חוקרים מישראל ומצ'ילה פיתחו פתרון סטטיסטי לבעיית שלושת הגופים, המעסיקה מדענים מאז ימי ניוטון

בעיית שלושת הגופים היא אחת הבעיות הוותיקות במכניקה, הענף בפיזיקה שעוסק בתנועה והתנהגות של גופים בהשפעת הכוחות הפועלים עליהם, והיא מטרידה פיזיקאים קרוב לשלוש מאות שנה. הבעיה עוסקת בשאלה כיצד יתנהגו שלושה גופים המפעילים זה על זה כוחות הדדיים כמו כוח הכבידה, ואיך לחשב את מסלול תנועתם.

כדי להבין טוב יותר את הבעיה, כדאי להתחיל דווקא עם שני גופים. במערכת של שני גופים, כמו כדור הארץ והשמש שנעים אחד סביב השני, אפשר לחשב את מסלולם של שני הגופים במדויק, בהינתן מיקומם ומהירותם ההתחלתית. בעזרת חוקי התנועה של ניוטון, מקבלים משוואות שאפשר לפתור עם קצת אלגברה, ופתרונן יספק את מסלול תנועת הגופים המדויקת לאורך הזמן ועד אין קץ. באופן מפתיע, הוספה של גוף נוסף למערכת – כמו הירח – הופכת את המשוואות לבלתי פתירות  ואי אפשר לחשב את מסלולם המדויק של הגופים.

בעיה זאת משמעותית במיוחד בתחום האסטרופיזיקה, למשל לשם שחזור מסלולים היסטוריים של כוכבים. אמנם אפשר להעריך את המסלולים באמצעות חישובי מחשב, "צעד אחר צעד", אך חישובים אלה עשויים להיות מאתגרים גם למחשבים חזקים. כאשר במערכת הנתונה יש הבדל גדול מאוד במסה של הגופים, כמו במקרה של השמש, כדור הארץ  והירח, אפשר למצוא פתרון מקורב, המספיק לצרכים רבים. עם זאת, כאשר לשלושת הגופים יש מסה דומה הבעיה נעשית סבוכה במיוחד לחישוב. למעשה, מערכת כזאת היא דוגמה למערכת כאוטית – מערכת שמסלול תנועתה רגיש מאוד לשינויים הקלים ביותר בתנאים של המערכת. כך, שגיאות קלות ובלתי-נמנעות שהן חלק מטבעם של חישובי מחשב יביאו לתוצאה שעשויה להיות שונה בתכלית מהמסלול האמיתי. דווקא למקרה זה יש עניין רב באסטרונומיה שכן מפגשים של שלושה כוכבים אחראים לתופעות אסטרונומיות מעניינות.

איור של כוכב לכת במערכת התלת-כוכבית Gliese 667 | מקור: Science Photo Library
קשה מאוד לחשב את מסלולי הכוכבים בשלשות. איור של כוכב לכת במערכת התלת-כוכבית Gliese 667 | מקור: Science Photo Library

הסתברות לתוצאה מסוימת

מחקר חדש מציע פתרון לבעיית שלושת הגופים. הדמיות שנעשו בעזרת חוקי ניוטון מלמדות שמפגשים של שלושה כוכבים יוצרים מסלול סבוך שמסתיים בכך שאחד הכוכבים "נזרק" מחוץ למערכת והשניים הנותרים ממשיכים לנוע ביחד ולהקיף זה את זה. החוקרים הסיקו כי אמנם אי אפשר לחשב במדויק את מסלול הכוכבים, אך אפשר להעריך בצורה סטטיסטית את התוצאה של מפגש כזה. ההערכה הסטטיסטית מתאפשרת בזכות תכונותיה המתמטיות של בעיית שלושת הגופים – שכן מתחת להתנהגות החריגה והבלתי-צפויה של המערכת הכאוטית קיים סדר מסוים שאותו רתמו החוקרים. ניקולס סטון (Stone) מהאוניברסיטה העברית בירושלים ומאוניברסיטת קולומביה בניו יורק ונייתן ליי (Leigh) מאוניברסיטת קונספסיון בצ'ילה, מעריכים בעזרת השיטה שפיתחו את ההסתברות לתוצאה מסוימת של מפגש בין שלושה כוכבים, על סמך נתוני המערכת. כדי לתקף את תוצאותיהם, הם ביצעו הדמיות מחשב רבות על תרחישים שונים של מפגש בין שלושה כוכבים, ומצאו התאמה טובה בין הסימולציות לשיטה הסטטיסטית שפיתחו.

המחקר החדש הוא פריצת דרך של ממש בהתמודדות עם הבעיה המעסיקה פיזיקאים עוד מימי ניוטון. אמנם הוא אינו מספק פתרון מלא לבעיית שלושת הגופים, אך השיטה הסטטיסטית עשויה בהחלט לסייע בניתוח ובהבנה של אירועים אסטרונומיים משמעותיים, כמו לדוגמה מיזוגי החורים השחורים שנמדדים בגלאי גלי הכבידה LIGO.

https://davidson.weizmann.ac.il/programs/spaceandbeyond

תגובה אחת

  • ןן

    למה חדש?

    סטטיסטיקה ומחשבים קיימים לפחות 70 שנים והבעייה כ300..מה נשתנה? מחפשים מימון?