בבלוג 58 הצבנו בעיה: באילו "שפות חשבוניות" מדברים חמישה שבטים שונים, שכל אחד מהם הותיר לנו משוואה נכונה אחת שאומרת:
1+2=3
1+2=2
1+2=1
1+2=-1
1+2=1/2
ייתכנו פתרונות רבים לקושיה, וחלקם מאוד סבוכים, אך אנו מעדיפים פשטות ולכן נציע פתרון פשוט: כל השפות משתמשות באותם סמלים לאותם מספרים, וגם בסמל השוויון, אך נבדלות בפירוש המתמטי שהן נותנות לסמל "+"
הראשון – מפרש אותו כפעולת חיבור: 1+2=3
השני – ככפל: 1*2=2
השלישי – כהעלאה בחזקה: 1=12
הרביעי – כחיסור: 1-2=-1
החמישי – כפעולת חילוק: 1:2=1/2
הסיבה שאנו משווים את כל אלה לשפות אינה רק שהם מאפשרים לנו להציג משוואות (משפטים) אמיתיות או שקריות – אלא כי יש בפעולות האלה כללי תחביר חמורים, למעשה הרבה יותר חמורים משפה רגילה, והם יוצרים מבנים מרתקים ותכונות שהמתמטיקאים חוקרים כבר אלפי שנים.
לכאורה כל הפעולות שונות, אך האם יש ביניהן משהו משותף או קשרים, לפחות קשרים בין חלק מהפעולות אף שכל התוצאות שונות?
אכן, בדומה לשפות שונות שהסתעפו משפה קדומה משותפת – אפשר להגדיר את כל הפעולות 5-2 בעזרת החיבור! לשם הפשטות נצמצם את העניין למקרה שבו a,b טבעיים (עבור מספרים רציונליים ואי-רציונליים ההגדרות סבוכות יותר). a*b מוגדר כ: ...a+a+a וכך הלאה b פעמים. בעזרת הכפל, שהוגדר בעזרת החיבור, נגדיר את ההעלאה בחזקה: ab, דהינו ...a*a*a*a* וכך הלאה b פעמים. (a-b) מוגדר כמספר שמקיים (a-b)+b=a. ו-a:b הוא המספר שמקיים .(a:b)*b=a
המקור המשותף הזה יוצר יחסים מרתקים בין הפעולות. למשל, בין החיבור לכפל קיים הקשר הידוע בשם חוק הפילוג (החוק הדיסטריביוטיבי): a*(b+c)=(a*b)+(a*c).
החוק בזה מוכר בוודאי לכולכם, אך לאור ההערות לעיל תוכלו לראותו במבט מעמיק יותר, ואולי הקשר הבא יפתיע אתכם: מכירים את השוויון ab*ac=ab+c? שימו לב שהוא מקשר בין שלוש הפעולות: חיבור, כפל והעלאה בחזקה!
ועתה – להפתעה: הציבו בשוויון בזה כפל במקום העלאה בחזקה, חיבור במקום כפל, והשאירו את החיבור כחיבור. השוויון יהפוך ל: a*b)+(a*c)=a*(b+c)) – החוק הדיסטריביוטיבי, חוק הפילוג!
על קשרים מפליאים נוספים – בבלוג הבא.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
