הרצאה מפתיעה של מתמטיקאי גרמני חשפה בפני העולם פונקציה "לא נחמדה" מהשוליים הלא ממופים של ההגדרות – ועל הדרך לימדה אותנו משהו על עצמנו
ב-18 ביולי 1872 נתן קרל תאודור וילהלם ויירשטראס (Weierstraß) הרצאה באקדמיה של ברלין, והציג בה את אחת המפלצות שלו. ויירשטראס היה מומחה למפלצות. הוא גידל אותן אולי טוב יותר מכל אחד אחר. המפלצות שלו היו מוזרות, בלתי צפויות, כאלה שאף אחד לא ראה קודם. במבט ראשון לא היה בכלל ברור איזה סוג של יצור הן. הן ניפצו וניתצו גדרות וגבולות. אנחנו מדברים כמובן על מפלצות מתמטיות.
המפלצת הידועה מכולן, שזכתה להיקרא על שמו של ויירשטראס, הייתה זו שהוא הציג באותו יום בברלין. כדי להבין אותה נזדקק לשלושה מונחים, שלשלושתם יש כמובן הגדרות מתמטיות מדוקדקות. כלומר יש כעת. כשוויירשטראס הציג את המפלצת לא היו עדיין, וזה חלק מסוד הקסם שלה. נדרש הרבה זמן להגיע להגדרות הללו. תחילה הן היו מעין משהו כללי כזה שמבינים בעיקר בתחושה, והמפלצת של ויירשטראס שיחקה תפקיד מרכזי בהבהרה הסופית שלהן. כי הגבולות לא נבחנים במרכז – הם נבחנים בקצה. ושם גם חיה המפלצת של ויירשטראס, בקצה הגבולות של ההגדרות. והצורך להבין אם היא בפנים או בחוץ חידד את ההגדרות הללו.
אז נציג תחילה את המושגים שדרושים כדי להבין את המפלצת, ואז נראה את המפלצת עצמה.
ויירשטראס היה מומחה למפלצות. הוא גידל אותן אולי טוב יותר מכל אחד אחר. דיוקן של קלר ויירשטראס | ויקימדיה, ArtMechanic
פונקציה
המפלצות הללו היו פונקציות. כלומר, כנראה שזה מה שהן היו, למיטב הבנתם של ויירשטראס ובני תקופתו. הם לא ממש ידעו מה זה פונקציה. פונקציות היו יצורים חמקמקים ומשונים, שמתמטיקאים נזקקו לכמה מאות שנים כדי ללמוד איך ללכוד אותם כמו שצריך. הבעיה הכי גדולה הייתה להבין איזה סוג של יצורים הן. האם פונקציות הן יצורים מהסוג "נוסחה", או אולי "משהו שמציירים על דף"?
ביטויים כמו x2+2x נחקרו בהרחבה מבחינה מתמטית כבר בעולם המוסלמי של ימי הביניים. חלק מהמתמטיקאים אף "בודדו את הנעלמים" והתייחסו לערך הכולל של הביטוי. גם באירופה של שלהי ימי הביניים נראו כמה ניצנים של חשיבה על משתנים תלויים ובלתי תלויים. הם עדיין לא סימנו אותם אז באיקסים, כמו שאנחנו עושים היום, אלא תיארו אותם במילים כמשוואות. כל אלה יכלו להיות הניצנים של פיתוח מושג הפונקציה, אבל הם לא הבשילו ולא המשיכו לשום דבר.
רעיון הפונקציה לא הגיע מהעולם האלגברי, כ"נוסחאות", וגם לא בדיוק מהעולם הגיאומטרי של הצורות, אלא מתחום מתמטי חדש: האנליזה. שורשי התחום הזה, העוסק בתנודות, תהליכים ושינויים, טמונים בפיתוח המהפכני של הפילוסוף והמתמטיקאי הצרפתי בן המאה ה-17 רנה דקארט (Descartes), שקשר בין האלגברה לגיאומטריה והראה איך לייצג גדלים הנדסיים על ידי משתנים אלגבריים. מכאן הבשילה אחרי מותו מערכת הצירים הקרטזית, הקרויה על שמו. זה העולם שבו נולדו הפונקציות. מצד אחד יצורים גיאומטריים שיש להם צורה, ומצד שני חיות אלגבריות שמבטאות קשר בין X ל-Y.
את מושג הפונקציה טבע לראשונה בשנת 1673 אחד מענקי המתמטיקה, הפילוסוף הגרמני גוטפריד וילהלם לייבניץ (Leibniz), בשעה שעסק בגילוי תחום מתמטי חדש, החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. כבר אז משבר הזהות של הפונקציות בא לידי ביטוי. בחליפת מכתבים עם יוהאן ברנולי (Bernoulli), שהיה בעצמו מדען לא קוטל קנים, הם דיברו על פונקציות לסירוגין כעל משהו שקשור לנקודות על גרף או כמשהו שמתאים לביטוי אלגברי עם X.
את מושג הפונקציה טבע לראשונה הפילוסוף הגרמני גוטפריד וילהלם לייבניץ. לייבניץ לצד איורים של גרפים ממאמרו על חשבון דיפרנציאלי | Sheila Terry / Mathematical Association Of America / Science Photo Library
בשלב הבא בהתפתחות מושג הפונקציה כיכב עוד אחד מגדולי המתמטיקאים בכל הזמנים, לאונרד אוילר (Euler), כמעט מאה שנים מאוחר יותר. הוא היה זה שקבע את הסימון (f(x שבו אנחנו משתמשים עד היום, ואז הבין שהסימון הזה מאפשר לו להיפרד מהשורשים האלגבריים והגיאומטריים של הפונקציה, כמו בניין שכבר לא צריך את הפיגומים ששימשו לבנייתו. אוילר הבין שברעיון הפונקציה מסתתר משהו גדול יותר ומופשט יותר. בספרו משנת 1755 הוא כתב, "כשגדלים מסוימים תלויים באחרים כך שהם עוברים שינוי כשהאחרונים משתנים, אז הגדלים הראשונים נקראים פונקציות של האחרונים. למונח הזה יש אופי רחב ביותר, והוא כולל את כל הדרכים שבהן אפשר לבטא גודל אחד במונחי גודל אחר".
כלומר לא מדובר רק בגרפים שאפשר לצייר, או בביטויים אלגבריים שאפשר לכתוב עם x וחזקות ומספרים. פונקציה היא כל שינוי של גודל אחד הנובע משינוי של גודל אחר.
בהמשך ישיר לתובנה של אוילר, המושג עבר התפתחות נוספת: היום המתמטיקאים מסתכלים על פונקציות אחרת לחלוטין, ומבססים את הרעיון על תורת הקבוצות. אבל כל זה, כמובן, נמצא בעתיד מבחינת ויירשטראס ועמיתיו. מבחינתם הפונקציות היו קצת כמו שהן היום עבור תלמידי חטיבת הביניים והתיכון – גרפים שחיים על מערכת הצירים.
אם לא די בכך, כמעט כל הפונקציות שהם הכירו, בדומה לרוב הפונקציות שאנחנו פוגשים בתחילת לימודי המתמטיקה או בחיי היומיום, היו פונקציות "יפות". בגדול, זה אומר שהן עומדות בשני תנאים גדולים וחשובים. אחד מהם קצת יותר מסובך, אז נחכה איתו רגע, אבל השני מדבר על תכונה שנשמעת ברורה ומובנת במבט ראשון – רציפות. כמו קודם, גם כאן נצטרך לעשות קצת דרך כדי להבין למה בדיוק מתכוונים המתמטיקאים כשהם משתמשים במושג הזה.
רציפות
אפשר לחשוב על ציורים רציפים כעל כאלה שאפשר לצייר בלי להרים את העט מהדף. זה מושג מאוד אינטואיטיבי, וכמו שקורה לעיתים קרובות עם מושגים כאלה, מתברר שהוא קשה מאוד להגדרה מתמטית. כמה קשה? המתמטיקאי יוהאן דיריכלה (Dirichlet), שתרם תרומה משמעותית להגדרת שלל מושגים חמקמקים אחרים, כתב ב-1837 שפונקציה רציפה היא מצב שבו "כאשר x משתנה בהמשכיות וברצף, גם y המתאים לו משתנה ברציפות ובהמשכיות". נהדר. מה זה ברווז? זה משהו שהולך כמו ברווז.
אפשר לחשוב על ציורים רציפים כעל כאלה שאפשר לצייר בלי להרים את העט מהדף. פונקציה לא רציפה | Shutterstock, zizou7
המושג הוגדר בצורה ברורה מאוחר יותר, בצורה שלא ניכנס אליה כאן. ההגדרה המלאה היא משהו כמו "אם x מתקרב 'ממש ממש' לאיזשהו מקום, אז גם y מתקרב 'ממש ממש' למקום המתאים, בלי קפיצות ודילוגים" – הטריק, כמובן, היה למצוא דרך מתמטית להגיד "ממש ממש" ו"בלי דילוגים". כאמור, ההגדרות הללו נמצאו בסופו של דבר, אם כי לא על ידי דיריכלה. למזלו, זה גם היה בדרך שלא סתרה את העבודה והממצאים שלו. אנחת רווחה.
ויש עוד נקודה חשובה לזכותו של דיריכלה – הוא ציין במפורש שקיומה של "רציפות" לא אומר בהכרח שצריך להיות לפונקציה ביטוי אלגברי. כלומר יכול להיות שהיא רציפה ובכל זאת לא נוכל לכתוב נוסחה שתבטא אותה. זה בהחלט חורג ממה שרבים החשיבו עד אז בתור פונקציות. ויותר מזה, דיריכלה פתח כך את הפתח לפונקציות ממש ממש מוזרות. יכול להיות שקוראיו אפילו לא תיארו לעצמם עד כמה.
חלקות (דיפרנציאביליות)
המושג האחרון שאנו צריכים להבין הוא ה"חלקות", או דיפרנציאביליות. הכוונה היא שהציור שלנו לא קופץ, אלא משתנה בצורה חלקה. ובקיצור – שאין בו שפיצים.
למעשה זו אינה תכונה של הקו עצמו, אלא של הנקודות שבו. אם נחשוב על שפיץ אחד נראה שהוא מורכב משני חלקים חלקים (!), ורק בנקודה שבה נמצא החוד עצמו הוא לא חלק. לכן פונקציה שהגרף שלה חלק היא פונקציה שכל הנקודות בה הן יפות, חלקות, ללא שפיצים קוצניים. גם המושג הזה הוא כמובן הפשטה מטורפת של מושג מתמטי מורכב הרבה יותר. וגם הוא, ניחשתם נכון, הוגדר בצורה ברורה ומדויקת מאוחר יותר.
פונקציה שהגרף שלה חלק היא פונקציה שכל הנקודות בה הן יפות, חלקות, ללא שפיצים קוצניים. פונקציה חלקה למעט בנקודה 0 | ויקימדיה, Perhelion
המפלצת
אז לכאורה הכול בסדר. הפונקציות שעומדות בתנאים הללו, שהן רציפות וחלקות, כלומר רציפות ודיפרנציאביליות בכל נקודה, הן פונקציות מנומסות ותרבותיות. ומרגע שהצלחנו לגדר את האזור התרבותי, מובן גם איפה חיות המפלצות. אי שם בחוץ. בארץ הפונקציות הלא נחמדות.
לשם בדיוק יצא ויירשטראס, וחזר עם משהו שלא יעלה על הדעת: פונקציה שהיא גם רציפה בכל נקודה, וגם לא דיפרנציאבילית באף נקודה. זאת אומרת שהיא כל-כולה רצף של שפיצים. כל נקודה בה היא חוד, ואיכשהו כולן מצליחות להיות צמודות זו לזו. הכול שפיצים.
למה זה כל כך לא עולה על הדעת? מצד אחד, כשאנחנו מדמיינים שפיץ אנחנו מעלים בדעתנו בדרך כלל שני קטעים חלקים מימינו ומשמאלו – מין ראש חץ שכזה. למפלצת הזאת אין קטעים חלקים בכלל. מצד שני, אולי היה אפשר ליצור פונקציה כזאת אם היינו מאפשרים לה "לקפוץ", ואז כל נקודה הייתה יכולה לעמוד בפני עצמה ולהיות שפיץ של נקודה אחת. אבל הפונקציה הזאת רציפה, בלי קפיצות או דילוגים.
לכאורה נראה ששני הדברים לא יכולים לדור בכפיפה אחת, וקשה לנו אפילו לדמיין את זה. אבל הוא קיים. ויירשטראס הצליח לזמן את היצור הזה מאחד הקצוות המרוחקים של העולם המתמטי. הנה המפלצת, במלוא הדרה:
זימן אותה מאחד הקצוות המרוחקים של העולם המתמטי. הפונקציה של ויירשטראס | ויקימדיה, Eeyore22
יש לפונקציה גם ביטוי אלגברי סטנדרטי עם משתנים, הכול בסדר – חוץ מזה שמדובר במפלצת. המפלצת הזאת החריבה כמה השערות שהתברר שהיא הדוגמה הנגדית עבורן, ועד שוויירשטראס חשף את המפלצת לעיני העולם המשתאות, רבים לא האמינו שקיימת דוגמה כזאת. אבל כמו כל מפלצת, היא גם עזרה לחדד ולהבין טוב יותר את עצמנו, ואת המונחים שבהם אנחנו משתמשים. כי כמו אבירים באגדות, אנחנו נמדדים באמת כשאנחנו מתמודדים עם מפלצות.
