קימור כדור הארץ קובע מאיזה מרחק נוכל לצפות בעצמים רחוקים. אז מאיפה באמת אפשר לראות את הפסגה המושלגת?
כל מדריך טיולים ראוי לשמו מכיר את הטקס הזה: אתה עומד מול קבוצה ומשקיף איתם על הנוף (המרהיב!), מסביר על העמק שרואים מימין ועל ההיסטוריה של התל משמאל ואז, בנונשלנטיות, אתה מצביע צפון מזרחה ואומר, "ביום טוב רואים מכאן את החרמון". רק מעטים מהמטיילים יטרחו לחשוב על הגיאומטריה של כדור הארץ, ואם זה באמת מתקבל על הדעת מהמקום שאתם נמצאים בו.
כבר בעבר הרחוק הבינו מדענים שכדור הארץ הוא כדורי. אריסטו, לדוגמה, צפה בקבוצות כוכבים שונות מאזורים אחרים בכדור הארץ והסיק שתצפיותיו ייתכנו רק אם כדור הארץ עגול. בשנת 240 לפני הספירה העריך המלומד והאסטרונום היווני אֶרַטוֹסְתֶנֶס את קימור כדור הארץ על ידי מדידת הצל שמטיל עמוד אנכי על הקרקע בשני מקומות שונים, על פי השוואת המדידות והמרחק ביניהן הוא חישב שהיקף כדור הארץ הוא כ-46,250 קילומטר - שגיאה של כ-15 אחוז בלבד.
מכיוון שאור נע פחות או יותר בקו ישר, יש קצה לאופק שאנו יכולים לראות. אפשר לבדוק את זה בקלות אם הולכים לים לקראת השקיעה ויושבים על החול. אם נקום במהירות ברגע שהשמש שקעה לחלוטין מאחורי האופק, נגלה שאנחנו רואים את קצה השמש מבצבץ מחדש בגבול בין הים לשמיים.
גיאומטריה של תצפית
אז מאיפה באמת אפשר לראות את החרמון? כדי לגשת לסוג כזה של בעיה נניח כמה הנחות שיעזרו לנו לפשט אותה. לצורך העניין נתעלם מהאליפטיות של כדור הארץ ונניח שהוא כדור עגול לחלוטין ברדיוס של 6,378 קילומטר. כמו כן נניח שאין בו טופוגרפיה – כלומר אין הרים וגבעות שיחסמו את שדה הראייה שלנו. ולבסוף, נניח שהראות האטמוספרית טובה, כלומר אנחנו באמת נמצאים "ביום טוב" והאטמוספרה צלולה לחלוטין, בלי חלקיקי אבק שיעכירו אותה.
ראייה מבוססת על אור – קרינה אלקטרומגנטית שמגיעה לעינינו מהאובייקט שאנו צופים בו. לכן, על מנת שנוכל לראות עצם כלשהו, צריכה להיות לנו אפשרות למתוח קו ישר בינו לבין העין שלנו, בלי הפרעות בדרך. כעת מספיקה לנו גיאומטריה פשוטה כדי לגשת לבעיה.
ראשית, נתאר כדור שמרכזו בנקודה C. עליו נבנה משולש שקודקוד אחד שלו נמצא במרכז המעגל, השני בעיני הצופה (נקודה O) והשלישי בנקודה הכי רחוקה שאליה אפשר לצפות באופק (H). מכיוון ש-H משיקה למעגל היא יוצרת זווית ישרה (90 מעלות) עם הרדיוס, כך שנוכל להשתמש במשפט פיתגורס לחישוב המרחק בין הצופה לאופק (OH).
החישוב הזה נעשה על קו ישר, ששונה מעט מהמרחק שאנו רגילים לחשב על הקרקע בינינו לבין האופק – שהוא למעשה הקשת של הכדור. בכל אופן, בגבהים שאנחנו מדברים עליהם התוצאות יוצאות כמעט זהות. את רדיוס כדור הארץ (r) ואת גובה האדם או המגדל שעליו אנו עומדים (v) אנחנו יודעים ויכולים לחשב בהתאם את אורכן של שתיים מצלעות המשולש ולקבוע לפיהן את אורך השלישית. לנוחותכם יש מחשבון שמחשב את המרחק של האופק מאיתנו בהתאם לגובה העין מעל פני הקרקע.
משמאל: מאיזה מרחק יכול הצופה (O) לראות את האופק. כך אפשר לחשב גם את המרחק שרואים את פסגת ההר מהקרקע (ימין)
מכיוון שאנו מניחים שהאור נע בקו ישר, קצה האופק הנראה מפסגת החרמון נמצא במקום הרחוק ביותר שממנו עדיין נוכל לראות את פסגת ההר, שנמצאת בגובה של 2,814 מטר מעל פני הים. החישוב מגלה שאפשר לראות את הפסגה מגובה פני הים עד למרחק של כ-190 קילומטר ממנה בקו ישר (אורך הקשת הוא 190.3 קילומטר), תחת ההנחות שציינו. ומכאן, אפשר להלכה לראות את פסגת החרמון ביום טוב אפילו מראשון לציון.
מגדל תצפית לקפריסין
בפועל המצב כמובן מורכב יותר, כיוון שרכס ההרים של הגליל, ובכלל זה התבור והר מירון, חוצץ בין החרמון לערי מישור החוף ומגביל את התצפית. החישוב יהיה מדויק למדי אם בין הצופה לבין האופק יש מישור – אפשר למשל לחשב כך לאיזה מרחק אנו יכולים לצפות כשאנו משקיפים לעבר הים. נגלה שאדם שגובה עיניו מעל הקרקע הוא 1.80 מטר יכול לראות למרחק של כ-4.8 קילומטרים.
לאור זה, מהו גובה המגדל שנצטרך לבנות בתל אביב אם נרצה לראות מגגו את קפריסין? ובכן, אם ניקח בחשבון שהמרחק מחוף גורדון בתל אביב לנמל לימסול הוא כ-320 קילומטר, נגלה שכדי לצפות משם לעבר האי השכן נצטרך לבנות מגדל בגובה של כשמונה קילומטרים – כמעט כמו ההר הגבוה בעולם – האוורסט.
החישובים האלה כאמור אינם מדויקים לגמרי ומתעלמים מתופעות פיזיקליות נוספות כמו השפעת האטמוספרה על מסלול התקדמות האור. אחרי הכול אור הוא גל אלקטרומגנטי, ולפי עקרון פרמה בתור גל הוא אינו מתקדם בקו ישר אלא בדרך שזמן תנועתו בה הוא הקצר ביותר.
כעת נוכל לענות למדריך הטיולים בחישוב מדויק שמראה אם באמת אפשר לראות מפה את החרמון ביום טוב.
