גילוי המספרים האי-רציונליים נחשב אבן דרך משמעותית בהתפתחות המתמטיקה היוונית. את התגלית שלא כל המספרים רציונליים נוהגים לייחס לפילוסוף היפאסוס, שחי במאה החמישית לפני הספירה והשתייך לאסכולה הפיתגוראית. בדרך כלל מסופר שהוא הוכיח שהשורש הריבועי של 2 אינו רציונלי. בכתבה זו נביא הוכחה אחרת לקיומם של המספרים האי-רציונליים ונספר קצת על ההיסטוריה של ההוכחה הזו.
ההוכחה שעליה נסתכל מזוהה גם היא עם היפאסוס, שהתעניין במספרים וביחסים בין מספרים בתוך שתי צורות גיאומטריות: מחומש משוכלל (מחומש שכל צלעותיו שוות זו לזו) וכוכב מחומש (ראו ציור). היפאסוס ניסה להוכיח שהיחס בין הצלע של מחומש משוכלל לבין אלכסוניו הוא רציונלי, כלומר, שאפשר למצוא שני מספרים שלמים $m $ ו-$n$ כך שהיחס בין הגדלים יהיה $\frac{m}{n}$.
מחומש משוכלל (מימין) וכוכב מחומש (משמאל)
לפני שנתחיל בהוכחה נשים לב לתכונה נחמדה של המחומש המשוכלל. אם נעביר בתוך המחומש את כל אלכסוניו, נקבל בתוכו כוכב מחומש שבתוכו מחומש משוכלל קטן יותר. אם נמשיך את התהליך בו אנו מעבירים בתוך המחומש הקטן יותר את אלכסוניו נקבל שוב ושוב, בתהליך אינסופי, מחומשים משוכללים, כמו בציור.
חיבור אלכסונים במחומש משוכלל יוצר מחומש משוכלל קטן יותר
ההוכחה יכולה להיות קצת מבלבלת, לכן נפתח בתיאור העקרונות שלה. בהוכחה מוצאים שוויון בין צלעות שונות בצורה שנוצרה למעלה ונעזרים בעובדה שתהליך חיבור האלכסונים הוא אינסופי. ההוכחה עושה גם שימוש בגרסה של האלגוריתם של אוקלידס למציאת המחלק המשותף המקסימלי של שני מספרים. מחלק משותף מקסימלי של שני מספרים $a$ ו-$b$ הוא המספר הגדול ביותר שמחלק את שני המספרים. המספר הזה מסומן ב-$\gcd(a,b)$.
נזכיר בקצרה את האלגוריתם של אוקלידס. אם יש לנו שני מספרים $a$ ו-$b$ כך ש-$a>b$, אפשר לחשב את השארית $c$ מחלוקת $a$ ב-$b$. נכתוב $a=qb+c$. מתקיים ש- $\gcd(a,b)=\gcd(b,c)$ – החלפנו את המספרים המקוריים בלי לשנות את המחלק המשותף המקסימלי. אפשר להמשיך את התהליך עם מספרים קטנים יותר (שנוח יותר לעבוד איתם) עד שמגיעים למצב שאחד מהם הוא 0. מכיוון ש- $\gcd(x,0)=x$ לכל מספר שלם $x$, נקבל בסופו של דבר ש- $\gcd(a,b)=x$. בהוכחה נראה מקרה פרטי שבו $q=1$ בכל שלב באלגוריתם. התהליך הזה נקרא "תהליך חיסור הדדי", כי מתקיים בכל שלב ש-$a-b=c$.
היפאסוס חי כמאתיים שנה לפני אוקלידס, לכן מובן מאליו שהוא לא הכיר את עבודתו של אוקלידס. אבל הגרסה של האלגוריתם שעליה מסתמכת ההוכחה, "תהליך החיסור ההדדי", היתה בשימוש מעשי אצל בעלי מלאכה הרבה לפני התפתחות הפילוסופיה והמתמטיקה היוונית.
בהוכחה ננסה למצוא את המחלק המשותף המקסימלי של צלע המחומש המשוכלל, שנסמן ב-$m$, ושל האלכסון שנסמן ב-$n$. נניח ששני המספרים האלו שלמים. אם נמצא מחלק משותף מקסימלי, המשמעות היא שהיחס בין הגדלים רציונלי.
נתחיל בהוכחה ונסתכל שוב על סדרת המחומשים שנוצרו מחיבור האלכסונים. נשים לב בציור שההפרש בין האלכסון של המחומש הגדול, שאורכו $n$, לבין הצלע של אותו מחומש (בכתום), שאורכו $m$, שווה לאלכסון של המחומש הקטן יותר (באדום). כלומר, אורכו של אלכסון המחומש הקטן יותר הוא $n-m$.
ההפרש בין אלכסון המחומש לצלע המחומש שווה לאלכסון המחומש הקטן יותר
נמשיך ונמצא צלעות ששוות זו לזו. נשים לב שחיבור אלכסוני המחומשים יוצר כל פעם משולשים שווי שוקיים ולכן מתקבל שוויון בין צלעות רבות, כמו שאפשר לראות בציור הבא.
מציאת צלעות שוות על ידי מציאת משולשים חופפים
ממשיכים בתהליך, כל פעם במחומש קטן יותר, וכל פעם מתקבל שההפרש בין האלכסון של מחומש לבין הצלע שלו שווה לאלכסון של המחומש הקטן ממנו. בציור הבא, לדוגמה, רואים שההפרש בין אלכסון המחומש, שמופיע באדום, לבין צלע המחומש, שמופיע בצהוב, שווה לאלכסון המחומש הקטן יותר (בוורוד).
סדרת הפרשים בין אלכסוני המחומשים לבין צלעות המחומשים
כלומר יש כאן תהליך אינסופי של מציאת הפרשים בין האלכסון לצלע המחומש והשוואתם לאלכסון של המחומש הקטן יותר. אם נחזור לתהליך החיסור ההדדי נקבל שהמחלק המשותף המקסימלי של אלכסון המחומש המשוכלל ושל צלע המחומש המשוכלל, שהם הגדלים $m$ ו-$n$ שסימנו בתחילת ההוכחה, שווים למחלק המשותף המקסימלי של אותם אלכסוני המחומשים וצלעות המחומשים הקטנים יותר.
מכיוון שהתהליך של יצירת המחומשים הוא אינסופי, גם התהליך של מציאת מחלק משותף מקסימלי יהיה אינסופי. אבל האלגוריתם של אוקלידס הוא סופי לכל שני מספרים שלמים, ובסופו אמור להתקבל מספר שלם. לכן, המסקנה היא שאי אפשר למצוא מחלק משותף מקסימלי ל-$m$ ול-$n$. מכך נובע שלא ייתכן ששני הגדלים האלה הם מספרים שלמים, כמו שהנחנו, ולכן לא ייתכן שהיחס בין הקטעים רציונלי.
קצת היסטוריה
הסיפור הידוע של גילוי המספרים האי-רציונליים הוא שהפיתגוראים הסתכלו על ריבוע יחידה (ריבוע שצלעותיו באורך 1 ס"מ) וניסו למצוא ביטוי רציונלי לאלכסון הריבוע, שלפי משפט פיתגורס אורכו הוא $\sqrt{\;2\;}$. ההוכחה לכך שאי אפשר למצוא ביטוי רציונלי ל-$\sqrt{\;2\;}$ מופיעה בכתב בספרו המפורסם של אוקלידס "יסודות", מהמאה השלישית לפני הספירה, כמאתיים שנה אחרי שהפיתגוראים גילו את המספרים האי-רציונליים. ההוכחה הזאת מסתמכת על תכונות של מספרים ותכונות אריתמטיות ואינה דורשת כמעט שום ידע בגיאומטריה.
היסטוריונים של המתמטיקה טוענים שהוכחה כזו אינה מתאימה לאסכולה הפיתגוראית, שבה הגיאומטריה תפסה מקום מרכזי והעיסוק במספרים נבע מכך שהם מבטאים גדלים גיאומטריים. כמו כן ההוכחה הזאת דורשת חשיבה מופשטת ולוגית ששונה מהכלים שהיו בידי הפיתגוראים. לכן הם מאמינים שההוכחה שהראינו כאן היא ההוכחה של היפאסוס.
ההוכחה שראינו עושה שימוש בידע שהם מאמינים שהיה נגיש בוודאות להיפאסוס: שתי תכונות גיאומטריות, של משולש שווה שוקיים ושל סכום זוויות במשולש, והשיטה עתיקת היומין של מציאת המחלק המשותף המקסימלי – שיטה שהייתה מוכרת לאומנים ובעלי מלאכה שנים רבות לפני התפתחות המדע והפילוסופיה היוונית.
הכתבה נכתבה בשיתוף עם משה קליין ומבוססת על המאמר The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontumמאת Kurt von Fritz.
יעל נוריק
המחלקה להוראת המדעים
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
