يخفي فنّ الأوريغامي القديم بداخله العديد من القواعد الرياضيّة والهندسيّة المتنوّعة، وحساباتٍ معقّدة لتكوين أشكال وشخصيّات مستوحاة من عالم الخيال
يُعتبر الأوريغامي فنًّا لطيّ الأوراق والّذي نشأ في اليابان. بدأت ممارسته منذ بضع مئات السّنين، وكان أوّل كتاب لفنّ الطيّ عبارة عن تعليمات لطيّ أشكال طائر الكركيّة، والّذي نُشِر في سنة 1797. ومنذ ذلك الوقت، تطوّرت وسائل الطيّ بشكل كبير، والّتي تُتيح الآن إنشاء أشكال معقّدة مذهلة، ومليئة بالتّفاصيل الصّغيرة.
من اليمين: طيّ أوريغامي لطائر الكركيّة (تعليمات)؛ غزال أبيض اللّون، تصميم: روبرت لانج (نمط الطيّ)؛ نمط أوريغامي متكرّر | تصوير: Tiger Images, DenisProduction.com, Shutterstock
تحوي كتب الأوريغامي تعليماتٍ للطّيّ بدءًا من صفحة واحدة- أو من عدّة صفحات مدمجة معًا في هيئاتٍ معقّدة- وتفصّل خطوات الطيّ المطلوبة لإنشاء الشكل ثلاثيّ الأبعاد المطلوب. إذا أخذنا مبنى أوريغامي مطويًّا ومن ثمّ قمنا بإعادة الصّفحة إلى حالتها قبل الطيّ، يمكننا أن نلاحظ أنماط الطيّ، أي مجموعة الطيّات الّتي شكّلت المبنى ثلاثيّ الأبعاد. سنلاحظ حينها العديد من المتماثلات فيهِ، وروابط تذكّرنا بقواعد هندسيّة مألوفة لنا.
من اليسار: مجسّم لطيّ طائر. من اليمين: بسط الصفحة المطويّة يُظهر أنماط الطيّ. الخطّ المائل الّذي يقطع الصّفحة هو محور التّناظر | تّصوير: تال سوكولوف
قوانين الطّيّ
وجد علماء الرّياضيّات العديد من أوجه الشّبه بين الأوريغامي والهندسة ومجالات أخرى في الرّياضيّات. تطوّرت المناهج الّتي تكوّن "رياضيّات الأوريغما" تدريجيًّا خلال القرن العشرين.
إنّ وحدات البناء الأساسيّة لمبنى الأوريغامي الكلاسيكيّ هي الطيّات، على الرّغم أيضًا من وجود أوريغامي رطب، والّذي يتضمّن طيّات الصّفحة الّتي لا تتطلّب الطيّ. إنّ الطيّتَين الأساسيّتَين المحتملتَين هما "الجبل" أو "الوادي"، وهما بالطّبع تتغيّران إذا قلبنا الصّفحة.
لقد قام عالم الرّياضيّات اليابانيّ جون مايكاوا (Maekawa) في ثمانينيّات القرن السابق بصياغة العلاقة بين عدد طيّات الوادي وعدد طيّات الجبل الّتي تمرّ عبر نقطة محدّدة على صفحة أوريغامي مسطّحة، أي طيّ ورقة والّتي من الممكن تسطيح شَكلها النّهائيّ، والحفاظ عليها مثلًا بين صفحات كتابٍ مغلق. تنصّ نظريّة مايكاوا على أنّ حاصل الفرق بين عدد طيّات الجبل الّتي تمرّ عبر أيّة نقطة على الصفحة وعدد طيّات الوادي سيكون دائمًا اثنين. يمكنكم اختبار ذلك بأنفسكم: حدّدوا إشارة على الصّفحة، وقوموا بطيّ أكبر عدد من الطّيّات. سيتمّ الحفاظ على حاصل الفرق طالما يمرّ الجميع من النّقطة المحدّدة، وسيبقى الأوريغامي مسطّحًا في كلّ مرحلة.
من اليمين: طيّ جبل وطيّ وادٍ. من اليسار: وفقًا لنظريّة مايكاوا، سيكون حاصل الفرق بين الطيّات الكليّة للوادي (الخطّ المقطّع) وللجبل (الخطّ المقطّع والمنقّط بالتّناوب) دائمًا 2 | صور ورسوم توضيحيّة: تال سوكولوف
تمّت صياغة ميزة أخرى متعلّقة بالطيّات الّتي تمرّ عبر نقطة على صفحة أوريغامي مسطّحة في نظريّة سُمّيت باسم عالم الرياضيّات اليابانيّ توشيكازو كاواساكي (Kawasaki). تناقش هذه النّظرية الزوايا المجاورة المتكوّنة بين الطيّات المتجاورة والّتي تمرّ عبر نفس النقطة. إذا حدّدنا الزوايا بالترتيب α3, α2, α1... وهكذا، سنجد أنّ هناك عددًا زوجيًّا من الزّوايا، والّذي يؤدّي: 0=αn – αn-1 + ... + α4 – α3 + α2 – α1
الزوايا الموجودة بين الطيّات المتجاورة والّتي تمرّ من نفس النّقطة في أوريغامي مسطّح | تصوير وتوضيح: تال سوكولوف
أي إنّه إذا قمنا بطرح وجمع حجم الزوايا حسب ترتيب ظهورها، فسوف تكون النّتيجة صفرًا. يمكن صياغة المعادلة بطريقة أخرى: حاصل جمع الزوايا الفرديّة وكذلك حاصل جمع الزوايا الزوجيّة يساوي 180 درجة.
تتعلّق كلتا المعادلتَين بصفات تجعل الأوريغامي مسطّحًا على الرغم من الطيّات. يولّد الطيّ زاوية بين أجزاء الصفحة المطويّة تجاه بعضها البعض. لنفترض أنّ طيّ الجبل يضيف درجات وأنّ طيّ الوادي ينقص درجات (من الممكن بالطبع أن يتّخذ عكس ذلك). إنّ عمليّات الطيّ، والّتي تضيف وتنقص عدد الزوايا بين أجزاء الصّفحات، يجب أن يؤدّي حاصل جمعها في النّهاية إلى بقاء الصفحة مسطّحة، أي أن يكون 0 درجات بين الاتّجاه الأصليّ والاتّجاه النهائيّ.
من الطيّ إلى الرسم البيانيّ والعكس صحيح
ترتبط مجموعة الطيّات وتقاطعاتها في نموذج الطيّات بفرع رياضيّ يُدعى نظريّة الرّسم البيانيّ. يناقش هذا المجال المباني الّتي يمكن وصفها باستخدام مجموعة من الرّؤوس والأقواس الّتي تربطها. مثالًا على ذلك، خريطة طريقٍ بين مدنٍ، أو علاقات بين مجموعةٍ من النّاس. إنّ نمط طيّ الأوريغامي يتوافق مع هذه الهيئات، بحيث تكون الخطوط الّتي تشكّلها الطّيّات مكافئةً لِأقواس الرّسم البيانيّ، ونقاط الالتقاء بين الطيّات مُكافئة للرّؤوس.
من بين الأمور الّتي يتمّ مناقشتها في عالم نظريّة الرّسم البياني مشاكل تُدعى "مشاكل التّلوين". لنفترض أنّ لدينا أربعة أقلام تلوين بألوانٍ مختلفة. يمكننا أن نتساءل ما إذا كانت أربعة ألوان كافية لتلوين المنطقة النّاتجة بين الأقواس الّتي تلتقي، إذ إنّه لا يتمّ تلوين المناطق المتجاورة على جانبي القوس بنفس اللّون أبدًا. تدعى هذه المشكلة مبرهنة الألوان الأربعة. أشار عالم الرّياضيّات الأمريكيّ توم هال (Hull) في كتابه Project Origami إلى أنّ لونَين فقط في الأوريغامي كافيان لرسم نموذج الطّيّ كاملًا، بحيث يتمّ تلوين منطقتَين متجاورتَين بألوانٍ مختلفة فورًا.
من اليمين إلى اليسار: طيّة أوريغامي ديناصور مسطّح؛ نموذج طيّ الديناصور؛ تلوين النّموذج بلونَين- لم يتمّ تلوين أيّ زوج من المضلّعات الّتي تشترك في نفس القوس بلون واحد | تصوير: تال سوكولوف
إنّ الدليل على ذلك بديهيّ في الأوريغامي المسطّح. يشير هول إلى أنّه نظرًا لإمكانيّة تسوية الأوريغامي النّهائيّ، فإنّ كلّ واحدة من الطّيّات تتّجه إلى أحد الاتّجاهين المحتملَين. إذا وضعنا الصفحة المطويّة على طاولة، فستكون هذه الاتّجاهات إلى الأعلى أو الأسفل. وإذا قمنا بتلوين جميع الوجهات المتوّجة إلى الأعلى بلون واحدٍ والمتوّجة إلى الأسفل بلونٍ آخر، فسنحصل على التّلوين المناسب. لن يتمّ تلوين أيّ زوج من الوجهات المشتركة في ضلع الطيّ بنفس اللّون، إذ يتمّ طيّ الوجهات المتجاورة دائمًا لأطراف عكسيّة- وإلّا فإنّ الأوريغامي لن يبقى مسطّحًا.
الطيّات كأدوات رياضيّة
لقد ناقشنا حتّى الآن القوانين الّتي تحدّ من الزوايا المحتملة في الأوريغامي، وطبيعة الأقواس- جبال ووديان، وكذلك الطيّات المحتملة. إنّ القيود هي الّتي تحدّد مجموعة العمليّات الّتي يمكن أداؤها في الأوريغامي. يتمّ التّعبير عنها في البديهيّات السّبع لطيّ الورق- وهي قوانين أساسيّة تَعرّفَ عليها بعض علماء الرّياضيّات بشكل منفصل في أواخر الثمانينيّات وأوائل التّسعينيّات من القرن الماضي. سمّيت بديهيّات هوزيتّا- هاتوري باسم علماء الرّياضيّات وفنّاني الأوريغامي همياكي هوزيتّا (Huzita) الّذي نشر البديهيّات الستّ الأولى، وكوشيرو هاتوري (Hatori)، الّذي أكمل السّابعة. نشر عالِم الرّياضيّات الفرنسيّ جاك جاستن (Justin) كلّ السّبع بشكل محايد وكان ذلك حتّى قبل اليابانيّين.
تصف البديهيّات السّبع الطيّات المحتملة في ظلّ القيود الرياضيّة الّتي تنطبق على الأوريغامي. وفي هذا الصّدد، لا يوجد فرق بين طيّات الجبل وطيّات الوادي:
1- عند وجود نقطتين محدّدتين على الصّفحة، هناك طيّة واحدة .
2- عند وجود نقطتين على الصّفحة، هناك طيّة واحدة ستضع نقطة واحدة فوق الأخرى.
3- عند وجود خطّين على الصّفحة، هناك طيّة واحدة ستضع أحد الخطّين فوق الآخر.
4- عند وجود نقطة وخطّ على الصّفحة، هناك طيّة عموديّة واحدة للخطّ الّذي يمرّ عبر النّقطة.
5- عند وجود نقطتين وخطّ على الصّفحة، هناك طيّة ستضع إحدى النّقاط على الخطّ وتمرّ أيضًا عبر النّقطة الأخرى.
6- عند وجود نقطتين وخطّين على الصّفحة، هناك طيّة ستضع نقطة واحدة على خطّ واحد ونقطة ثانية على الخطّ الثاني.
7- عند وجود خطّين ونقطة على الخطّ، هناك طيّة ستضع النّقطة على أحد الخطوط ويكون أيضًا عموديًّا للخطّ الثاني.
الطيّات المحتملة في ظلّ القيود الرياضيّة. البديهيّات السّبع | صوَر ورسومات توضيحيّة: تال سوكولوف
في هذه المرحلة، فإنّه ليس مفاجئًا أنّ قائمة البديهيّات تذكّرنا كثيرًا بقواعد دروس الهندسة في المدرسة الثانويّة. لكنّ هذا ليس كلّ شيئ؛ لأنّه بنظرةٍ فاحصةٍ نكتشف أيضًا ارتباطها بالجبر.
بدايةً، الهندسة: تصف البديهيّتان الأولى والثانية إيجاد خطّ مستقيم بين نقطتين، والخطّ المعامد له. وتصف البديهيّة الثالثة إيجاد خطّ منصّف للزّاوية. وتصف الرّابعة وجود خطّ عموديّ. وتمكّن البديهيّة الخامسة إيجاد نقاط التّقاطع بين خطّ مستقيم ودائرة: لنفترض وجود دائرة يتواجد مركزها في نقطة p2، ونصف قطرها هو المسافة بين p1 و p2. إذا تمّ العثور على طيّة تمرّ عبر p2، ويوضع p1 على الخطّ المستقيم، فإنّ النّقطة الّتي يلمس فيها p1 الخطّ المستقيم ستكون نصف قطر واحد بعيدًا عن p2. أي إنّها نقطة البداية بين دائرة مركزها p2 والخطّ المستقيم. إذا كان هناك طيّتان محتملتان كهاتَين، فهذا يعني أنّ هناك نقطتين على الخطّ المستقيم متواجدتَين على مسافة نصف قطر واحد من النّقطة p2، أي إنّ الخطّ المستقيم يمرذ عبر مركز الدّائرة.
من اليمين: خطّ مستقيم مماسّ للدّائرة، من اليسار: خطّ مستقيم يقطع الدائرة. بمساعدة طيّات الورق، يمكنك إيجاد نقاط التّقاطع، وحلّ المعادلة التربيعيّة | صور ورسومات توضيحيّة: تال سوكولوف
يتضمّن العثور على مماسّ الدّائرة حلّ معادلة تربيعيّة ( معادلة بالصّيغة y=ax2+bx+c). يمكن استخدام مجموعة من الطّيّات لإيجاد حلّ المعادلات التربيعيّة ومعادلات من الدرجة الثالثة، استنادًا إلى الطّرق الهندسيّة لحلّ المعادلات من الدّرجة الثّانية والثالثة. تمكّن البديهيّة السادسة من إيجاد خطّ مستقيم مماسّ لقطعَين مكافئَين، أي ما يعادل حلّ معادلة من الدرجة الثالثة والرابعة.
أظهر عالم الرّياضيّات وفنّان الأوريغامي روبرت لانـﭻ (Lang) أنّ هذه مجموعة كاملة من البديهيّات، ما يعني أنّه يمكن تحديد جميع طيّات الأوريغامي الممكنة بمساعدة هذه العمليّات.
مثال آخر لحلّ المسائل الرّياضيّة بمساعدة طيّ الورق هو مشكلة تثليث الزّاوية، والمعروفة منذ العصر اليونانيّ القديم: كيف يمكن تقسيم زاوية إلى ثلاث زوايا متساوية باستخدام المسطرة والبوصلة. تمّ الإثبات في النّصف الأول من القرن التّاسع عشر أنّه لا يمكن تقسيم كلّ زاوية بهذه الطّريقة. لا تكفي المسطرة والبوصلة بمفردهما، ولكن يمكن إضافة أدوات أخرى، من بينها الأوريغامي، لتقسيم الزّاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية بواسطتها. ولذلك، تتيح مجموعة خطوات لطيّ الورق اختيار زاوية على الصّفحة وإنشاء طيّتين إضافيّتين خلالها، بحيث تساوي كلّ زاوية من الزّوايا الثلاث الّتي أنشئت ثُلث الزّاوية الأصليّة.
الأوريغامي الحسابيّ
مهّد تعريف جميع الطيّات الممكنة والتحقيق في العلاقة بين نماذج الطيّ والشكل النهائيّ للورق المطويّ الطريق في سنوات التّسعين لفرع جديد من الأوريغامي الحسابيّ، الّذي يمكّن من قياس عمليّات وأشكال الطيّ. لقد كان روبرت لانج من بين الأوائل الّذين طوّروا برامج تحسب نماذج طيّ وفقًا لرسم خطوط خامٍّ تمثّل الهيئة المطويّة. إنّ هذه الهيئة الخطيّة هي تبسيط يسمح لوصف الخطوط العامّة للصورة المركّبة، بحيث يسمح البرنامج بالعثور على الطيّات المركزيّة في أيّ شكل هندسيّ نريده، ويمكن إضافة المزيد من التّفاصيل عليها.
أثبت عالم الرّياضيّات وفنّان الأوريغامي الكنديّ إيريك ديمين (Demaine) في سنة 1999 أنّه من الممكن طيّ أيّة صورة مركّبة من جسم متعدّد الوجوه بواسطة شريط ورقيّ. نشر ديمين في سنة 2017 خوارزميّة لطيّ أيّ شكل ثلاثيّ الأبعاد مركّب من عدّة وجوه. يمكن وصف جزء كبير من الأشكال ثلاثيّة الأبعاد الّتي يمكننا تخيّلها على أنّها مزيج من الوجوه المتعدّدة المركّبة، وبذلك تمكّن هذه الخوارزميّات إمكانيّة وجود تصميمات بشكل حرّ.
طيّات ورقيّة مصمّمة بواسطة الذكاء الاصطناعيّ | صورة: نمرود رافوفورت
تستجيب طيّات الأوريغامي لمجموعة من القوانين الهندسيّة البسيطة، لكنّها تتيح أيضًا إمكانيّة إنشاء أشكال معقّدة للغاية ويضع تصميمها مشكلة حسابيّة صعبة أمامنا. سواء كان الأوريغامي يقدّم الرّياضيّات بطريقة ثلاثيّة الأبعاد أو إذا كانت الرّياضيّات ثلاثيّة الأبعاد تخفي في داخلها قوانين الأوريغامي، فمن الواضح أنّه عبارة عن فنّ إبداعيّ ورياضيّ في نفس الوقت.
سنشاهد في المقالة القادمة من هذه السلسلة، كيف أنّ فنّ طيّ الورق له صلة أيضًا بالفيزيائيّين والمهندسين.