"שלושת הגופים"
ובעיות אחרות

להיט הנטפליקס החדש, הסדרה "בעיית שלושת הגופים" שעלתה לשידור במרץ, סחפה המוני צופים למסע פנטסטי שבו פיזיקה, טכנולוגיה וחוצנים משמשים בערבוביה. הסדרה מבוססת על ספרו של הסופר הסיני ליו צישין (Cixin) מ-2006, שהוא הראשון מתוך טרילוגיית "זכרו את כדור הארץ".

נראה שלאחרונה הפיזיקה זוכה לעדנה קולנועית: אחרי הכל, אחד הסרטים הגדולים של הקיץ שעבר, "אופנהיימר", עסק בפיזיקה של פצצת האטום ובפיזיקאים שפיתחו אותה. בשונה ממנו, "בעיית שלושת הגופים" מערבת הרבה מדע בדיוני, אולם יש בה גרעין של אמת שמופיע מדי פעם. היום נדון בכמה מושגים פיזיקליים שנתנו השראה לסדרה, רובם ככולם זכו לראשונה לחשיפה כזו לקהל הרחב דרך המסך הקטן. נצא לדרך, אבל זהירות – יש ספוילרים.

סחפה המוני צופים למסע פנטסטי שבו פיזיקה, טכנולוגיה וחוצנים משמשים בערבוביה. הספר שעליו מבוססת הסדרה "בעיית שלושת הגופים" | Shutterstock, Ralf Liebhold

בעיית שלושת הגופים

נתחיל, איך לא, מההתחלה – שם הסדרה. בעיית שלושת הגופים היא אחת הבעיות הוותיקות ביותר במכניקה של גרמי שמיים, והיא דנה בשאלה: כיצד השמש, כדור הארץ והירח נעים זה בהשפעת זה? בעוד את השאלה כיצד שני גופים משפיעים זה על זה בכוח המשיכה פתר אייזק ניוטון באופן אנליטי לפני כ-350 שנה, והיא נלמדת כיום בתואר הראשון בפיזיקה, את התנהגותה של מערכת בת שלושת הגופים קשה מאוד לפתור עם דף ועט. כל כך קשה, עד כי במרבית המקרים זה בלתי אפשרי.

במכניקה קלאסית, כדי לתאר באופן מלא את תנועתו של גוף יש לדעת את מיקומו ומהירותו בכל רגע נתון. לכל גוף יש שלושה רכיבי מיקום ושלושה רכיבי מהירות – לאורך, לרוחב ולגובה. כשיש שלושה גופים, עם שישה רכיבים לכל אחד, מתקבלות 18 קואורדינטות. אבל מערכת של שלושה גופים גם מאופיינת בעשרה גדלים שנשארים קבועים לאורך התנועה, כמו האנרגיה הכוללת של שלושת הגופים וגדלים נוספים שנמצא כי אינם משתנים בזמן. ריבוי הכוחות הפועלים על כל גוף במערכת, ומגוון אפשרויות התנועה לצד מגבלת התנאים הקבועים, מביאים למצב שבו קשה מאוד לחזות בחישוב מה יהיה מסלולו של כל אחד מהגופים. 

את התנהגותה של מערכת בת שלושת הגופים קשה מאוד לפתור עם דף ועט. מסלולים של שלושה גופים במערכת כזו | ויקימדיה, Dnttllthmmnm

ניוטון הצליח באמצעות קירובים להעריך את הפריגיאה של הירח, כלומר המרחק המינימלי בינו לבין הארץ, אבל בדיעבד התברר שהוא טעה וקיבל מספר גדול כפליים מהתוצאה האמיתית. אחריו, טובי המוחות בצרפת, המתמטיקאי ז'אן לה רון ד'אלמבר (d'Alembert) ויריבו המושבע אלכסיס קלרו (Clairaut), המשיכו לעסוק בבעיה אבל גם הם לא התקדמו באופן משמעותי והתחום הגיע למעין מבוי סתום.

עד אשר, כמאמר השיר, בבוקר לח בשנת תרל"ח (1878), הפיזיקאי האמריקאי ג'ורג' היל (Hill) ניסח את הבעיה מחדש. הוא כתב משוואה שזכתה לימים לשם משוואת היל, וטען כי הבעיה דומה למסה שקשורה לקפיץ או לכדור שמתנודד על חוט דק בהשפעת כוח הכבידה – מה שבמונחים פיזיקליים נקרא "מתנד הרמוני". בדרך כלל, במתנד הרמוני תדירות התנועה קבועה, אלא שבמקרה הזה תדירות התנועה של המסלולים היא בעצמה פונקציה מחזורית בזמן.

מהבעיה הזו צמחה הרבה מההבנה על מסלולים מחזוריים, מושג חשוב מאוד במכניקה: מסלולים שמתחילים ונגמרים באותו מקום ובאותה מהירות. אלה המסלולים שמאופיינים בתנועה יציבה, ובניגוד אליהם ישנם מסלולים כאוטיים, שרגישים לשינוי קל במיקומים ובמהירויות ההתחלתיות של הגופים, ותנועתם בלתי מסודרת בעליל.

כך הגיע הצורך לאפיין יציבות של מסלולים. אחד הכלים המוקדמים והשימושיים שפותחו, עוד בסוף המאה ה-19, נקרא "מפות פואנקרה" על שם המתמטיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה (Poincaré)  שהגה אותן. המפות האלה מציגות חתך מסוים של המסלול כדי להבין את טיבו; במקום לצייר את המסלול כולו, בוחנים את המיקום והמהירות אחת לפרק זמן כלשהו שמקיים תנאי מתמטי מוגדר, למשל מעבר דרך נקודת ההתחלה. מתוך הצורה שמתקבלת אפשר לקבוע אם המסלול מחזורי, דומה למחזורי או כאוטי. כיום בעיית שלושת הגופים נחקרת באמצעות אלגוריתמים מתקדמים ואפילו רשתות נוירונים. אלה מספקים אוספים עצומים של פתרונות אפשריים לבעיה, שיש לה בהתאמות הנדרשות גם יישומים בכימיה תאורטית.

בשולי הדברים אך לא בשולי חשיבותם, מסתבר שכיום, ישראל היא מרכז של פעילות ותגליות בנושא בעיית שלושת הגופים, במספר קבוצות מחקר. ד"ר ניק סטון ופרופ' ברק קול מהאוניברסיטה העברית תרמו לתורה הסטטיסטית שמאחורי הבעיה, פרופ' חגי פרץ ותלמידו יונדב ברי גינת מהטכניון הוסיפו באותו נושא וגם באחרים; פרופ׳ סמדר נאוז, ישראלית מאוניברסיטת קליפורניה בלוס אנג'לס, תרמה בנושא הבעיה ההיררכית, וכך גם פרופ' בועז כץ ממכון ויצמן למדע.

אחד הכלים המוקדמים והשימושיים שפותחו לאפיון יציבות של מסלולים נקרא "מפות פואנקרה" על שם המתמטיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה | Bill Sanderson / Science Photo Library

בסדרת הטלוויזיה מקיימת האנושות אינטראקציה עם חוצנים שמגיעים ממערכת מורכבת אף יותר, מערכת ארבע-גופית - שלוש שמשות וכוכב לכת – בשם אלפא קנטאורי, שהיא לכאורה מערכת כאוטית. אם כך, כיצד חיים יכולים להתקיים בה? במציאות מערכת אלפא קנטאורי דווקא אינה כאוטית. היא מורכבת משני כוכבים גדולים – אלפא קנטאורי A ו-B, וכן כוכב קטן בשם פרוקסימה קנטאורי. מכיוון שפרוקסימה קטן מאוד בהשוואה לשני אחיו הגדולים, המערכת מגדירה בעיית שלושת גופים שיותר דומה לבעיית שני גופים עם "הפרעה" קטנה, ובפועל – מסלולו של פרוקסימה הוא מחזורי. אנו יודעים כיום כי יש לו לפחות שלושה כוכבי לכת. הראשון מביניהם שהתגלה דומה יחסית לכדור הארץ והטמפרטורה על פניו היא בערך אפס מעלות צלזיוס, מה שלכאורה מאפשר חיים, אך הוא סובל מפעילות מגנטית מוגברת ורווי בקרינת רנטגן. שני אלה אינם מומלצים לקיום חיים, לפחות כפי שאנו מכירים אותם.

לפרוקסימה קנטאורי יש לפחות שלושה כוכבי לכת, ביניהם אחד שדומה יחסית לכדור הארץ. אילוסטרציה של הנוף על פני כוכב הלכת פרוקסימה קנטאורי b, עם שלושת כוכבי המערכת בשמיים | Mark Garlick / Science Photo Library

תקשורת דרך שזירה קוונטית

בסדרה, התקשורת של החוצנים עם בני האנוש, וחמור מכך – הריגול והמעקב של החוצנים אחרינו, נעשים באמצעות מחשבי-על זעירים, בגודל פרוטון, המכונים "סופונים". שני סופונים כאלה נמצאים אצל החוצנים ושני סופונים נשלחים לכדור הארץ, והם מעבירים זה לזה אינפורמציה באמצעות מנגנון שזירה קוונטית.

ראשיתו של מושג זה במאמר מכונן מ-1935 שכתב אלברט איינשטיין עם עמיתיו בוריס פודולסקי ונתן רוזן – שלימים עלה לארץ והיה מהפיזיקאים החשובים בטכניון. במאמרם, שמכונה EPR לפי ראשי התיבות של שמותיהם, טענו השלושה כי מכניקת הקוונטים אינה שלמה וכי יש לסלק ממנה את הרכיב ההסתברותי המושל בה; טענתם הודגמה באמצעות ניסוי מחשבתי, שנקרא "פעולה מבהילה ממרחק" (Spooky action at a distance). 

בניסוי לוקחים שני חלקיקים ש"נולדו" יחד עם תכונות מוגדרות הפוכות זו לזו, ומרחיקים ביניהם לאין שיעור. לכאורה, מדידת התכונה של חלקיק א' תספק לנו באופן מיידי, מהיר ממהירות האור, מידע באשר לתכונה של חלקיק ב', מכיוון שהתכונות הפוכות ומסונכרנות, גם אם מרחק רב מפריד בין החלקיקים. זהו למעשה רעיון השזירות, והוא נראה לכאורה מנוגד למכניקת הקוונטים, שבה ניסויים לא יכולים להשפיע זה על זה ממרחק גדול, כלומר כל הפיזיקה היא מקומית.

בניסוי לוקחים שני חלקיקים ש"נולדו" יחד עם תכונות מוגדרות הפוכות זו לזו, ומרחיקים ביניהם לאין שיעור. אילוסטרציה של שזירה קוונטית | Victor de Schwanberg / Science Photo Library

שנים אחר כך הראה הפיזיקאי האירי ג'ון סטיוארט בל (Bell) שאפשר ליישב את הפרדוקס הזה בעזרת קיומם של משתנים חבויים – אילוצים שמטרתם לבטא את ההבדלים בין המכניקה הקוונטית למכניקה הקלאסית. הוא הראה שאם מערכת קוונטית מקיימת את עקרון המקומיות, ההשפעה של ניסוי אחד על השני אינה מתרחשת מייד. בנוסף, תכונות פיזיקליות מוגדרות מעצם היותן וללא צורך במדידתן, מה שמכונה עקרון הממשיות. המסקנות הללו כונו לימים "אי שוויונות בל".

בעוד המכניקה הקלאסית היא ממשית ומקומית, מכניקת הקוונטים מפירה את האילוצים הללו; היא לא יכולה להיות ממשית ומקומית באותה עת. את ההפרה הזו מדדו בניסויים הפיזיקאים אלן אספה ( Aspect), ג'ון קלאוזר (Clauser) ואנטון ציילינגר (Zeilinger) במערכות עם פוטונים שזורים, ועל כך הוענק להם פרס נובל בפיזיקה ב-2022.

למרות כל זאת, לפי כל הידוע לנו היום, השזירה הקוונטית לא מאפשרת העברת מידע במהירות הגבוהה ממהירות האור, אפילו לא תיאורטית. קצרה היריעה מלהיכנס למורכבות מדוע הטלפורטציה הקוונטית לבדה לא מאפשרת העברת אינפורמציה. המונח טלפורטציה אולי מטעה בגלל ההקשרים התרבותיים שלו, אבל בהקשר זה משמעו הריסה של מצב קוונטי במקום אחד ויצירת מצב זהה לו במקום אחר, באותו רגע. כדי לחלץ אינפורמציה מהתהליך יש צורך בהעברת מידע נוסף בצורה קלאסית, וזה מוגבל למהירות האור.

לפי כל הידוע לנו היום, השזירה הקוונטית לא מאפשרת העברת מידע במהירות הגבוהה ממהירות האור. אילוסטרציה של מדידת חלקיקים שזורים, אחד בסין ואחד באוסטריה | Jose Antonio Peñas / Science Photo Library

הנעה גרעינית

המתמטיקאי היהודי-פולני סטניסלב אולם (Ulam) השתתף בפרויקט מנהטן לפיתוח הפצצה הגרעינית האמריקאית, שם פעל שכם אל כתף עם רוברט אופנהיימר (Oppenheimer), אדוארד טלר (Teller), אנריקו פרמי (Fermi) ונוספים שחתומים על ההישג הזה. לאחר תום המלחמה, עת התחיל העידן הגרעיני, חשב אולם על רעיון מעניין שבו הכוח הגרעיני לא יגויס לצורך צבאי, אלא במסע אל הכוכבים.

ב-1955 הרעיון הזה החל לקרום עור וגידים, כאשר אולם ועמיתו פרדריק ריינס (Reines) – שגילה באותה עת את הנייטרינו וזכה על כך לימים בפרס נובל – הציעו לבנות מטוס וטילים שיונעו בכוח הפיצוצים הגרעיניים. הרעיון צבר תאוצה כאשר הגיע לשולחנו של הנשיא אייזנהאואר. בשנים הבאות "פרויקט אוריון", שמימן הממשל האמריקאי, בחן את האפשרות הזו מבחינה תאורטית. אלא שב-1963 התקבלה האמנה למניעת ניסויים גרעיניים באטמוספירה, בחלל החיצון, ובים. זה סתם את הגולל על הפרויקט, וב-1965 הוא נזנח. אבל האמריקאים המשיכו בעקשנות לעבוד על הרעיון תחת כותרות אחרות, המרכזית שבהן נקראה "פרויקט רובר". לאחר השקעה של הון עתק, התכנית בוטלה בלא ששוגר אפילו טיל אחד שהונע בכוח הגרעין. 

אולם וריינס הציעו לבנות מטוס וטילים שיונעו בכוח הפיצוצים הגרעיניים. אילוסטרציה של הטיל מפרויקט אוריון, שלא יצא אל הפועל | NASA

רעיון ההנעה הגרעינית בכללותו עלה שוב בימי ממשל קלינטון, וירד במהרה מהפרק בשנית; והנה לאחרונה הוא עלה שוב – הפעם כבר נקבע תאריך לביצוע הניסויים הראשונים, בהובלת חברת לוקהיד מרטין ושותפות נוספות. מדע לא בדיוני במיוחד.

אחד מהרעיונות שעלו בתכניות הללו כלל שימוש במפרש חלל שירתום את האנרגיה שנפלטת  מסדרת הפיצוצים הגרעיניים. הרעיון הזה מוזכר גם בסדרה, והוא כלל לא תלוש מהמציאות. מפרשי חלל הם רעיון ותיק, שבו מנוצל הלחץ שמפעילה קרינה אלקטרומגנטית, בינתיים מהשמש, לטובת הנעה של גוף שרתום לאותו מפרש. גם זה כבר לא מדע בדיוני. 

רעיון ההנעה הגרעינית עלה שוב לאחרונה, והפעם כבר נקבע תאריך לביצוע הניסויים הראשונים. אילוסטרציה של חללית המונעת בכוח פיצוץ גרעיני | Christian Darkin / Science Photo Library

ננו-סיבים

אחת מגיבורות הסדרה, מדענית בשם אוגי, מנהלת חברה שמייצרת סיבים בעובי ננומטרי. היא נאלצת להפסיק את המחקר שלה אחרי שקיבלה מסר מהחוצנים, אך בהמשך היא מצליחה לשוב אליו ולהשתמש בסיבים האלה כדי לנקום בקבוצה של בני אנוש שמקיימים תקשורת רציפה עם החוצנים.

הסיבים הללו מוצגים כמי שמסוגלים לחתוך באבחה אפילו יהלומים; אלא שיהלומים ידועים בצדק מוחלט בתור החומר הקשה ביותר בטבע. אמנם מבחינה תאורטית קיומם של חומרים קשים יותר בא בחשבון, אך בפועל – הבכורה היא של היהלומים. לכן, ודאי שכל ננו-סיב, חזק באשר יהיה, לא מסוגל לפרוס יהלומים לפרוסות בהינף יד.

חומר שאולי היה יכול לקרוא תיגר על קשיותם של היהלומים הוא גרפן – חד-שכבה של אטומי פחמן. כאשר הגרפן מגולגל לננו-צינוריות, הוא אכן מתגלה כחומר בעל איכויות מעניינות כמו גמישות וחוזק יחסי, אך עדיין אינו יכול לשמש לצורך חיתוך, מה גם שהצינוריות הללו בדרך כלל קצרות למדי, סנטימטרים אחדים, שכן באורכים גדולים יותר מתחילים להיווצר בהם פגמים.

המחקר העכשווי בננו-סיבים הוא רחב ופוגש תחומים רבים. בין היתר, ננו-סיבים פולימריים הועלו כבר מזמן כרעיון שימושי בתעשיית הרובוטיקה, כדי לחקות רקמות אנושיות. שימושים נוספים שכבר הוכחו מחקרית הם בתעשיית האלקטרו-אופטיקה והתאים הפוטו-וולטאיים. חיתוך של קירות או דפנות של כלי שיט, כפי שעושה אוגי בסדרה, אינו במוקד העניין המחקרי, לפחות בינתיים. 

כאשר הגרפן מגולגל לננו-צינוריות הוא מתגלה כחומר גמיש וחזק, לפחות ברמה מיקרוסקופית, אך עדיין אינו יכול לשמש לצורך חיתוך. ננו-צינורית של גרפן | Robert Brook / Science Photo Library

סוף דבר – הכל נשמע?

"בעיית שלושת הגופים", כמו סדרות וסרטים רבים מסוגת המדע הבדיוני, משתמשת במדע אמיתי כבסיס להצגה של רעיונות בדיוניים. מעבר לאפקטים המרשימים ולעלילה שנטווית סביב הרעיונות הללו, ודאי אפשר למצוא גם צד חיובי בחשיפה של המונים לרעיונות מדעיים – גם אם הם נמצאים בראשיתם או אפילו מקדימים את זמנם. "בעיית שלושת הגופים" עושה שירות טוב למדע ולאוהבי הסדרות באשר הם, ועד שהמדע הבדיוני יהפוך לאמיתי – שתהיה לכם צפייה נעימה.