إنّ التّفاضُلَ والتّكاملَ مُصطلحانِ يخلقانِ اهتزازًا عندِ طلابٍ كثيرين (كما يفعلُ المصطلحُ المخيف "دالّة" تقريبًا). بالرّغم من ذلك، ففي نهايةِ الأمر، يُعتبَرُ التّفاضُلُ والتّكاملُ عمليّتَيْنِ رياضيَّتَيْنِ بسيطَتَيْنِ نسبيًّا، وذلك إذا ما استُخدِمَت مجموعةُ قوانينَ ليست بالمعقّدة، فمِنَ الممكِنِ حلُّها بدِقَّةٍ وبسُرعَةٍ.
يمثِّلُ التَّطبيقُ المحوسب الّذي أمامنا، التّفاضُلَ والتّكامل في رسمٍ بيانِيٍّ، ويشرَحُ المفهومَ المخفيّ وراءهما. لتَشغيلِ التّطبيق، اضغطوا على الصُّورة أو على النَّصِّ المرتبط تحتها (تّطبيق java )
أُنتِجَ التّطبيق في إطارِ مشروع PhET في جامعة كولورادوا.
لتحميل التّطبيق وتشغيلهِ على الحاسوبِ الشَّخصيّ اضغط هنا
إذا لم تنجحوا في تشغيل التَّطبيق، حمِّلُوا برنامج Javaweb. اضغط هنا للتَّحميل، واتّبِعِ التّعليمات
قبلَ بدايةِ العَمَلِ بالتَّطبيق، سنَقُومُ بِبعضِ التَّعريفاتِ الأساسيّة:
الدَّالَّة: تعريفُ الدّالة بحسب الموسوعة هي: "الملاءَمَةُ الّتي تلائِمُ كلَّ حَدٍّ مِنَ المجموعة الأولى، معَ حَدٍّ مِنَ المجموعة الثانية" (ويكيبيديا). بشكلٍ فعليٍّ، تُعتبَرُ الدّالَّةُ عمليّةً تنفَّذُ على مجموعة حدود (x)، ونتائجُ العمليّة تُعطي مجموعةَ قِيَمٍ مختلفة. يمكنُ أن تكونَ الدّالّة بسيطةً، مثل y=x+1, ومِنَ الممكن أن تكون مركَبة أكثرَ، مثل y=√¾x³+¼x²+96x+7sin3x² , لكن دائما نحصل على قيمة عددية اذا ما عوضنا عدد معين.
التّفاضُل (المشتَقّة): يمثِّلُ التّفاضلُ التَّغييرَ الّذي يحدثُ في وتيرة الدَّالّة. إنّ وتيرةَ التّغيير في كلّ نقطةٍ هِيَ قيمةٌ عدديّة، والتّفاضلُ قِيمةٌ رياضيّةٌ عامّة (أو دَالّةٌ، إذا أردتم)، تَصِفُ وتيرةَ التَّغيير في كلِّ نقطة. لِحسابِ التّفاضل لدالّةٍ ما، هنالكَ قوانينُ واضِحَةٌ جدًّا، موجودةٌ في كلّ كتابٍ من كُتُبِ حِسابِ التَّفاضل والتَّكامل.
التَّكامل: التّكاملُ هُوَ حِسابُ المساحة المحصورة تحت رَسم الدّالة بينَ نُقطتَيْنِ، والّذي يمكنُ التّعبيرُ عنهُ بواسطة تعبيرٍ رياضيٍّ عامّ (دالّة). التّكاملُ هو العمليّة الرّياضيّة العكسيّة للتّفاضل (حساب التّفاضل). يمكنُ القولُ إنّ دالّةً معيّنة هي التّكامل لتفاضُلِهَا، أو إنّ الدّالّة هي التّفاضل لتكامُلِها (أرجُو ألاّ يُغمى عليكم). للأَسف الشّديد، فليسَ مِنَ السَّهل إيجادُ التّكامل دائمًا؛ ولهذا السّبب، هنالك جداولُ تَكامُلٍ تُعطِي حُلولاً لبَعضِ التّكاملات الشَّائعة، وهنا أيضًا قوانينُ واضِحَةٌ لحسابِ التّكامل
ليسَ التّفاضل والتّكامل اكتشافَ المعلِّمين فقط، والّذين يُريدون مَرمَرةَ حياةِ الطُّلاّب، ولكنّ لهما أهميّة كبيرةً في الحياة اليومية. مثالٌ ممتازٌ لتلك الأهميّة، هو العلاقة بين الطّريق والسُّرعة والتَّسارع، فالسُّرعة هي تَفاضُل (مشتَقّ) الطّريق، وتَكامُل التَّسارع. يمكنُكُم مشاهدة أمثلةٍ إضافيّة في التّطبيق المسمَّىالإنسانُ يتحرَّكُ – عِلمُ الحَرَكَة (الحَرَكِيَّات). مثالٌ إضافيّ حول استعمالهما في الحياة، هو المصطلح "عمل"، والّذي يمثِّل تَكامُلاً للقوّة كدالّةٍ للطّريق.
أشيرُوا في البداية إلى الإمكانيّات Derivative ,Integral ,Grid و-Cursor بعدَ ذلِكَ، نختارُ الإمكانيّة Pedestal (في قائمة الرُّسوم البيانيّة في الجهة اليُمنى، ونضغط على الزّرّ الثّاني من الجهة اليُمنى العُليا، والّذي يشبِهُ الدّرجة). اِختاروا نقطةً في الرّسم الأوسط، وارفعوها إلى الأعلى قليلاً. ستحصُلونَ على شِبهِ مُستطيلٍ في الرَّسم الأوسط. أمعنوا النّظرَ في رسم التّفاضل df/dx (الرّسم السُّفليّ). (كما ذكرنا، فإنّ التّفاضلَ هو وتيرة التّغيير في الدّالّة. كما تَرَوْنَ، في بداية الدّرجة، يكونُ التّغيير في الوتيرة عاليًا جدًّا، لأنّ رسم الدّالّة (f(x يتصاعَدُ مرّةً واحِدَةً. بعدَ ذلِكَ، تتحوّلُ وتيرةُ التّغيير إلى الصّفر (أي ليسَ هناكَ تَغييرٌ)، ومرّةً أخرى، تنحدِرُ وتيرةُ التّغيير أسفلَ الدَّرَجَة. اِنتبهوا إلى أنّ اتّجاه التّغيير في هذه المرّة كانَ سلبيًا. هل تَستَطِيعُونَ أن تخمّنوا السَّبَب؟
والآنّ، نُمعِنُ النَّظَر في رسم التّكامل البيانيّ (في الأعلى). كما هو معلومٌ، فإنّ التّكامُلَ هو المساحة المحصورةُ تَحتَ الدَّالّة. سَتَرَوْنَ أنّ المساحة هي صفر حتّى الصُّعودِ في الدّرجة، وخلالَ التَّقدُّمِ في الدّرجة، يصعدُ التّكامل بصُورَةٍ مباشرة (خطيّة)، وبعدَ الدَّرجة، يبقى التّكامل ثابتًا، ولكنّهُ لا يعودُ إلى الصِّفر. سَببُ ذلك بسيطٌ: بما أنّ التّكامُلَ يِصِفُ مساحَةً، فكلّما تقدَّمنا في الدَّالّة (f(x، أخَذَتِ المساحة الكُلّيّة تحتَ الدّالة في الازدياد. وبما أنّ الدّالّة على شكلِ مستطيلٍ، فكلّما تقدّمنا فيها، زادَت مساحتها بشكلٍ ثابِتٍ (مستقيم). بعدَ الانتهاء مِنَ المرور على المستطيل، لن تستمرَّ المساحة تتابع في الازدياد (لأنّ المساحة المحصورة تحت الدّالّة، تعودُ ابتداءً من هذه النُّقطة لِتكُونَ صِفرًا)، ولكنَّ المساحةَ الَّتي تَمَّ حِسابُها لا زَالَت موجودةً.
والآن، تَعَالَوْا نُتابِعِ الدَّالَّةَ نفسَها، ولكن من زاوية رؤية مختلفةٍ بعضَ الشَّيء: لقَد ذكَرْنَا في التَّعريفات أنَّ الدَّالَّة هي التّكامل للتّفاضل، أيِ المساحة المحصورة تحت الرّسم البيانيّ للتّفاضل. في بدايةِ التّفاضُل، نرى قَفزَةً حادَّة نحو الأعلى، وفي نهايتِهِ قفزةً حادَّةً نحو الأسفل. المساحَة المحصورةُ تحتَ هذه القفزةِ هو مُستطيلُنا، والقفزة الحادّة نحو الأسفل تُعطِي مساحةً مساويَةً في قيمتها، ومُعاكِسَةً في اتّجاهها (الاتّجاه السّلبيّ)، وبهذا فهو يحذِفُ المساحة السَّابقة، ويُعطينا مساحةً نهائيّةً صِفريَّة.
قُلنَا أيضًا إنَّ الدَّالَّة هي التَّفاضُل للتَّكامل، أي أنّها وتيرةُ التّغيير لدالّة التَّكامُل. يتغيَّرُ التَّكاملُ بشَكلٍ مباشر في منطقة المستطيل، وبعدها يتوقَّف عن التّغيُّر. تُعطينا الدَّالَّةُ (الّتي تبيِّنُ وتيرةَ تغيير التَّكامل) قِيمةً ثابتةً لا تساوي صِفرًا في منطقة المستطيل، وهو ميلُ المنطقة نفسِها في التّكامُلِ أيضًا. (اِفحصوا ذلك بأنفسكم). بعد المستطيل، وبالرّغم من أنَّ قِيمَةَ التَّفاضل لا تساوي صِفرًا، فهو ثابتٌ، ولهذا فالتَّغيير فيه مُساوٍ للصِّفر، كما في الدَّالَّة تمامًا.
هيّا بنا نقومُ ببعضِ التَّمرينات الصّغيرة:
اِجعَلُوا للدَّالَّةِ قيمةً صفريَّةً، واختاروا الإمكانيّة Offset وهي في الجهةِ اليُمنى السُّفلى، خطٌّ مستقيمٌ وتحته خطٌّ متقطِّع. ترفعُ هذه الإمكانيّة كلّ الرّسمِ البيانيّ إلى الأعلى. ما هو التّفاضل؟ ولماذا؟ ما هو التّكامل؟ ولماذا؟
اِجعلُوا للدَّالَّةِ قيمةً صِفريَّةً، واختارُوا الإمكانيّة Tilt وهي في الجهةِ اليُسرى السُّفلى، خطٌّ مائِلٌ وتحته خطٌّ متقطِّع. تسبِّبُ هذِهِ الإمكانيّة إزاحةَ كلّ الرّسم البيانيّ إزاحةً زاوِيَّةً إلى الأعلى. ما هو التّفاضل؟ ولماذا؟ ما هو التّكامل؟ ولماذا؟
اِدمجوا ما بَينَ الإمكانيّات الثّلاث الّتي قُمنا بفحصِها (أي الدَّرجة والرَّفع والإزاحة)، وافحصوا إذا ما كان بإمكانِكُم تفسيرُ الرُّسوم البيانيّة بمصطلحاتِ تغيير الوتيرة (أي بالتّفاضُل)، والمساحة المحصورة (أي بالتّكامُل).
جرِّبوا الإمكانيّة line في الجهةِ اليُمنى العُليا، وهي تُشبِهُ المثلَّث. اشرحوا ما تَرَوْنَهُ بالطَّريقةِ نفسِها الَّتي عملنا بها في المثال الأَوَّل.
تعلَّمنا في هذا التَّطبيق، عن ماهيّة التّفاضل والتَّكامل وأهميّتهما. تستطيعُونَ استخدامَ هذه الرُّسومِ البيانيّة كي تَشرَحُوا دَوالَّ تُصادِفوُنهَا في تَعلِيمِكُم، ولكي تَفهموا هذا الموضوعَ بشكلٍ أَفضَل.
سؤالٌ للمتمَكِّنين: ما هي القيمةُ العدديّة لتّكامل دالَّةٍ دوريّة مثل دالّة sin أو دالّة cos؟