בבלוג 59 הראינו איך אפשר לבנות מפעולת החיבור את כל ארבע פעולות החשבון האחרות, ושמתקיימים שוויונים שכורכים יחדיו את החיבור והכפל יחדיו – למשל פעולת הפילוג. ראינו גם שאם מחליפים בשוויון ab+c=abxac את פעולת ההעלאה בחזקה בפעולת הכפל, את הכפל מחליפים בחיבור ואת החיבור משאירים כחיבור – מקבלים את חוק הפילוג: a*(b+c)= (a*b)+(a*c).
הקשר החזק בין פעולות החשבון מפתה להמשיך ולחקור אותן. תכונה משותפת לכל חמש השפות הללו היא השימוש שהן עושות באותם סמלים – כלומר המספרים הממשיים. זה מזכיר את הדמיון בין השפות המערב-אירופיות השונות, שמשתמשות באותו אלפבית. אמנם יש ביניהן הבדלים אחדים, כך שבצרפתית למשל יש סימונים שאינם קיימים באנגלית – אך ההבדל בין שפת דיבור לשפה מתמטית הוא הרבה יותר עמוק: אם נשמור על כללי הכתיבה המתמטית נוכל לצרף כל סדרת מספרים שתעלה בדעתנו ונקבל ביטוי חוקי ובעל משמעות, לדוגמה, משמעותו של הביטוי 1+2+3 היא 6. בעברית, לעומת זאת, בתור שפת דיבור, "טקץ" יהיה צירוף אותיות שרירותי שאינו מילה ואין לו משמעות.
מבחינה זו, השפה המתמטית הרבה יותר חופשית משפות הדיבור. כל צירוף שרירותי אך תקין של מספרים, שיכול לכלול מספר בלתי מוגבל של מספרים – יהיה כשר תמיד. בשפות הדיבור, לעומת זאת, כמעט כל צירוף שרירותי של אותיות יהיה "לא כשר".
נמחיש זאת בחשבון פשוט: בשפה העברית יש כ-20 אלף מילים בלבד, אחוז קטן מאוד מכלל המילים האפשריות. לשם ההמחשה: מספר ה"מילים" השרירותיות, כלומר סדרה של חמש אותיות כלשהן מתוך ה-27 (כולל האותיות הסופיות), הוא 275, כלומר קרוב ל-15 מיליון מילים! אם נאפשר גם מילים של שש אותיות נגיע כבר ל-400 מיליון צירופים אפשריים!
התכונה הזו של השפה המתמטית – שבה כל סדרה של מספרים ופעולות תקינים, משמעותם או תוצאתם היא מספר – קרויה "קשירות". כל סכום, כפל, חילוק, חיסור או העלאה בחזקה של מספרים ממשיים, ייתן תמיד מספר ממשי.
התכונה הזאת נראית מובנת מאליה ולכאורה מאפיינת כל פעולה חוקית שנעלה על הדעת, אך זו טעות! פעולת הוצאת שורש היא פעולה תקינה לכאורה – ובכל זאת איננו יכולים להוציא שורש ממספר שלילי ולקבל מספר ממשי כתוצאה! דווקא אי-הקשירות של פעולות הייתה אחת התכונות הפוריות ביותר של השפה המתמטית, כי היא דחפה אותה להרחיב את גבולותיה כדי לשמור על קשירות.
דוגמאות פשוטות הן שכדי לשמור על קשירות המספרים החיוביים לגבי פעולת החיסור, עלינו להרחיב את תחום החיוביים, לאפס ולשליליים. כמו כן, כדי לאפשר להוציא שורש למספרים שליליים עלינו להרחיב את תחום המספרים הממשיים גם למספרים מרוכבים.
בבלוג הבא נחזור ונגלה את הדמיון המופלא בין חיבור לכפל.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
