ההתפלגות הנורמלית, שנקראת גם התפלגות גאוס או עקומת הפעמון, היא בלי ספק צורת ההתפלגות השימושית ביותר בכל תחומי המדע, החל בסטטיסטיקה, דרך ביולוגיה וכלה במדעי החברה. היישומון שלפנינו ממחיש איך נוצרת ההתפלגות הסטנדרטית. לצפייה ביישומון לחצו על התמונה ופתחו את הקובץ המקושר (יישומון ג'אווה).
הישומון הופק במסגרת פרויקט PhET של אוניברסיטת קולורדו
להורדת היישומון ולהרצתו על המחשב לחצו כאן
אם אינכם מצליחים להעלות את היישומון, התקינו את תוכנת Javaweb. לחצו כאן והתקינו לפי ההוראות.
התפלגות נורמלית נוצרת מקבוצת תצפיות אקראיות ובלתי תלויות, למשל כשכדור נופל במורד לוח סיכות (כמו ביישומון). רוב הכדורים יפלו באזור המרכז, אך אחוז קטן מהם יתגלגל לצדדים. כשנספור כמה כדורים נפלו בכל חור ונציג אותם בגרף של היסטוגרמה (כפי שמצוייר ביישומון) נקבל צורה גלית דמוית פעמון.
התפלגות נורמלית מוגדרת על ידי שני פרמטרים: ממוצע התצפיות, שמשמש כנקודת האמצע של העקומה – והשונות שמגדירה את רוחב הפעמון. ביישומון תוכלו לראות איך שינוי הממוצע והשונות משפיעים על עקומת ההתפלגות הנורמלית על ידי שינוי פרמטרים שונים. בסטטיסטיקה ממוצע מוגדר כנקודת האמצע של קבוצת מספרים, ושונות מוגדרת כמדד של הפיזור של קבוצת מספרים.
ראשית נתחיל במספר מינימלי של שורות (5) ובהסתברות של 0.5. פירוש הדבר הוא שלכדורים הנופלים יהיו רק חמישה מקומות שאליהם יוכלו ליפול וההסתברות שיפלו במרכז היא הגבוהה ביותר. התחילו את הסימולציה במצב של "כדור 1" ולחצו כמה פעמים על הכפתור "החל". הכדורים יתחילו להצטבר בשורות השונות. מה אתם רואים? האם יש אזור שמצטברים בו יותר כדורים יחסית לאזור אחר?
כעת העלו את מספר השורות למקסימום (40) וחזרו על הניסוי. האם הצורה שקיבלתם מתחילה להיראות מוכרת? תגלו שככל שיש לכדור יותר מקומות ליפול אליהם, כך העקומה נראית יותר פעמונית (גאוסינית).
כעת הגדירו את מספר השורות כ-20 (כדי לקבל עקומה יפה בזמן קצר יחסית) והסיטו את ההסתברות ל-0.75, כלומר שרוב הכדורים יפלו באזור הרביע ה-3/4. מה קרה לעקומה? תראו שאם נשנה את הסתברות הנפילה של הכדורים, עקומת הפעמון תסטה ממקומה.
האם אתם יכולים לזהות איזה מהמשתנים ששיחקנו איתם משפיע על השונות ואיזה מהם משפיע על הממוצע? למה לדעתכם?
בסטטיסטיקה קיימים שני מדדים לממוצע ושניים לשונות – האחד לקבוצה והשני לאוכלוסייה. המדדים לאוכלוסייה הם מדדים שמייצגים את כל האוכלוסייה, ואילו מדדי הקבוצה מייצגים את הממוצע ואת השונות של הקבוצה הזו בלבד. באופן טבעי השונות והממוצע הקבוצתיים ישאפו להשתוות לממוצע ולשונות של האוכלוסייה בהתפלגות נורמלית.
בואו נתבונן איך המדדים הקבוצתיים משתנים ככל שהכדורים זורמים. אפסו את הגרף, הגדירו את ההסתברות כ-0.5 והציבו את מספר השורות על כ-20. הזרימו את הכדורים וראו איך משתנים הערכים הקבוצתיים (N=מספר הכדורים; Xavg=הממוצע, S=שונות, Savg=שונות הממוצע). שימו לב שהממוצע והשונות הקבוצתיים מתקרבים בהדרגה לממוצע והשונות של האוכלוסייה ככל שהכדורים מצטברים. מהי לדעתכם שונות הממוצע? מה קורה לה? מדוע לדעתכם?
חזרו על הניסוי עם הסתברות שונה ועם מספר שורות שונה.
אתם מוזמנים לכתוב בתגובות לאתר את תשובותיכם וכל דאלה שיש לכם ואנחנו נשתדל לענות בהקדם.
שאלה למתקדמים: בואו נדמיין את התפלגות הציונים בכיתה מסוימת. איך תיראה ההתפלגות אם חלק מהתלמידים יעתיקו בבחינה מהחרשן של הכיתה?
ארז גרטי
המחלקה לכימיה ביולוגית
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
