التّوزيعُ الطّبيعيّ، ويُسمَّى أَيضًا توزيعَ جاوس أو منحنى الجرس، هي بدون شكٍّ، طريقة التَّوزيع الأكثرُ استعمالاً في كلّ المجالات العلميّة، بدءًا بالإحصاء، مُرورًا بالبُيولوجيا، وانتهاءً بعلوم الاجتماع. يجسِّدُ التَّطبيق الّذي أمامنا كيفَ يتكوَّنُ التَّوزيعُ العاديّ. لمشاهدةِ التّطبيق، اضغطوا على الصُّورة، أوِ افتحوا الملفّ المرتبط (تطبيق جافا).
أُنتِجَ التّطبيق في إطارِ مشروع PhET في جامعة كولورادوا.
لتحميل التّطبيق وتشغيلهِ على الحاسوبِ الشَّخصيّ اضغط هنا
إذا لم تنجحوا في تشغيل التَّطبيق، حمِّلُوا برنامج Javaweb.اضغط هنا للتَّحميل، واتّبِعِ التّعليمات.
يتكوَّنُ التَّوزيع الطّبيعيّ من مجموعةِ مُشاهداتٍ عشوائيّة وغير متعلِّقة الواحدة بالأخرى، كَمِثلِ كُرَةٍ تنزَلِقُ في منحدرِ لوحةِ مسامير (كما في التَّطبيق). تسقُطُ معظمُ الكُرَاتِ في نُقطةِ المركز، ولكنَّ نسبةً قليلةً منها تَسقُطُ في الأطراف. عندما نَعُدُّ كَم كرةً سَقَطَت في كلّ ثقبٍ، ونعرضها في رسم بيانيّ على شكلِ أعمدَة (كما هو مَرسومٌ في التَّطبيق)، سنَحصُلُ على شكلِ موجَةٍ تُشبِهُ الجَرَس.
يُعرَّفُ التَّوزيعُ الطّبيعيّ عن طريقِ بارامِترَيْنِ اثنين: معدَّل المشاهدات، والّذي يمثِّلُ نقطة المركز في المنحنى؛ والاختلافُ الّذي يعرِّفُ عَرضَ الجرس. في التّطبيق، يمكنُكُم مشاهدةُ كيفَ أنّ تغيير المعدَّل والاختلاف يؤثِّرُ على منحنى التّوزيع الطّبيعيّ، عن طريق تغيير بارامتراتٍ مختلفةٍ. يُعرَّفُ المعدَّلُ، في الإحصاء، على أنّه نقطة الوسط لمجموعةٍ من الأعداد، وأمّا الاختلاف فَيُغرَّفُ على أنّهُ مؤشِّرٌ لتوزيعِ مجموعةٍ من الأعداد.
في البداية، نبدأُ بعددٍ قليلٍ مِنَ الأسطر، وهو (5)، وباحتمالٍ هُوَ 0.5. هذا يعني، أنّ للكراتِ الّتي تسقُطُ 5 أماكنَ للسُّقوطِ فيها فقط، والاحتمالُ أن يسقطوا في المركز هو الاحتمالُ الأكبر. اِبدأوا التَّطبيق بِـ (الكرة رقم 1)، واضغطوا على زرّ "ابدأ" عدَّةَ مرّات. ستبدأُ الكُراتُ بالتَّجمُّع في الأسطُرِ المختلفة. ماذا تَرَوْنَ؟ هل هنالك منطقةٌ تَتَجَمَّعُ فيها كُراتٌ أكثرُ من مِنطقةٍ أخرى؟
اِرفعُوا الآنَ عددَ السُّطُورِ إلى الحدِّ الأقصى (40 سطرًا)، وأَعيدُوا التّجربة. هلِ الشَّكلُ الّذي حصلتُم عليه، أصبحَت مألوفةً لكم؟ ستكتَشِفُونَ أنّهُ كلّما كانَت للكُراتِ أماكنُ أكثرُ للسُّقوط فيها، كانَ المنحنى أشبهَ بشكلِ الجرس (كان أكثرَ جاوسيَّةً).
حدِّدُوا الآنَ عددَ السُّطور بِـ 20 تقريبًا (لكي نحصُلَ على منحنًى جميلٍ في وقتٍ قصيرٍ نسبيًّا). اِجعلُوا الاحتمال مساوِيًا ل- 0.75، بمعنى أنْ تسقُطَ الكُراتُ في منطقة الرُّبع ال-3/4. ماذا حدَثَ للمُنحنى؟ سَتَرَوْنَ أَنَّنا إذا بَدَّلْنَا احتمالَ السُّقوط للكُرات، فإنَّ مُنحنى الجرس ستنحَرِفُ عن مكانها.
هل تستطيعُونَ تمييزَ أيّ المتغيّرات الّتي غيّرنا من قِيَمِها، تؤثِّر على الاختلافِ، وأيًّا منها تؤثّر على المعدل؟ لماذا حسب رأيكم؟
هنالكَ مِقياسانِ للمعدَّلِ في الإحصاء، ومِقياسانِ آخرَانِ للاختلافِ: أحدُهُما للمجموعة، والثّاني للشّريحة السّكَّانيّة. مِقياسا الشّريحة السُّكّانيّة، هما مقياسان يمثِّلانِ كلّ السُّكَّان، بينما مقياسَا المجموعة فيمثِّلانِ المعدَّلَ والاختلاف الخاصَّيْنِ بالمجموعة فقط. بشكلٍ طبيعيّ، يقتربُ كُلٌّ مِنَ المعدَّل والاختلاف الخاصّيْنِ بالمجموعة، مِنَ التّساوي مع المعدَّل والاختلاف الخاصَّيْنِ بالشّريحة السُّكَّانيةِ في التّوزيعِ الطّبيعيّ.
تَعَالَوْا نَتَمَعَّنْ في كيفَ أنّ المقاييسَ في المجموعةِ تتغيَّرُ كلّما أخذَتِ الكُرات بالسُّقوط. أعيدُوا الرَّسم البيانيّ إلى وضعيّة البداية، واجعلُوا قِيمَةَ الاحتمالِ مُساويةً لـِ 0.5، وعوّضُوا عدد السُّطور بالقيمة 20. مرِّرُوا الكرات في المسار، وافحَصُوا كيف تَتغيَّرُ قِيَمُ المجموعة (N=عدد الكرات; Xavg=المعدَّل, S= الاختلاف, Savg=اختلاف المعدَّل). اِنتبهوا إلى أنّهُ كلّما تراكَمَتِ الكُراتُ أكثر، فإنَّ المعدَّل والاختلاف الخاصَّيْنِ بالمجموعة، يقتربانِ بالتّدريجِ مِنَ المعدَّلِ والاختلافِ الخاصَّيْنِ بالشَّريحةِ السُّكَّانيَّة. ما هو، حسب رأيكم، الاختلافُ في المعدَّل؟ وماذا يحدثُ لها؟ ولماذا حَسَبَ رأيكم؟
أعيدُوا التَّجربة مَعَ احتمالٍ مختلفٍ، ومع عَدَدِ أسطرٍ مختلفٍ.
ندعوكم لكتابة إجاباتكم في قسم التّعقيبات، ونحنُ سَنحَاوِلُ أن نجيبَ عَن تساؤلاتِكُم جميعِها، في أقربِ وَقتٍ ممكن.
سؤالٌ للمتمَكِّنين: تعالَوْا نتخَيَّلْ توزيع العلاماتِ في صَفٍّ معيَّنٍ. كيفَ سيُرى التَّوزيع، إذا كانَ قِسمٌ مِنَ الطُّلابِ يغشُّونَ في الامتحان، وينسخونُ الإجاباتِ مِنَ الطَّالِب المجتهدِ المواظبِ في الصَّفّ؟