בבלוגריתמוס 45 הצבנו דוגמה לבעיה כללית: בהינתן המשוואה x3+1,000,000,000=y3, האם יש בידינו שיטה שתכריע אם יש לה פתרון במספרים טבעיים?
אם נדע שיש, נוכל להגיע לפתרון על ידי בחינת כל x בסדר עולה במספר סופי של בדיקות, עד שנגיע ל-x הפותר, אך לא נוכל לגלות אם אין פתרון בשיטה זו. וגם אם נמצא פתרון אחד, לא נוכל לענות לשאלה כמה פתרונות ישנם? המשך הבדיקה בסדר עולה לא ייגמר לעולם, כי זהו תהליך אינסופי ולכאורה תמיד ייתכנו פתרונות נוספים במעלה המספרים (ושימו לב בהקשר זה לשאלת הבונוס בסוף).
נראה איך הופכים את התהליך לסופי:
ברור ש-y>x, לכן y >=x+1
נוריד x3 משני צדי המשוואה ונקבל: 1,000,000,000=109>3x2, ובחישוב מעוגל נקבל: x<18,225 .
כלומר, עלינו לבדוק "רק" את כל ערכי x מ-1 ועד 18,225 כדי לראות אם יש y שמקיים את המשוואה.
כיום מחשב יכול לבצע את זה כהרף עין, בעוד שבחישוב ידני נזדקק לכמה ימים, אך כאן ההפתעה: במקרה המסוים הזה אנו יכולים להיות מהירים לא פחות מהמחשב:
אם נכתוב את המשוואה באופן הבא: x3+(1,000)3=y3
אנו יודעים, לאחר פתרון בעית פרמה, שלא ייתכן פתרון במספרים טבעיים למשוואה מהצורה
xm+ym=zm.
בבלוג הבא נכליל את התוצאה עבור משוואה מהצורה: xm+a=ym
נסו לנסח שיטה סופית לפתרונה בדומה למקרה הפרטי שהדגמתי.
ושאלת בונוס: האם ייתכן שיהיו כמה פתרונות עבור אותו ערך של a?
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
