מירב גרה בדירת חדר מלבנית בגודל של 10*20 מרצפות. יום אחד היא השתעממה והחליטה לספור כמה מלבנים בגודל 2*4 מרצפות אפשר למצוא ברצפת דירתה. אחרי עבודת ספירה מאומצת היא הגיעה לתוצאה.

    

אילוסטרציה: Shutterstock

 

א. כמה מלבנים ספרה מירב?

ב. מצאו נוסחה כללית: כמה מלבנים בגודל c*d נמצא בתוך מלבן בגודל a*b?

* תודה לרמי על חידת ההרחבה לחידה ריבועים בתוך ריבוע.

שנה טובה ומאושרת ובהצלחה!

פזיה 


הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

6 תגובות

  • ליאו

    פתרון של א

    התשובה לסעיף הראשון הינה 290?
    כיוון שיש 9*19 מלבנים ובנוסף לזה ניתן לשנות את הכיוון שלהם ב90*מעלות ולקבל עוד 17*7 ריבועים

  • אוהד ניר

    ניסיון לפתרון

    א. 5*5=25
    ב.
    נניח כי גם c וגם d קטנים או שווים מ- a ו-b, כדי לא להתייחס למצבים בהם לא ניתן להכניס מלבנים לאורך או לרוחב אלא רק באלכסון - שזה קורה רק במצב בו צלע אחת של המלבן המוכל גדולה יותר משתי הצלעות של המלבן המכיל, והצלע השניה של המלבן המוכל קטנה משתי הצלעות של המלבן המכיל. לאחר מכן נרצף את המלבן המכיל במלבנים מוכלים שהם באוריינטציה של המלבן המכיל, נתחיל בשורה הראשונה:
    בשורה הזו יהיו floor(a/c) מלבנים, וישאר מרווח מלבני בשטח:
    a/c-floor(a/c) כפול d, שהוא יכול להיות שווה לאפס.
    לאחר מכן נמלא את כל העמודות בשורות הללו. מספר העמודות יהיה floor(b/d) מלבנים, וישאר מרווח מלבני ברוחב: b/d-floor(b/d).
    בשלב הזה כיסינו כבר שטח מלבני מתוך המלבן המכיל בעזרת floor(a/c)*floor(b/d) מלבנים, ונשאר לנו עוד שתי תת-מלבנים שאולי ניתן עוד להמשיך ולכסות:
    מלבן אחד בשטח:
    (a/c-floor(a/c)*b
    ומלבן שני בשטח:
    (b/d-floor(b/d)*(a-a/c+floor(a/c)
    שייתכן ובהם ניתן לרצף עוד מלבנים במידה ומסובבים את המלבן המוכל ב- 90 מעלות.
    ניקרא לצלעות המלבנים המכילים החדשים, שהצגתי אותם לפני המשפט הקודם באותיות החדשות: e,f ו- g,h ואותם אולי ניתן גם לרצף במלבנים, וגם כאן בהתחלה נרצף את השורה הראשונה באופן הבא תחיל בשורה הראשונה:
    בשורה הזו יהיו floor(e/d) מלבנים, וישאר מרווח מלבני בשטח:
    e/d-floor(e/d) כפול c, שהוא יכול להיות שווה לאפס.
    לאחר מכן נמלא את כל העמודות בשורות הללו. מספר העמודות יהיה floor(f/c) מלבנים, וישאר מרווח מלבני ברוחב: f/c-floor(f/c).
    כלומר, השתמשנו בעוד: floor(f/c)*floor(e/d) מלבנים.
    באותו אופן נרצף מלבנים בתת-מלבן השני, ונקבל עוד ~ floor(h/c)*floor(g/d) מלבנים.
    בשלב הזה לא ניתן לרצף יותר מלבנים מוכלים לאורך או לרוחב המלבן המכיל.
    ייתכן שניתן לרצף עוד מלבנים בזווית ביחס לאורנטצייה של המלבן המכיל, אבל אני לא בטוח.
    בכל מקרה, אין פה נוסחא פשוטה, זה יותר שאלה של אלגוריתם מאשר של נוסחא, לדעתי.

  • רמי

    הערות לתשובתך.

    1) להלן הכוונה בחידה, בהמשך לחידה שבועית מס 44 :
    מצא את מספר המיקומים השונים השלמים, שאפשר לשים מרצפת מלבנית בגודל 2*4, בחדר בגודל 10*20 . (כלומר כל מיקום מכסה מרצפות שלמות ולא חלקים של מרצפות)
    למשל מספר המיקומים של מלבנים בגודל 2*3 בחדר בגודל 5*4 הוא :
    2*3+4*3=17
    2) בהקשר לתשובתך לפריסה של אוסף מלבנים בגודל ממשי c*d במתחם מלבני ממשי a*b :
    - רעיון מעניין.
    - החישובים שלך נכונים.
    - למרות הכתוב בשורה האחרונה של תשובתך, לדעתי (ולפי חישובי) ,אפשר לתת נוסחה שמחשבת את מספר המלבנים השלמים (מלשון שאינם שבורים) המקסימלי האפשרי לכיסוי המתחם.

  • אוהד ניר

    הסברים לפתרון שלי ולהערות שלך

    דבר ראשון לגבי הדוגמא שנתת, של מלבנים בגודל 2*3 בחדר בגודל 4*5, אז נראה לי התכוונת ל- floor(4/2)*floor(5/3)=2*1=2
    למרות שאפשר לשים עוד מלבן קטן אחד בניצב, אני אגיע לזה...
    אלו שתי הבעיות העיקריות שהיו לי, והם לאו דווקא בנושא של מספרים שלמים או ממשיים.
    אני אתן 2 דוגמאות להמחשה:
    1. במלבן גדול במידות 10*10 (אמנם זה מלבן ריבועי, אך זה לא חובה) לא ניתן לשים מלבן קטן אחד במידות 11*1 אם ממקמים אותו לאורך או לרוחב של המלבן הגדול. אבל אם ממקמים אותו לאורך האלכסון של הריבוע, אז אפשר לשים אפילו 4 מלבנים קטנים כאלו. איך מבטאים את זה בנוסחא ?
    2. במלבן גדול בגודל 2*3, רוצים למקם מלבנים קטנים בגודל 1*2, אז אפשר למקם 2 מלבנים קטנים לאורך המלבן הגדול, ועוד מלבן אחד נוסף בניצב להם, סה"כ שלושה מלבנים, למרות שהנוסחא הפשוטה תיתן 2 מלבנים (בדומה לדוגמא שהתייחסתי אליה בתחילת התגובה), כי היא לא בודקת האם אפשר להוסיף עוד מלבנים בניצב, ובגלל זה לדעתי צריך אלגוריתם ולא נוסחא מתמטית, כי יש פה תנאי (אם ככה אז ככה...).

  • רמי

    תשובה לדוגמאות

    1) כשאמרתי שניתן ליצור נוסחה התכוונתי למלבנים לאורך או לרוחב ולא באלכסון. על זה אני אצטרך לחשוב!
    2) הנוסחה שלי כן תיתן את הערך 3 למצב שתארת. לכן הנוסחה שלי אינה כמו הנוסחה הפשוטה שלך . היא גם לא פשוטה, אך היא נוסחה !

  • רמי

    הסבר נוסף לכוונת החידה

    נסתכל על מערכת קואורדינטות רגילה.
    אזי את החדר בגודל 4*5 נייצג ע"י רביעיית הנקודות הבאה : [(0,0),(0,4),(5,4),(5,0)]
    מלבן בגודל 2*3 ניתן להציב בחדר רק ב 17 המיקומים הבאים : [(0,0),(0,2),(3,2),(3,0)] , [(1,0),(1,2),(4,2),(4,0)] , [(2,0),(2,2),(5,2),(5,0)]
    [(0,1),(0,3),(3,3),(3,1)] , [(1,1),(1,3),(4,3),(4,1)] , [(2,1),(2,3),(5,3),(5,1)]
    [(0,2),(0,4),(3,4),(3,2)] , [(1,2),(1,4),(4,4),(4,2)] , [(2,2),(2,4),(5,4),(5,2)] [(0,0),(0,3),(2,3),(2,0)] , [(1,0),(1,3),(3,3),(3,0)] , [(2,0),(2,3),(4,3),(4,0)] , [(3,0),(3,3),(5,3),(5,0)]
    [(0,1),(0,4),(2,4),(2,1)] , [(1,0),(1,4),(3,4),(3,1)] , [(2,1),(2,4),(4,4),(4,1)] , [(3,1),(3,4),(5,4),(5,1)]