פיזיקה של
קיפולי נייר

זוהי הכתבה השנייה משתיים שעוסקות במדע של האוריגמי. הכתבה עומדת בפני עצמה, אך מומלץ להקדים ולקרוא לפניה את הכתבה הראשונה: המדע והאמנות של קיפולי הנייר.

סדרות הקיפולים של האוריגמי – אמנות קיפול הנייר, שמקורה ביפן – יוצרות מבנים יפים ומרשימים. ביסודו האוריגמי הוא תחביב שתכליתו קישוט ושעשוע, אך כשבוחנים אותו לעומק מגלים שיש מאחוריו לא רק הרבה מתמטיקה מורכבת, אלא גם לא מעט פיזיקה והנדסה. כי פעולת הקיפול משנה את תכונותיו של דף הנייר הדו-ממדי ומעניקה לו צורה חדשה בעלת מבנה יציב, בשני ממדים או בשלושה.

שני קיפולי הבסיס באוריגמי הם קיפול ה"הר", הבולט מהדף, וקיפול ה"עמק" השקוע בו. מבנים רבים בטבע משתמשים בקיפולים דומים לאלו שנעשים בנייר כדי ליצור תכונות שמשרתות מטרות מסוימות. קיפולי הר ועמק מחזוריים דמויי אקורדיון או מניפה, מאפשרים למשל ליצורים שונים לעבור בקלות בין שתי תצורות שונות: מאריזה צפופה במרחב למניפה שמכסה שטח רחב. הקיפולים מאפשרים פתיחה וסגירה יעילה של המבנה, וגם מעניקים למניפה חוזק מבני. מבני קיפולים חזרתיים כאלו מופיעים בכנפיים של תיקנים, בעלי עץ האשור ואפילו בהתפתחות רקמות מערכת העיכול של עוברים.

כנפי תיקנים (ימין) ועלי עץ (שמאל) שמזכירים קיפולי הר ועמק לסירוגין ומאפשרים תנועת פתיחה וסגירה גמישה | Colin Varndell, Gilles Mermet / Science Photo Library

את העיקרון הזה שכלל האסטרופיזיקאי קוֹרְיוֹ מִיוּרָה (Miura) לשיטת אריזה יעילה הקרויה על שמו: "קיפול מִיוּרָה". מדובר בסדרה של קיפולים שמאפשרת לקפל משטח שטוח בצורה חסכנית במיוחד ולפתוח אותו לאחר מכן במהירות ובקלות. המבנה כולל קיפולי הר ועמק לסירוגין, בשני צירים שונים. כלומר לא מדובר רק ברצף של הרים ועמקים בכיוון אחד, כפי שיהיה אם ניקח דף ונקפל אותו שוב ושוב באותו כיוון, אלא גם בעוד רצף דומה בכיוון אחר.

העיצוב הוצע במקור כטכניקה לקיפול של לוחות סולריים שמספקים אנרגיה ללוויינים ולחלליות, על מנת לייעל את השיגור שלהם לחלל ולחסוך שטח אחסון יקר. שימוש נפוץ נוסף בקיפול הזה נעשה לצורך קיפול מפות גיאוגרפיות. כשמשתמשים במפה כזאת, מספיק לאחוז בשני קצותיה ולמשוך לשני הכיוונים – והמפה תיפרס במלואה. אתם מוזמנים לשחק בהדמיה של המבנה, ולשלוט בכמות הקיפולים ובכיוונם.

מימין: קיפול הר ועמק בכיוון אחד. באמצע ומשמאל: קיפול מיורה. זיגזג בשני כיוונים | איור וצילום: טל סוקולוב

מה מסתתר מאחורי הקפלים?

קיפול מיורה עורר גם את סקרנותם של פיזיקאים, שנמשכו אל התכונות המכניות המורכבות שלו. המבנה ניחן בין השאר בתכונה נדירה שנקראת יחס פואסון שלילי. יחס פואסון מתייחס למידה שבה חומר שואף לשמור על הנפח הכולל שלו בתגובה לעיוות. אם ניקח חתיכה של חומר כלשהו ונמתח אותה לאורך, רוחבה בדרך כלל יתכווץ, וגם להפך – אם נמעך אותו לאורך הוא יתפשט לרוחב.

חומרים שונים מגיבים אחרת לפעולות של מתיחה ומעיכה, כלומר תחת אותו עיוות אורכי, חומרים שונים יתעוותו רוחבית בצורה שונה. חומרים רכים כמו גומי או חימר יגיבו חזק: אם נמעך גוש חימר בכיוון אחד, ולמשל נהדק אותו לשולחן, הוא יתרחב במישור השולחן. אם ננסה להאריך אותו, ולמשל להקנות לו צורה של גליל, רוחבו יתכווץ. לעומת זאת, לשעם יש יחס פואסון נמוך במיוחד בתגובה לכוח סביר שפועל עליו, ולכן פקקי שעם מתאימים במיוחד לאיטום בקבוקי יין. הפקק עומד היטב בלחצי תסיסה שמגיעים מתוך הבקבוק ובלחץ החיצוני שמופעל עליו כשאנו פוקקים את הבקבוק או חולצים את הפקק, בלי להתרחב ולפגוע בזכוכית או להתכווץ ולפגוע באיטום.

אך התבנית של קיפול מיורה מגיבה אחרת – יש לה יחס פואסון שלילי. כלומר אם נמתח בכיוון אחד דף שקופל בקיפולי מיורה, הוא יימתח גם בכיוון השני במקום להתכווץ. ואם נכווץ אותו בכיוון אחד, גם הכיוון השני יתכווץ במקום להימתח. התכונה הזאת מזכירה את ההתנהגות של הצעצוע הקרוי כדור הוברמן.

תבנית של קיפול מיורה מזכירה את ההתנהגות של כדור הוברמן | Mauro Rodrigues, Shutterstock

קיפול דף נייר לפי תבנית מיורה:

בחינה של תבנית ההרים והעמקים של קיפול מיורה העלתה שהיא נוטה להתרחש מעצמה בטבע. חוקרים הראו, בעזרת חישובים מתמטיים, שצורת הזיגזג של קיפול מיורה מופיעה ספונטנית ביריעות דקות כשמפעילים עליהן לחץ בו-זמני בשני הצירים: לוחצים אותם גם לאורך וגם לרוחב. תבנית דומה, שמכונה "קריסת יושימורה" (Yoshimura buckling), מופיעה כשמפעילים כוח על גלילי מתכת חלולים, למשל על פחיות.

 בסרטון רואים קריסה של גוף גלילי תחת הפעלת כוח בשני צירים: 

קודקוד למחשבה

עד כה התייחסנו להרים ולעמקים שבקיפולי מיורה, כלומר לקשתות שנוצרות מכיפוף הדף. נקודת מבט אחרת היא להסתכל על הקודקודים שנוצרים במפגשים בין הקיפולים. בקיפול מיורה נוצרות בדף נקודות שבולטות החוצה ונקודות שבולטות פנימה. אפשר להסתכל על כל נקודה כזאת בנפרד ולטעון שהיא נמצאת באחד משני מצבים אפשריים: בליטה כלפי מעלה או בליטה כלפי מטה. הקיפול הרגיל יוצר תבנית שבה כל נקודה נמצאת במצב נגדי לשכנתה. חוקרים הראו שאם משנים את המצב של נקודה בודדת, כלומר דוחפים פנימה נקודה שבולטת החוצה או מושכים למעלה נקודה שקועה, התכונות של המבנה הכולל משתנות אף הן.

לכל נקודה בתבנית יש שני מצבים אפשריים. בליטה החוצה (נקודות אדומות) ופנימה (נקודות כחולות) | צילום: טל סוקולוב

כשכל הנקודות בולטות פנימה והחוצה לסירוגין, קל מאוד לדחוס את הדף למבנה כמעט שטוח כשלוחצים עליו משני הצדדים. אך אם אחת מהנקודות בולטת בכיוון שאינו תואם לתבנית, השינוי המקומי הזה משנה את ה"קשיחות" של כל הדף. הנקודה הזאת גורמת לכך שלא נוכל לשטח את הדף עד הסוף.

המבנה הטבעי של קיפול מיורה הוא בליטות ושקעים לסירוגין. שינוי המצב של נקודה בודדת משנה באופן מקומי את המבנה החזרתי, אבל משפיע באופן כוללני על תכונות הדף | צילום: טל סוקולוב

בהתאם לתבנית החזרתית הזאת אפשר לתכנן אזורים בחומר שבהם נכניס שינויים כדי להעניק לו תכונות רצויות שלא היו קיימות בו אלמלא כן, ולווסת את הקשיחות של הדף. השינויים האלה גם הפיכים, כמו מתג. אנו יכולים לקחת נקודה שהפכנו את הכיוון שלה ולהחזיר אותה למצבה המקורי, וכך לבטל את שינוי התכונה שרכשנו קודם. כך הם הופכים לחומרים הניתנים לתכנות – שאפשר לשלוט בתכונותיהם.

התבנית הזאת אינה מוגבלת רק לדף דו-ממדי, ואכן חוקרים הראו תבניות מיורה שיכולות להתאים למבנים תלת-ממדיים. בנקודה הזאת, שבה דף רוכש תכונות בזכות המבנה שלו, נוטים להתייחס אליו כאל "חומר מלאכותי". לא רק דפים יכולים להתנהג כמו חומר מלאכותי. תכונות החומר המלאכותי נרכשות בעזרת הסידור המבני של אבני הבניין שלו. חומרים גמישים כמו גומי או קשיחים כמו מתכת יכולים לממש תכונות דומות. חומרים כאלה, שהמבנה שלהם מעניק להם תכונות יוצאות דופן כמו יחס פואסון שלילי, מכונים מטא-חומרים.

סרטון הדגמה שיצר איתי כהן, מכותבי המאמר:

לבחון את הקיפולים מכל הכיוונים

מנקודת מבט של פיזיקה סטטיסטית, התבנית של קיפול מיורה היא סריג – מבנה מחזורי בעל גדלים אופייניים: הזווית שבין הקיפולים והמרחקים ביניהם. בעולמה של הפיזיקה הסטטיסטית, קודקודים בסריג ששוברים את התבנית, כמו הנקודות ההפוכות בתבנית מיורה, מכונים "דפקטים", פגמים בסריג. הפגמים האלו גורמים לשינוי מקומי בתכונות החומר. דפקטים כאלה מופיעים באופן טבעי בחומרים שמורכבים ממבנים סריגיים. הם עשויים להיווצר בתנאים שבהם מוסיפים לחומר הרבה אנרגיה.

מי מאיתנו שעוד השתמשו בטלפון קווי זוכרים בוודאי את המצב המתסכל שבו אחת הלולאות בסליל המושלם המתחבר לשפופרת מתהפכת סתם כך ויוצרת פגם. כשזה קורה, החוט באזור הלולאה ההפוכה מאבד את הקפיציות הנוחה שלו. זו דוגמה לדפקט בסריג שמשנה את תכונותיו. התזוזות והסיבובים שאנו עושים במהלך שיחות הטלפון הם המקבילה לאנרגיה שמתווספת למבנה עד שמופיע בו דפקט.

הפיזיקאי האוסטרלי מייקל אסיס (Assis) חוקר את תבנית מיורה מנקודת המבט של הפיזיקה הסטטיסטית. כשחומר סריגי צובר עוד ועוד דפקטים, יש נקודה של "מעבר פאזה" שממנה והלאה חומר משנה לגמרי את תכונותיו. אסיס שואל במחקריו איך הדפקטים בסריג מיורה מתקשרים זה עם זה, מתי ההשפעה המקומית שלהם מתפשטת לאזורים רחבים יותר בתבנית, וכמה דפקטים צריכים להצטבר כדי שתבנית תאבד את התכונות שאפשרו לה להתקפל בצורה נוחה.

חוט הטלפון המסובב בכיוון אחד שקול לסריג חד-ממדי, שהמבנה המחזורי בו הוא הלולאות. לולאה הפוכה, ששוברת את המבנה המחזורי, משנה את הגמישות של הסריג הטלפוני | vv_lipartia, Shutterstock

זיכרון של נייר

מבנה קיפולים מחזורי, שאפשר לחלק ליחידות זהות ולכל אחת מהן יש שני מצבים יציבים, מזכיר במובנים מסוימים מתקן לאחסון זיכרון. בדומה לרכיבים אלקטרוניים שמקודדים מידע ליחידות של ביטים בערכים של 0 או 1, אפשר להשתמש בתבניות קיפולים במצבים של "פנימה" ו"החוצה" כדי לקודד מידע על פי המצב שבו נמצא מבנה הקיפולים הכללי.

פיזיקאים שעוסקים במערכות מורכבות חוקרים את תכונות הזיכרון של מטא-חומרים, ביניהם גם מבני אוריגמי קלאסיים. ה"זיכרון" של אוריגמי מתבטא ביכולת של סדרת קיפולים להגיב באופן ייחודי ללחצים שונים שיפעלו עליו, בהתאם למצב ההתחלתי של תבנית הקיפולים לפני הפעלת הלחץ. כלומר הדף "זוכר" באיזה מצב הוא התחיל לפני שהחלו לעוות אותו.

אוריגמי, או כל אוסף קיפולים מאורגן בדף, הוא מקרה פרטי של מבנה מקומט באופן אקראי. בלשון דיבור נקרא לזה "דף מקווצ'ץ'", כמו מה שקורה כשאנחנו לא מרוצים מטיוטה שכתבנו ומועכים אותה היטב בדרכה אל פח המחזור. על קצה המזלג נספר כי דפים מקווצ'צ'ים הם נושא מחקר פורה בפיזיקה של מערכות מורכבות, שלוקח עד הקצה את הקשר שראינו גם באוריגמי בין יחידות בסיס קטנות לבין המבנה הכולל של החומר, ואת יכולתו ליצור תכונות וחומרים מעניינים. 

דף נייר מקווצ'ץ'. אוסף קיפולים לא מסודר, בניגוד לאוריגמי | Roman Samokhin, Shutterstock

נוסף על תבנית מיורה, חוקרים דנים בתבניות אוריגמי נוספות שיכולות להוסיף תכונות מורכבות לחומרים פשוטים, ולשמש בתכנון מטא-חומרים. האוריגמי מציע אוסף כיפופים מוגדר היטב, שגם פותח פתח לתכונות כמו קומפקטיות, גמישות ותנועתיות הפיכה, שאפשר לתכנן ולכוונן. בכתבה הקודמת ראינו כי האוריגמי החישובי מאפשר לעצב כל מבנה שנחשוב עליו. כך שהאוריגמי הוא סוג של חומר, וגם סוג של מכשיר.

מתמטיקאים, פיזיקאים, מהנדסים, ביולוגים, רופאים וחוקרים כמעט מכל תחום שאפשר להעלות על הדעת, מפתחים גישות של שימוש באוריגמי ככלי. אוריגמי משמש לעיצוב פאנלים סולריים, ציוד לשימוש בחלל או טלסקופים ענקיים, ולפיתוח רובוטים קטנים, מטא-חומרים, כריות אוויר למכוניות שצריכות להיפתח מהר מאוד ומכשור רפואי שיהיה נוח להחדרה לגוף בצורה מקופלת וייפרס רק ביעד. אמנות זו מעניקה השראה מעולמות הקיפולים באוריגמי DNA ואוריגמי RNA ועוד שימושים רבים ומגוונים, כיד הדמיון הטובה. כל זה עוד לפני שהכנסנו לתמונה את אמנות הקיריגמי, שבה מותרים גם חיתוכים וגזירות, ולא רק קיפולים. האוריגמי הוא שילוב מנצח בין כללי עיצוב פשוטים לתכונות מורכבות.