נניח שיש לפנינו תיבה ונאמר לנו שהיא מכילה כלי שחמט לבנים ושחורים – האם תוכלו להשיב כמה כלים לבנים יש בתיבה וכמה מהם שחורים?
שימו לב: השאלה היא לא "כמה כלים יש?", אלא האם תוכלו להשיב כמה? כלומר: היש לכם שיטה אמינה לענות על השאלה?
במקרה הנוכחי השיטה פשוטה: פותחים את הקופסה ומונים את הכלים בזה אחר זה. לכאורה נראה שהשאלה כולה מגוחכת, אבל היא פותחת לנו פתח לשאלות נוספות. למשל זו: יש לפנינו תיבת גרגרי חול, האם יש תשובה לשאלה "כמה?" גם כאן התשובה חיובית: אם נדרוש דיוק מוחלט, נוכל לספור את הגרגרים, ואם לא נסיים ימשיכו בכך בנינו, נכדינו ונינינו. אם מספיק לנו להגיע לקירוב סטטיסטי, נספור את מספר הגרגרים במדגם של נפח קטן ונחַשֵב כמה מכיל הנפח כולו, בלי שנשכח לציין את גודל הטעות הסטטיסטית.
הביטחון שיש לנו תשובה נעוץ בכך שאנו יכולים תמיד למנות ולמיין קבוצה סופית של עצמים, כולל מספרים. אך המצב שונה לחלוטין כשאנו עוסקים בקבוצות אינסופיות. לדוגמה, אולי הבעיה המתמטית המפורסמת מכולן היא המשפט האחרון של פרמה, בעיה שנפתרה רק אחרי 350 שנות מאמץ של מיטב המוחות המתמטיים!
לצרכינו ננסח אותה כך:
נתון הביטוי: xm +ym =zm.
האם קיימת או לא קיימת לפחות רביעיה אחת של מספרים טבעיים, כש-m>2, שמקיימת את השוויון הזה?
בהנחה שאיננו יודעים את התשובה, אזי מבחינתנו יש הבדל עקרוני בין תשובת "יש" לתשובת "אין". אילו היה למשל פתרון עבור m=37 ובמקרה או במזל היינו בוחרים לבדוק בסדר עולה את השלשות האפשריות עבור 37, היינו מגיעים לשלשה פותרת אחרי מספר סופי של צעדים (אתגר: נסחו שיטת בדיקה שתבטיח זאת). אך אם אין רביעייה כזו (ואכן על פי המשפט זה בדיוק המצב), לעולם לא נגיע לתשובה "אין" בשיטות שלעיל, כי בתום כל מספר סופי של בדיקות עדיין ישארו אינסוף רביעיות שלא בדקנו, ולא נוכל בשיטות האלה להוכיח "אין".
לכן יש חשיבות עצומה לתהליך שבו אנו מצמצמים בעיה מספרית, שלכאורה מכילה אינסוף אפשרויות, לבעיה "סופית" שאפשר להכריע בה "כן" או "לא" בלי להסתמך על מקריות או מזל.
לפניכם דוגמה לבעיה כזאת: האם יש או אין פתרון במספרים טבעיים למשוואה: x3+1,000,000,000=y3?
האם תוכלו לצמצם את הבעיה הזאת לבעיה סופית?
ומבלי לוותר על הפתרון המצמצם, יש גם פתרון פשוט ומבריק לשאלה הספציפית הזאת.
נסו להתמודד ובבלוג הבא נדון , נרחיב, ונפתור.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
