מספרים ושורשים אי-רציונליים

למספרים יש שימושים רבים בחיי היומיום שלנו. אין יום שאנו לא סופרים בו או מציינים כמויות וגדלים. עולם המספרים הזה, שלפעמים נראה לנו מובן מאליו, עבר עם השנים התפתחויות, שינויים ואפילו טלטלות.

המתמטיקאים מחלקים את עולם המספרים לכמה קבוצות, שיש ביניהן קשרים, כך שכאשר מציינים מספר כלשהו נהוג לציין לאיזו קבוצה הוא שייך. אחת הקבוצות היא המספרים השלמים, שמסומנת באות $ \mathbb{Z}$. היא מכילה את המספרים הטבעיים, שהם המספרים השלמים החיוביים ומסומנים באות $\mathbb{N}$. קבוצה נוספת היא המספרים הרציונליים, שמסומנת באות $ \mathbb{Q}$, ומוגדרת כקבוצת כל המספרים שאפשר לבטא כמנה של שני מספרים שלמים (כשהמכנה שונה מ-0). לדוגמה: $\dfrac{1}{3}$ או $\dfrac{-9}{4}$. נשים לב שהמספרים השלמים הם גם מספרים רציונליים, שכן אפשר לבטא כל מספר $a$ כ- $\dfrac{a}{1}$. לעומת זאת, המספרים האי-רציונליים מוגדרים כמספרים שאי אפשר להציגם כמנה של שני מספרים שלמים.

כל הקבוצות האלו מוכלות בקבוצת המספרים הממשיים, שמסומנת ב- $\mathbb{R}$, ונהוג להציג אותה כנקודות על הישר הממשי. קיימות גם קבוצות נוספות, אך עליהן לא נדבר הפעם. קבוצות המספרים השונות לא התגלו ולא הוגדרו באותו זמן, אלא במהלך התפתחויות וגילויים שארכו שנים רבות. בכתבה הזו נתרכז בגילוי המספרים האי-רציונליים.

מערכת המספרים הממשיים: יחסי ההכלה בין קבוצות המספרים

הישר הממשי | תרשים: ויקיפדיה

גילוי המספרים האי-רציונליים

את המספרים האי-רציונליים גילו פיתגורס ותלמידיו מ"האסכולה הפיתגוראית", אך הגילוי נשמר בסוד. מדוע? משום שהפיתגוראים האמינו שלמספרים וליחסים ביניהם יש כוחות מאגיים ואמרו ש"העולם הוא מספר", כלומר נשלט על ידי היחסים בין המספרים.

הפיתגוראים האמינו שכל גודל בטבע ניתן לביטוי כמספר שהוא יחס בין מספרים שלמים (ובמושגים שלנו מספר רציונלי). מכאן נבע שגודל הצלעותי של מצולעים , שהם גדלים טבעיים בעולם, יהיו כולם מספרים רציונליים.

פיתגורס | ציור: רפאל; התמונה לקוחה מוויקיפדיה

על פי משפט פיתגורס, $\sqrt{\;2\;}$ הוא אורך האלכסון של ריבוע היחידה, שאורך צלעותיו הוא 1 ס"מ. לפי ההנחה של הפיתגוראים, אורך האלכסון הזה אמור להיות רציונלי. זמן רב הם ניסו לבטא את $\sqrt{\;2\;}$ כמספר רציונלי, כלומר, למצוא מספרים שלמים $m$ ו- $n $  כך ש- $\sqrt{\;2\;} = \frac{\;m\;}{\;n\;}$ . כאשר נוכחו לדעת שהדבר אינו אפשרי, עברה המתמטיקה הפיתגוראית משבר גדול.

כך קרה שהפיתגוראים שמרו בסוד דבר שנחשב כיום גילוי משמעותי, מכיוון שהוא סתר את ההנחות הבסיסיות של תורתם. הפילוסוף היפאסוס, שהיה אחראי על התגלית, סולק מהאסכולה, ובגרסאות מסוימות של הסיפור נאמר שהוא טבע כעונש מהאלים או הוטבע על ידי חברי האסכולה. עם זאת, גרסאות אחרות טוענות שהגילוי לא זעזע עד כדי כך את עולמו של פיתגורס.

ריבוע היחידה שאורך אלכסונו הוא $\sqrt {\;2\;}$ ס"מ 

מדוע $\sqrt{\;2\;}$ הוא מספר אי-רציונלי?

ננסה עתה להבין מדוע $\sqrt{\;2\;}$ אינו מספר רציונלי. נשתמש בהוכחה בדרך השלילה, ונניח שקיימים מספרים שלמים $m$ ו- $n$ כך ש- $\sqrt{\;2\;} = \frac{\;m\;}{\;n\;}$, כאשר $\frac{\;m\;}{\;n\;}$ הוא שבר מצומצם. משמעות המשוואה היא ש-$2 = (\dfrac{\;m\;}{\;n\;})^2 = \dfrac{\;m^2\;}{\;n^2\;} $, כלומר $2n^2=m^2$.

מקרה א': נניח ש- $m$  הוא מספר אי זוגי. אזי גם $m^2$ הוא מספר אי-זוגי, אך זה לא יייתכן שכן $2n^2$ יהיה זוגי תמיד (בהיותו כפולה של 2), ולכן שני צידי המשוואה שונים זה מזה.

מקרה ב': נניח ש- $m$ זוגי. מכיוון ש- $\frac{\;m\;}{\;n\;}$ הוא שבר מצומצם, חייב להתקיים ש- $n$ הוא מספר אי-זוגי (אחרת יכולנו לצמצם את השבר ב-2).  $2n^2$ יהיה מספר זוגי שאינו מתחלק ב-4, מכיוון ש-$n^2$ אי-זוגי. לעומת זאת, $m^2$ יהיה מספר זוגי שכן מתחלק ב-4, ולכן לא ייתכן שוויון בין האגפים. כלומר, בכל מקרה לא יכול להיות שהשוויון מתקיים וכך סתרנו את ההנחה ש- $ \sqrt{\;2\;} = \frac{\;m\;}{\;n\;}$, ומכאן נובע ש-$\sqrt {\;2\;}$ אינו מספר רציונלי.

ל-$ \sqrt{\;2\;}$ הצטרפו עד מהרה מספרים אי-רציונליים נוספים: עם הזמן גילו היוונים שאם השורש הריבועי של מספר אינו שלם, אזי הוא אינו רציונלי. כלומר, $\sqrt{\;9\;}$, שהוא 3, או $\sqrt{\;25\;}$, שהוא 5, הם מספרים רציונליים שכן הם מספרים שלמים, אבל $\sqrt{\;12\;}$, $\sqrt{\;5\;}$, $\sqrt{\;10\;}$ וכו' הם אי-רציונליים.

השאלה שנותרה היא האם אפשר לבטא את השורשים הריבועיים האי-רציונליים כמספר כלשהו בלי להשאיר את סימן השורש?

ביטוי מקורב של שורשים אי-רציונליים

מספרים אי-רציונליים הם מספרים שהביטוי שלהם בהצגה עשרונית הוא אינסופי ולא מחזורי (כלומר, בהצגה עשרונית יהיו להם אינסוף ספרות אחרי הנקודה העשרונית, ללא מחזוריות). לכן, אי אפשר למצוא ביטוי עשרוני מדויק לשורשים ריבועיים אי-רציונליים, אך יש כמה שיטות להוצאת שורש ריבועי שנותנות קירוב של המספר או ביטוי ששואף למספר המדויק. השיטות האלו הן הבסיס לחישוב השורשים שעושה המחשבון, שהפך להיות כלי חישובי זמין רק בשנות ה-60' של המאה הקודמת. עד אז תלמידים למדו בבית הספר חלק מהשיטות הללו.

הדרך הקלה ביותר היא למצוא קירוב על ידי הוצאת שורש ריבועי ממספר שלם. לדוגמה: $\sqrt{\;83\;} \approx \sqrt{\;81\;} = 9$. אם רוצים קירוב מדויק יותר אפשר להפעיל את "שיטת ניוטון-רפסון", שמתייחסת למציאת שורשים של פונקציה ומשתמשת בכלים של אנליזה כמו נגזרת ומשיק. שיטה אחרת, בשם "השיטה של הרון" פותחה עוד בתקופת הבבלים.

במקרה של $\sqrt{\;2\;}$, קיימות דרכים נוספות לבטא אותו. הנה כמה מהן. 

דרך אחת היא לבטא את $\sqrt{\;2\;}$ כשבר משולב: $\sqrt{\;2\;} = 1+ \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{...}}}}$. 

השימוש בשבר משולב מתאים גם לחישוב שורשים ריבועיים אי-רציונליים נוספים.

דרך שנייה לבטא את $\sqrt{\;2\;}$ היא להשתמש בסדרת פל, שהיא סדרת מספרים טבעיים המוגדרת על ידי נוסחה רקורסיבית: $P_{\;n}=2P_{\;n-1}\;+\;P_{\;n-2}$ ל- $n>1$, כאשר $P_{\;0}=0$ ו- $P_{\;1}=1$.

איברי הסדרה הם 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985 וכן הלאה. אם מסתכלים על היחס בין שני איברים עוקבים בסדרה (שהוא מספר רציונלי), מקבלים שהיחס שואף ל- $\sqrt{\;2\;} + 1$, המכונה גם "יחס הכסף". הסיבה לכך נובעת מהנוסחה הישירה של איברי הסדרה: $P_{\;n}=\dfrac{(\sqrt{\;2\;} + 1)^n - (1 - \sqrt{\;2\;})^n}{2\sqrt{\;2\;}}$. עבור ערכי $n$ גבוהים, הגורם הדומיננטי בביטוי הוא $(\sqrt{\;2\;} + 1)^n$ ולכן $\lim_{\; n\to\infty\;}{\;\dfrac{P_n}{P_{n-1}}} = \sqrt{\;2\;} + 1$. בפועל, כבר באיבר התשיעי מקבלים קירוב טוב ל$\sqrt{\;2\;}$: $\dfrac{\;P_10\;}{\;P_9\;} =2.4142 \approx \sqrt {\;2\;}+1$. כמובן, ככל שמתקדמים ומחשבים איברים נוספים בסדרה, הערך שמקבלים מדויק יותר. 

אם נסתכל לדוגמה על המספר ...0.1001000100001, האם לדעתכם הוא מספר רציונלי או אי-רציונלי? מבט מהיר מכלה שהמספר אמנם נראה יפה ואפשר לכן לחשוב שהוא גם רציונלי, אך למעשה הוא אי-רציונלי משום שאינו מחזורי.

המספרים האי-רציונליים למעשה רבים מהמספרים הרציונליים, אך יש לנו עוד הרבה שאלות מעניינות לגביהם. השיטות לעשות קירוב שלהם עוזרות לנו להבין אותם קצת יותר.

יעל נוריק
המחלקה להוראת המדעים
מכון ויצמן למדע

הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.