سلسلة فيبوناتشي هي سلسلة أعداد تتضمّن قوانين خاصّة. يمكن العثور عليها في الطّبيعة التي حولنا - حتّى في شجرة الصّنوبر.
الأدوات
- مخروط الصّنوبر
- قلم ألوان
التّجربة
يمكننا رؤية مسار التّجربة في الفيديو:
الشّرح
عندما تتجوّلون في الطّبيعة وتُشاهدون مخروطًا من الصّنوبر على الأرض، التقطوه وانظروا إليه. ستكتشفون مؤكّدًا أنّ قشورها مرتّبة في لولبيّات، تبدأ من أسفل مخروط الصّنوبر إلى الأعلى. إذا وضعتم أصابعكم على القشرة في الأسفل، وواصلتم الحركة نحو القشور التي تأتي بعدها في نفس المسار، ستحصلون على شكل لولبيّ يرتفع إلى الأعلى. يمكن تلوين المسارات لرؤيتها بوضوح. يحوي كلّ مخروط صنوبر نوعيْنِ من اللّولب: لولبًا يساريًّا، إذا اخترنا أن نميل إلى اليسار من كل قشرة، وَلولبًا يمينيًّا، إذا اخترنا أن نميل إلى اليمين.
لنحسب عدد اللّوالب التي تمكّنّا من إنشائها باتّجاهٍ واحد، وكم عددها في الاتّجاه الآخر؟ سنجد أنّه في معظم الحالات سيكون عدد اللّوالب 5 أو 8 أو 13. وهذه ليست أعدادًا عشوائيّة. هذه الأعداد هي جزء من سلسلة فيبوناتشي.
وُصِفت سلسلة فيبوناتشي لأوّل مرّة من قِبل علماء الرّياضيّات الهنود، لكنّها حصلت على اسمها من ليوناردو بيزا، المعروف أيضًا باسم فيبوناتشي (Fibonacci, 1250 –1170)، الذي قدّمها للغرب. سلسلة الأعداد هي مجموعة من الأعداد المرتّبة واحدة تلو الأخرى. في بعض السّلاسل، يمكن العثور على قانون يحدّد العدد التّالي في القائمة.
العدد الأوّل في سلسلة فيبوناتشي هو 0 ويتبعه العدد 1. هناك قانون يحدّد باقي الأعداد في السّلسلة: كلّ عدد هو عبارة عن مجموع العدديْن اللذيْن سبقاه. العدد الثّالث هو 0+1=1، والعدد الرّابع هو 1+1=2، والعدد الخامس هو 1+2=3، والعدد السّادس هو 2+3=5، والعدد السّابع هو 3+5=8 والثّامن هو 8+5=13، وبهذا الشّكل حصلنا على الأعداد اللّولبيّة لمخروط الصّنوبر.
السّلسلة لانهائيّة، والأعداد الأوليّة الّتي فيها هي:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
أنتم مدعوّون لحساب الأعداد التّالية في هذه السّلسلة.
تظهر أعداد هذه السّلسلة في العديد من الأماكن الأخرى في الطّبيعة، مثلًا في لولبيّات بذور عبّاد الشّمس، وعلى أوراق البَتَلَة في العديد من الزّهور.
لولبيّات ذوي اتّجاهين في عبّاد الشّمس | تصوير: Min C. Chiu, Shutterstock
كما أنّ لهذه السّلسلة خاصيّة هندسيّة: نرسم مربّعًا طول ضلعه 1. ونرسم بجانبه مربّعًا آخر طول ضلعه 1. ينتج عن دمجُ هذين المربّعين مستطيل طول ضلعه الطّويل 2. سنرسم على طول هذا الضّلع مربعًا طول ضلعه 2. حصلنا على مستطيل طول ضلعه الطّويل 3. نرسم على طول هذا الضّلع مربعًا طول ضلعه 3، وسنحصل على مستطيل طول ضلعه الطّويل هو 5. إذا تابعنا العمليّة وفقًا لهذه التعليمات، وأضفنا في كلّ مرّة إلى طول الضّلع الطّويل من المستطيل النّاتج مربّعًا يكون ضلعه طول هذا الضّلع، سنحصل على مستطيلات يكون ضلعها الأطول هو طول العدد التّالي في سلسلة فيبوناتشي.
كلّ الطّرق تؤدّي إلى فيبوناتشي
ما هي مساحة المستطيل النّاتج في كلّ خطوة؟ من ناحية أولى: مساحة المستطيل هي عبارة عن مجموع مساحات المربّعات الّتي تكوّنه، أي مجموع أعداد فيبوناتشي للقوّة 2. مثلًا، مساحة المستطيل في الرّسم أدناه هو:12+12+22+32+52+82 . من ناحية أخرى، مساحة المستطيل هي حاصل ضرب أطوال أضلاعه. الضّلع القصير يتكوّن من أوجه مربّع ضلعه 5 ومربّع ضلعه 3، وبالتّالي فإنّ طول الضّلع القصير هو 8. يتكوّن الضّلع الطّويل من أوجه مربّع ضلعه 5 ومربّع ضلعه 8، وبالتّالي فإنّ طول الضّلع الطويل هو 13. أي أنّ مساحة المستطيل هي أيضًا 8X13، حاصل ضرب عدديْن متتالييْن في سلسلة فيبوناتشي.
![מלבנים מסדרת פיבונאצ'י. | איור: Romain, Wikipedia]](https://d15djgxczo4v72.cloudfront.net/s3fs-public/davidson_images/Fibonacci_Squares_580_359.jpg)
مستطيلات من سلسلة فيبوناتشي. | איור: Romain, Wikipedia]
قانون إضافيّ في سلسلة الأعداد هو النّسبة بين عدديْن متتاليَيْن في السّلسلة.
8/5=1.6, 13/8=1.625, 21/13=1.615…
كلما استمرّينا بأعداد أكبر في السلسلة، سنقترب من نسبة 1.618، المعروفة باسم النّسبة الذهبيّة. تظهر النّسبة الذّهبيّة في عديدٍ من المظاهر في الطّبيعة والنّباتات.
لماذا تظهر أعداد فيبوناتشي على شكل ترتيبات في أوراق الزّهور أو قشور مخروط الصّنوبر؟ هذا التّرتيب يسمح لأكبر عدد من الأوراق أو القشور بالتّجمع معًا، حيث تخفي الأوراق أو القشور كلًّا منها بأقلّ قدر ممكن. تبحث الأوراق عن أكبر قدر ممكن من الشّمس، عن الماء أو أيّ مورد أساسيّ آخر، لذلك من الأفضل أن يخفيها جيرانها بأقلّ قدر ممكن. إذا كانت الزّاوية بين ورقتيْن متجاورتيْن عبارة عن كسر بسيط، على سبيل المثال 360/5، فَسَتكتمل الدّائرة بعد خمس ورقات، وسَتُخفي الورقة الأولى الورقة السّادسة تمامًا. إذا كان الكسر يساوي 360/7، فَسنكمل الدّورة بعد سبع ورقات. إذا كانت الزّاوية عددًا لا يمكن تمثيله في صورة كسر، أي عددًا غير نسبيّ، فإنّ الأوراق التي تنمو جنبًا إلى جنب ستملأ مساحة أكبر، ولا تغطي بعضها البعض. عندما تكون هذه الزّاوية هي النّسبة الذهبيّة، سَيترتّب أكبر عدد ممكن من الأوراق بهذا الشّكل، وتتشكّل اللّوالب من سلسلة فيبوناتشي.
إذا كان الكسر يمثّل الزّاوية بين الأوراق، ستبدأ في إخفاء بعضها البعض عندما تكمل الأوراق دورة كاملة.
عندما تشاهدون في المرة القادمة زهرة، أو شجيْرة، أو أيّ نبات آخر له شكل مثير للاهتمام على جانب الطريق، فاعلموا أنّ شكلها قد يجسّد قانونًا سرّيًّا.