוד, וכיום כרוכים בו  גם אינטרסים עסקיים וכספיים לא מעטים. הצדק ההיסטורי חשוב, אך חשובה ממנו היא התגלית עצמה ותרומתה לקידום הידע האנושי. מצד שני, יש משהו משעשע בהתבוננות על שני ענקים כאלה, שעל כתפיהם כולנו עומדים, מתקוטטים על הכרה שבסופו של דבר תגיע לשניהם במשותף. אין ספק כי דרכיה של ההיסטוריה המדעית פתלתלות מאוד.