فرضيّة طاليس: بُرهَانَانِ

حسب فرضيّة طاليس، إذا كانت B ,A وC نقاطًا على الدّائرة، والقطعة AC هي قُطرٌ في الدّائرة، فإنّ الزّاوية ABC هي زاويةٌ قائمة.

كانت فرضيّةُ طاليس معروفةً في مِصرَ وبابل، لكنَّ طاليس من ميلتوس كانَ أوّل مَن برهن الفرضيّة، ولذلك سُمِّيَتِ الفَرضيّة على اسمه في أيّامنا هذه. يمكنُ برهنةُ الفرضيّة بأداةِ الهندسة الكلاسيكيّة (الهندسة الإقليديّة)، أو بأداةِ الهندسة التّحليليّة، والّتي فيها "نُترجِمُ" مَسائِلَ هندسيّةً إلى مَسائلَ جبريّة، كي نقومَ بحلّها بِصُورةٍ أسهل. 

فرضيّة طاليس وَفقًا للهندسة الإقليديّة 

لِبُرهانِ الفرضيّة، نَستَنِدُ إلى فرضيَّتَيْنِ مُساعِدَتَيْنِ:

أ. مجموعُ زوايا المثلّث هو 180°.
ب. زوايا القاعدة في المثلّث المتساوي السَّاقَيْنِ، متساويةٌ.

نرى في الصُّورة أنّ-OA=OB=OC, ولذلك فإنَّ ΔOBA ו-ΔOBC هما مثلّثانِ متساوِيا السَّاقَيْنِ. بحسبِ الفرضيّة المساعدة (ب):

∠OCB((الزّاوية بين المستقيمَيْنِ اللَّذَيْنِ يمرّانِ في- OCوفي CB مُساوِيةٌ لِـ -∠OBC (الزّاوية بين المستقيمَيْنِ اللَّذَيْنِ يمرَّانِ في OBوفي -CB). نكتُبُ:  β=∠OBC.

بصورةٍ مُشابهة: ∠BAO=∠ABO.نكتُبُ α=∠BAO.

وَفقًا لهذه التَّسمية، زوايا المثلّث ABC تكونُ   α,βו-(α+β). بحسبِ الفرضيّة المساعِدَة (أ):

β+α+(α+β)=180º ⇔ 2β+2α=180° ⇔ 2(α+β)=180° ⇔α+β=90º

وهو المطلوبُ إثباتُهُ.

فرضيّة طاليس وَفقًا للهندسة التّحليليّة 

نذكّر بأنَّ الميل m للخطّ المستقيم الّذي يمرُّ عَبرَ النُّقطَتَيْنِ $A(a_x,a_y)$ ו- $B(b_x,b_y)$  يتمُّ الحصولُ عليه على أنّه النّسبة بين الفرقِ بين إحداثيّات ال- Yللنّقاط، والفرق بين إحداثيّات ال- Xللنّقاط:

$m=\frac{b_y-a_y}{b_x-a_y}$

نستعينُ بفرضيّة مُساعِدَة: حاصلُ ضربِ ميلَيْ خَطَّيْنِ مُستقيمَيْنِ مُتعامِدَيْنِ يُساوي-1^-.

جميعُ النقاط ($x,y$) في الدّائرة (كَمَحَلٍّ هندسيّ)، الّتي مركزُها في النُّقطة ($x_0,y_0$) וونصفُ قُطرها  $R$, تحقِّقُ المعادلة.

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.$

سنكتفي لاحِقًا بدائرةٍ مركزها في نقطةِ أصلِ المحاور (الميزاتُ الهندسيّة الّتي سَنَستَعمِلُها لاحقًا ثابتةٌ عِندَ الإزاحة، أي أنّها لا تتغيَّرُ عِندَ الإزاحة).

نحسبُ ميلَ المستقيم الّذي يمرُّ في النُّقطتَيْنِ B و C، وميلَ المستقيم الّذي يمرُّ في النُّقطَتَيْنِ A وB، ونبرهنُ أنّ المستقيمَيْنِ مُتعامِدَانِ.

إحداثيّات النُّقطتَيْنِ  A ו-B הן $(-R,0)$ ו-($B_x,B_y$). ميلُ المستقيم الّذي يمرُّ في هاتين النُّقطَتَيْنِ هو
$\frac{B_y-0}{B_x - (-R)}=\frac{B_y}{B_x+R}$.

نسمِّي هذا الميل  $m$ ($m=\frac{B_y}{B_x+R}$).

إحداثياتُ النُّقطتَيْنِ  B و-C هِيَ ($B_x, B_y$)(كما هو مِن قبل) وَ-($R,0$).ميلُ المستقيم الّذي يمرُّ في هاتَيْنِ النُّقطَتَيْنِ هُو$\frac{B_y}{B_x-R}$.

نُسمِّي هذا الميل  $m'$ ($m'=\frac{B_y}{B_x-R}$).

بما أنَّ B موجودَةٌ على الدّائرة، تتحقَّقُ المعادلة: 

$B_x^2+B_y^2=R^2 \Leftrightarrow B_y^2=R^2-B_x^2$.

حاصلُ ضربِ الميلين m وَ m’مساوٍ لـِ:

$\frac{B_y}{B_x+R}\cdot\frac{B_y}{B_x-R}=\frac{B_y^2}{B_x^2-R^2}=\frac{R^2-B_x^2}{B_x^2-R^2}=-1.$

وهو المطلوبُ إثباتُهُ.