האם המתמטיקה תציל את
הדמוקרטיה האמריקאית?

דמוקרטיה, פחות או יותר

 האדם הממוצע סבור, יש לשער, ששיטת הבחירות בארצות הברית היא דמוקרטית. כלומר, שבין המועמדים לתפקיד ציבורי ייבחר זה שקיבל את מספר הקולות הרב ביותר. אלא שפעמים רבות זה לא בהכרח מה שקורה בפועל, מהבחירות לבתי הנבחרים המקומיים וכל הדרך עד לבחירת נשיא ארצות הברית.

בבחירות לנשיאות בשנת 2016, למשל, הילרי קלינטון קיבלה 2.9 מיליון קולות יותר מדונלד טראמפ, ובכל זאת, בזכות שיטת הנציגים האלקטורליים (electoral college), נבחר טראמפ לנשיא. גם בשנת 2000 קיבל הנשיא הרפובליקאי הנבחר ג'ורג' בוש הבן חצי מיליון קולות פחות מהמועמד הדמוקרטי, אל גור, שהפסיד. איך ייתכן מצב כזה?

ראשית, פיצול ההצבעה למדינות, כאשר בכולן (פרט לשתיים) המנצח לוקח הכל, גורם בהגדרה לאובדן מספר עצום של קולות מיעוט במדינות השונות. אם הצבעת למועמד שהפסיד במדינה שבה אתה גר, אפילו אם הפסיד בפער זעום, הקול שלך לא יובא בחשבון בספירת הקולות הכללית לצורך בחירת הנשיא.

שנית, מסיבות היסטוריות מוענק הרבה יותר כוח יחסי לבוחרים במדינות קטנות ביחס למדינות גדולות יותר. מספר האלקטורים שכל מדינה זכאית לו מחושב אמנם בהתאם לאוכלוסייתה, אך בנוסף מקבלת כל מדינה גם שלושה אלקטורים קבועים. תוספת קבועה זו מעניקה למדינות מעוטות תושבים כוח פוליטי עודף ביחס לחלקן באוכלוסייה. במדינת וויומינג, שבה מתגוררים כחצי מיליון תושבים, ייצג כל אחד משלושת האלקטורים בשנת 2016 רק כ-135 אלף בוחרים, ואילו בקליפורניה, עם כ-40 מיליון תושבים ו-55 אלקטורים, כל אלקטור ייצג באותה מערכת בחירות כ-400 אלף בוחרים. השפעתו של כל בוחר מוויומינג על זהות הנשיא הייתה אם כן גדולה פי שלושה מהשפעתו של בוחר מקליפורניה. האיור למטה ממחיש את העיוות הזה באמצעות הצגת הגודל של כל מדינה בקנה מידה שנקבע לפי מידת ההשפעה של בוחריה. כך ורמונט הקטנטנה, המדינה ה-48 בגודלה מבחינת מספר התושבים, נראית כביכול גדולה פי חמישה מטקסס הענקית. 

כל מדינה בארצות הברית מוצגת בקנה מידה המשקף את השפעת בוחריה. המספר בשחור הוא מספר האלקטורים, והלבן – מספר הבוחרים שכל אלקטור ייצג ב-2007 | הוכן בסיוע The United States Election Project באוניברסיטת ג'ורג' מייסון

מצב זה אינו מקרי. צורתן ואפילו קיומן של חלק ממדינות ארצות הברית נקבעו על פי שיקולים אלקטורליים כאלה. זמן קצר לפני הבחירות לנשיאות בשנת 1876, למשל, אישר הקונגרס את מעמדה החדש של קולורדו כמדינה באיחוד. מועמד הדמוקרטים קיבל אמנם בבחירות את רוב הקולות, בהפרש משמעותי של שלושה אחוזים יותר מיריבו, אך מועמד הרפובליקנים, רתרפורד הייז (Hayes) הפך בכל זאת לנשיא בזכות שלושת האלקטורים הרפובליקנים של קולורדו. המדינה החדשה מינתה את אותם אלקטורים בהליך מואץ, בלי בחירות, כדי להעניק להייז את הרוב הדחוק ביותר בתולדות ארצות הברית: 185 אלקטורים מול 184 ליריבו. נצחונו של הייז עירב גם שערוריות ומחלוקות רבות נוספות, שתקצר היריעה מלפרט כאן.

עד היום, 146 שנה מאוחר יותר, כוחן הלא-מידתי של המדינות מעוטות האוכלוסין מאפשר למפלגה הרפובליקנית, הפופולרית בהן יותר, לזכות בבחירות לנשיאות גם כאשר רוב המצביעים בחרו במועמד דמוקרטי. מאז אותן בחירות של 1876 זה קרה שוב ושוב, כולל כאמור שניים מארבעת הנשיאים האחרונים, בוש וטראמפ.

 בית הפחות או יותר נבחרים

435 חברי בית הנבחרים — הבית התחתון של הקונגרס, העומדים לבחירה פעם בשנתיים, מייצגים כל אחד מחוז בחירה במדינתו. כל מחוז בחירה בארצות הברית מכיל לפי חוק אוכלוסייה בשיעור פחות או יותר דומה. נכון להיום כל חבר קונגרס מייצג כ-700 אלף איש, כך שלכאורה המצב אמור היה להיות הוגן יותר מאשר הבחירות לנשיאות בשיטת האלקטורים. בפועל הבעיה בקונגרס חמורה אף יותר. בניגוד להצבעה לנשיאות שמבוססת על מדינות, שגבולותיהן מוגדרים וקבועים, הרי שאת גבולות מחוזות הבחירה רשאית המדינה לשרטט כמעט כרצונה, כל עוד היא שומרת על רציפות גיאוגרפית ועל אוכלוסיית מחוז בגודל הנדרש. חופש שרטוט זה הוביל למצב בו כ-60 מהנציגים בקונגרס לא היו נבחרים על פי מאזן הקולות האמיתי בין המפלגות במדינות שהם מייצגים. האיור הבא מראה, עבור המפלגה הזוכה בכל מדינה, את הפער בין חלקה היחסי בקולות לבין ייצוגה בקונגרס. במילים אחרות, כמה נציגים בקונגרס קיבלה המפלגה מעבר למגיע לה על פי חלקה היחסי בקולות.

מספר הנציגים בקונגרס שקיבלה כל מפלגה מעבר לחלקה היחסי בקולות המדינה בבחירות 2016 | מתוך דו"ח של Center For American Progress משנת 2019

 בשנת 2012 למשל, יותר ממחצית הבוחרים בפנסילבניה הצביעו עבור מועמד דמוקרטי לקונגרס, אך למרות זאת רק חמישה מתוך 18 חברי הקונגרס שנבחרו היו דמוקרטים. גם בקרוליינה הצפונית, למרות שרוב הקולות הוטלו עבור המועמדים הדמוקרטיים, נבחרו לקונגרס רק ארבעה דמוקרטים מתוך 13 המושבים. בסיכום ארצי, בבחירות האמצע של 2012 למשל, נבחרו 33 יותר נציגים רפובליקנים לקונגרס, למרות שהמועמדים הדמוקרטיים קיבלו כ-1.5 מיליון קולות יותר ממועמדי הרפובליקנים. הייתה לכך השפעה רבה, משום שהרוב הרפובליקני שהתקבל כך בקונגרס סיכל חלק גדול ממדיניות הנשיא הדמוקרטי.

יש סיבות לגיטימיות לפערי ייצוג, המובנות לתוך השיטה. הרצון לייצג אזור בחירה על ידי נציג אחד יוביל בהגדרה לכך שהמיעוט באותו אזור לא יבוא לידי ביטוי. 35 אחוזים מהמצביעים התומכים  ברפובליקנים במדינת מסצ'וסטס, למשל, מפוזרים באופן אחיד למדי בין המחוזות במדינה ובהגדרה יהיו מיעוט בכל מחוז ולא יזכו לייצוג. במילים אחרות, שיטת הייצוג מכתיבה שלמרות שהרפובליקנים הם כ-35 אחוזים מאוכלוסיית המדינה, הם יימחקו מבחינה אלקטורלית: כל תשעת חברי הקונגרס ממסצ'וסטס הם אנשי המפלגה הדמוקרטית, ויהיו כך בכל דרך שבה ישורטטו גבולות המחוזות. 

 אך במדינות רבות הפער גדול בהרבה מהצפוי, ומאז 2012 הוא גם הולך ומחמיר. בצפון קרוליינה, למשל, מאזן הקולות הארצי מתחלק שווה בשווה בין המפלגות, אך מספר הנציגים של  הדמוקרטים ירד עד כדי שלושה בלבד מתוך 13. איך ייתכן מצב בו יש יותר מפי שלושה ייצוג רפובליקני בקונגרס במדינה שבה חצי מהמצביעים תומכים בדמוקרטים? ואיך פותרים זאת?

 כוחה של גיאומטריה

 מקור פערי הייצוג בכוח העצום שבידי אלו שמשרטטים את מחוזות הבחירה. כדי להדגים כוח זה, נדמיין מדינה שבה יש 50 מצביעים שעל כל אחד מהם לבחור בין מפלגת האדומים למפלגת הכחולים. החוק קובע שהמדינה תחולק לחמישה מחוזות בחירה שווים בגודלם, ובכל מחוז יהיו עשרה מצביעים שייבחרו נציג לבית המחוקקים. יש רק מנצח אחד בכל מחוז, אדום או כחול, שנבחר אם קיבל יותר קולות מיריבו. על פניה מדובר במערכת דמוקרטית לעילא, אלא שהשטן, כמאמר הפתגם, מסתתר בפרטים הקטנים.

 נבחן למשל מקרה בו האזרחים מתחלקים פוליטית כך ש-30 מהם מצביעים לכחולים ו-20 לאדומים, כמו בשרטוט הימני (1) באיור למטה. אם כל המדינה הייתה בוחרת יחד, כמו למשל בבחירות בישראל, היו נבחרים לפרלמנט שלושה נציגים כחולים ושני אדומים. ייצוג יחסי והוגן. אבל במדינה ההיפותטית שלנו, כזכור, אין מערכת בחירות ארצית, כי אם חמישה מחוזות של עשרה בוחרים כל אחד.

 

אפשר לתחום את המחוזות באופן הוגן (איור 2), כך שהתוצאות ישקפו את הרכב הבוחרים, או בדרכים לא הוגנות (4,3), כך שהתוצאות תהיינה מוטות | איור: קולו אור 

אזורי המגורים של מצביעי כל מפלגה ידועים בדרך כלל מתוצאות של בחירות קודמות ומסקרים,  והדבר נותן בידי המפלגה המשרטטת את הגבולות השפעה רבה על התוצאה. המפלגה הכחולה למשל, יכולה לנקוט בשיטה המכונה בפוליטיקה האמריקאית "פיצול" (Cracking - אפשרות 3 שבאיור), כלומר פיזור קולות היריב בין המחוזות כך שיהפכו למיעוט והשגת כל חמשת המושבים בפרלמנט. אם המפלגה האדומה תהיה אחראית על הגדרת המחוזות, לעומת זאת, הטכניקה שהיא תשתמש בה תהיה "דחיסה" (Packing - אפשרות 4 באיור), או ריכוז גבוה ככל האפשר של מצביעי המפלגה היריבה במעט מחוזות, וכך השגת ניצחון בכל יתר המחוזות ורוב בפרלמנט למרות שיש לה פחות מצביעים במדינה.

כדי להבין עד כמה המצב עלול להתעוות, ראו את החידה להלן, המדגימה איך מפלגה הנמצאת במיעוט מובהק (הסגולים), אשר רק שליש מהבוחרים מצביעים עבורה ושני שלישים בוחרים במפלגה היריבה (הירוקים), עדיין יכולה להשיג רוב בבית הנבחרים אם היא רק שולטת על שרטוט המחוזות. החוק קובע רק שכל מחוז חייב להיות רציף גיאוגרפית, ושעל כל המחוזות להיות שווים זה לזה בגודלם. הפתרון פה מראה שהסגולים עדיין יכולים לנצח בשלושה מחוזות, לזכות ברוב בפרלמנט למרות נחיתותם המספרית המכרעת ולשמר את מעמדם כמפלגה השלטת.

איך אפשר להבטיח רוב סגול בבית הנבחרים? החוק קובע רק שכל מחוז חייב להיות רציף גיאוגרפית, ושעל כל המחוזות להיות שווים זה לזה בגודלם. הפתרון כאן | איור: קולו אור

זן חדש של מפלצת

 ברוב מדינות ארצות הברית מי שמשרטט את גבולות המחוזות הוא מי ששולט בבית הנבחרים של המדינה, ונציגי בית הנבחרים נבחרים על פי המחוזות ששורטטו במחזור הקודם. כך נוצר מעגל שמחזק את עצמו, שבו הנציגים הנבחרים משרטטים את המחוזות באופן שיבצר את המשך שליטת מפלגתם בבית הנבחרים וחוזר חלילה.

מאחר שהחוק דורש חלוקה שווה בגודלה של האוכלוסייה בין המחוזות, ומאחר שהאוכלוסייה משתנה עקב לידות, תמותה והגירה, נקבע שבכל 10 שנים ישורטטו הגבולות מחדש. אחת לעשור מבצעת ארצות הברית מפקד אוכלוסין כללי, שעל בסיסו מתחלקים מחדש מספר הנציגים שכל מדינה שולחת לבית הנבחרים הכללי בוושינגטון, והמדינות משרטטות מחדש את הגבולות של מחוזות הבחירה הפנימיים שלהן. מאחר שצירי בית הנבחרים עומדים לבחירה אחת לשנתיים, שרטוט הגבולות קובע במידה רבה את מאזן הכוחות בין נציגי המפלגות בכל חמשת מחזורי הבחירה הבאים.

במדינות שבהן יש שוויון כוחות יחסי בין המפלגות תופעת השרטוט המגמתי בולטת במיוחד. באוהיו למשל, הקולות מתחלקים כמעט שווה בשווה בין המפלגות, כאשר בבחירות 2012 מועמד הדמוקרטים לנשיאות, ברק אובמה, קיבל במדינה 51 אחוזים מהקולות, וארבע שנים מאוחר יותר קיבל מועמד הרפובליקנים, דונלד טראמפ 52 אחוזים. אבל למרות איזון כללי זה, מבחינת נציגות בבית הנבחרים, לרפובליקנים יש רוב של 12 מול ארבעה דמוקרטים כבר חמש מערכות בחירות ברצף, מ-2010 עד היום. שרטוט המחוזות ב-2010, אם זה לא ברור, היה בידי הרפובליקנים.

שרטוט המחוזות מחדש בשנת 2020 היה מגמתי מאי פעם, והבעיה רק החריפה. למעשה, בזכות שרטוט מחדש זה, בבחירות האמצע הקרובות גבוהים סיכויי הרפובליקנים להפוך ממיעוט לרוב בבית הנבחרים גם ללא שינוי משמעותי בדפוסי ההצבעה.

עיוות לא-דמוקרטי זה, שבו הנציגים בוחרים את מצביעיהם במקום להיפך, קיים מתחילת קיומה של ארצות הברית כמדינה. גם שמה של התופעה, "ג'רימנדר" (Gerrymander), הוא כבר בן יותר מ-200 שנה. מקורו בקריקטורה משנת 1812, שהתייחסה לאופן שבו מושל מסצ'וסטס אלברידג' ג'רי (Gerry) שירטט מחדש את גבולות אחד המחוזות במדינה באופן יצירתי במיוחד כדי "לדחוס" במחוז זה את רוב קולות המפלגה המתחרה, הפדרליסטים, וכך "לפצל" אותם בין יתר המחוזות כדי לאפשר את המשך השליטה של מפלגתו במדינה. לקריקטוריסט של העיתון "בוסטון גאזט" הזכירה מפת המחוז ששרטט ג׳רי את דמותה של הסלמנדרה (Salamander) כמפלצת אגדית, וכך נולד ההלחם "ג'רי-מנדר".

 
"הג'רימנדר – זן חדש של מפלצת", הקריקטורה שפורסמה במרץ 1812 בעקבות השרטוט מחדש של גבולות מחוז אסקס במסצ׳וסטס, על ידי המושל ג'רי | מתוך הבוסטון גאזט, נחלת הכלל 

התופעה לא ייחודית לארצות הברית, ולמעשה הייתה קיימת כמעט בכל מדינות העולם עד שלב מסוים. ברוב המדינות הבעיה נפתרה, או לכל הפחות צומצמה מאד. בקנדה למשל, שרטוט אזורי הבחירה הועבר בשנות החמישים של המאה שעברה לוועדות בלתי תלויות שחבריהן הם שופטים ואנשי אקדמיה. במקסיקו מבצע אלגוריתם ממוחשב את שרטוט הגבולות ובספרד קובעו גבולות המחוזות בחוקה עוד בשנת 1931. בארצות הברית, לעומת זאת, הבעיה חריפה מתמיד.

 הניסיונות בארצות הברית לשרטוט מחוזות מאוזנים בסיוע נציגים מכהנים משתי המפלגות לא הביאו לאיזון המיוחל. מתברר שלפוליטיקאים המכהנים עצמם אין אינטרס מיידי בשינוי הג'רימנדר, אפילו במדינות שבהן בסיכום הכללי הוא פועל לרעת מפלגתם. כאשר הבחירות במחוז שבו מתמודד פוליטיקאי הופכות ל"משחק מכור", גם אם בזכות דחיסת בוחרים ממפלגתו לתוכו, יש בכך היבט רצוי מבחינתו שכן בחירתו מובטחת. ולראיה, ביותר מ-350 מתוך 435 מערכות הבחירות האחרונות לקונגרס, אפשר היה לחזות את המפלגה הזוכה בוודאות של יותר מ-90 אחוז. חברי הקונגרס ניצחו את מתחריהם בהפרש עצום, מעל 37 אחוז בממוצע, והסיכוי של חבר קונגרס מכהן להיבחר שוב לתפקידו עמד על 92 אחוזים. מחוזות לא תחרותיים, מסתבר, נוחים מאד לפוליטיקאים המכהנים, פוטרים אותם מלהסתכן במרוץ עתידי צמוד ולא מספקים להם כל מוטיבציה לשנות את המצב.

 המחשב מסייע לגופי לבעוט בדונלד דאק

 כיום, בעידן המחשוב והביג-דאטה הפכה לטאת הג'רימנדר למפלצת משוכללת במיוחד. מיפוי מדויק של המצביעים על פי שלל קריטריונים ותבניות הצבעה מאפשר לפענח לאחור מידע על הבוחרים גם לאחר התממה (מחיקת פרטי מזהים) של המאגרים הסטטיסטיים, וכך לקבל מיפוי ברזולוציה גבוהה של הבוחרים. על מפה מפורטת כזו אפשר אז, באמצעות כוח מיחשוב מספק, לבדוק מיליוני אפשרויות להזזת גבולות המחוזות כך שיושגו "דחיסה ופיצול" אופטימליים מבחינת מפלגת השלטון. 

 המשרטטים הרפובליקנים של אזור בחירה 7 במדינת פנסילבניה, למשל, לא חסכו כל מאמץ כדי לספח אליו חלקי שכונות בעלות רוב רפובליקני קל, ולהעביר מתוכו חלקי שכונות שיש בהן רוב דמוקרטי אל מחוזות סמוכים שהרוב הדמוקרטי בהם מוחץ ממילא. המאמץ היה להטוטני כל כך, שגבולות המחוז מזגזגים דרך חמישה מחוזות אחרים ו-26 רשויות מקומיות. מתוך מאמץ לעמוד בדרישת החוק לרציפות גיאוגרפית בלי לוותר על אף מובלעת רפובליקנית, הפך המחוז בכמה נקודות לצר כל כך, שרוחבו היה בניין אחד בלבד. צורתו הסופית של מחוז 7 זכתה לכינוי הציורי "גופי בועט בדונלד דאק", כפי שניתן לראות במפה למטה, שבה גופי מימין, אזניו מתנפנפות לאחור, בועט בישבנו של דונלד דאק שמשמאלו. 

"גופי בועט בדונלד דאק" – מפת אזור בחירה מספר 7 של מדינת פנסילבניה, כפי ששורטט אחרי מפקד האוכלוסין בשנת 2010 | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל

 מפה זו, ששורטטה אחרי מפקד האוכלוסין של 2010, שימשה בכל מערכות הבחירות הדו-שנתיות לקונגרס מאז. באופן לא מפתיע, התוצאות שהתקבלו היו מצוינות מבחינת המפלגה הרפובליקנית. בגרף למטה אפשר לראות איך מפת המחוזות הזו מייצרת בארבעת המחוזות השמאליים "דחיסה" של דמוקרטים, ומדללת את שורותיהם כך שנוצר רוב רפובליקני ב-12 מתוך 14 המחוזות הנותרים. 

תוצאות הבחירות במחוזות פנסילבניה, שבהן אפשר לראות את הדחיסה והפיצול של מצביעי המפלגה הדמוקרטית (בכחול). גם במחוז 7 הרפובליקנים ניצחו | מתוך חוות דעת שהוגשה לבית המשפט העליון של פנסילבניה

מסיבות היסטוריות, מבנה הבחירות בארצות הברית גורם להטיה לטובת מפלגה שבוחריה מפוזרים יותר מבחינה גיאוגרפית. מכיוון שרוב הבוחרים הדמוקרטים נוטים להתרכז בערים, המפלגה הרפובליקאית היא זו שבדרך כלל יוצאת נשכרת מג'רימנדרינג. עם זאת, גם המפלגה הדמוקרטית משרטטת גבולות מגמתיים של מחוזות הבחירה בכל מקום שבו היא יכולה, ובמיוחד ידועים לשמצה תעלולי השרטוט של הדמוקרטים במדינת מרילנד. המפות להלן מראות כמה מצאצאיה המודרניים של הסלמנדרה של ג'רי.

כיתוב: מחוזות הבחירה 3, 4 ו-7 במדינת מרילנד. הסלמנדרה של אלברידג׳ ג׳רי מחווירה אל מול היצירות הפרקטליות הללו | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל

מגדיר זוחלים: איך לזהות ג'רימנדר

במהלך השנים הוגשו עתירות רבות לבתי משפט בניסיון לערער על שרטוט גבולות מגמתי, אך עד לאחרונה נדחו רוב התביעות בנימוקים שונים – חלקם טכניים אך חלקם מהותיים. רובן של אלפי העתירות שהוגשו מאז 1962 נדחו בגלל קושי לקבוע האם אכן בוצע ג'רימנדרינג. קשה מאד להוכיח מניפולציה מכוונת, וקריטריונים שעשויים להיראות לנו הגיוניים, כגון צורת מחוז מוזרה, או ייצוג לא פרופורציונלי של מפלגה ביחס למספר בוחריה, לא בהכרח מצביעים על שרטוט מגמתי.

יתרה מזאת, חוקת ארצות הברית אינה אוסרת על ג'רימנדרינג על בסיס מפלגתי. עד שנת 1965 לא היה בחוק איסור על שרטוט מגמתי משום סוג, אולם באותה שנה אושר חוק זכויות ההצבעה (Voting Rights Act), שבין השאר אסר על ג'רימנדרינג על בסיס גזע. מכיוון שהמיעוטים בארצות הברית מצביעים באופן גורף למדי למפלגה הדמוקרטית, במקרים רבים אפשר לנסות להיאבק בג'רימנדרינג על בסיס חוק זה, אך בפועל נטל ההוכחה מורכב, ולמעשה בפסק הדין בתיק דייויס נגד בנדמר בשנת 1986 הגדירו שופטי בית המשפט העליון נטל הוכחה שכמעט בלתי אפשרי לעמוד בו.

משימת זיהויו של שרטוט מגמתי אכן אינה פשוטה כלל וכלל. ניתן היה לחשוב שייצוג לא פרופורציונלי למפלגה כלשהי בהכרח יעיד על קיומו של ג'רימנדר, אך אין הדבר כך. כפי שצוין, שיטת הבחירות הנציגותית מכתיבה כי מיעוט המפוזר באופן אחיד יימחק מבחינה אלקטורלית. כפי שראינו במסצ׳וסטס למשל, אין כלל ייצוג בקונגרס לרפובליקאים במדינה למרות שהם מונים כ 35% מהמצביעים, ללא קשר לאופן שרטוט המחוזות.

 גם צורת המחוז לא בהכרח מהווה אינדיקציה. מאגרי המידע שעומדים כיום לרשות המפלגות מאפשרים פילוח גיאוגרפי ופוליטי כה מדויק, שאין צורך בגבולות סוריאליסטיים או פרקטליים במיוחד כדי להשיג את המטרה הנכספת. ניתוח מתמטי, למשל, הראה שמחוז הבחירה שסובל מהג'רימנדרינג החמור ביותר במדינת מרילנד הוא דווקא מחוז בחירה 6, שבעטיו גם הוגשו עתירות לבית המשפט העליון במדינה, זאת בעוד שהוא מתאפיין דווקא בצורה תמימה למראה, בוודאי יחסית למחוזות 3, 4 או 7 המופיעים באיור למעלה. במיוחד היום, בעידן המחשב, ״אפשר לעשות דברים רעים עם צורות יפות, ולהיות הוגנים גם עם צורות מוזרות" כפי שהסבירה דוצ'ין מון (Moon), פרופסור למתמטיקה מאוניברסיטת טאפט, המתמחה בתחום ונקראת תדיר לעדות מומחה בנושא.

 האם יש אם כן מדד אובייקטיבי, שבאמצעותו ניתן להראות לבית המשפט שהמשרטט חתר תחת זכותם של הבוחרים לייצוג הוגן?

 הגיאומטריה נזעקת להצלה

לא מעט מתמטיקאים וסטטיסטיקאים נדרשו לסוגיה, הן ברמת המניעה והן ברמת האבחון והטיפול.

כ"טיפול מונע", הציעו מתמטיקאים ליישם בסקר האוכלוסין של ארצות הברית שיטה בשם פרטיות דיפרנציאלית. בשיטה זו מוסיפים רעש אקראי אך מבוקר לכל דגימה בסקר. מאחר שהרעש נוסף רק ברמה הפרטנית, בעוצמה נמוכה יחסית ובאופן מחושב, אין פגיעה בדיוק הסטטיסטי של הסקר. מאידך, מאחר וברמת בית האב התוצאות הופכות להיות לא אמינות, נמנע מיפוי בוחרים ברזולוציה גבוהה, מה ששומט את הקרקע מתחת לאפשרות לשרטוט מגמתי באמצעות כוח חישובי. על אף ההתנגדות הפוליטית הצפויה, הטכניקה יושמה בסקר של 2020, וניתוחים ראשוניים הראו שהפרטיות הדיפרנציאלית אכן משיגה את מטרתה.

במקביל, קמו בשנים האחרונות כמה קבוצות מחקר שפעלו לפתח מדדים מתמטיים לשערוך ג'רימנדרינג, ככלי עזר להליכים משפטיים. השיטה המבטיחה ביותר מגיעה מתחום הגיאומטריה הסטטיסטית. בשיטה זו מתחילים עם מפת מחוזות נתונה שמעוניינים לבחון ומתחילים לבצע מה שנקרא "הילוך אקראי" (Random Walk), שבו משנים בכל פעם נקודה אחת בלבד במפה ויוצרים מאגר מפות דומות שאליהן אפשר להשוות את זו המקורית.

​​כדי להבין איך עובדת השיטה, יש לדעת ראשית שכל מחוז בחירה ששולח נציג לקונגרס (Electoral District), מורכב ממתחמי בחירה קטנים רבים (Electoral Precinct). מתחם בחירה דומה לאזור בישראל המשויך לקלפי אחת, וכמו שוועדת הבחירות בארץ מפרסמת את נתוני ההצבעה בכל קלפי, כך מפרסמים בארצות הברית נתוני ההצבעה עבור כל מתחם בחירה. יש כ-175,000 מתחמי בחירה בארצות הברית, המרכיבים את 435 מחוזות הבחירה, והם מהווים את ה"פיקסלים" שמהם מורכבת מפת ההצבעה. כדי לבצע צעד באותו "הילוך אקראי" שמייצר מפות אלטרנטיביות אפשריות, המחשב בוחר באקראי מתחם בחירה אחד מתוך אלו שעל הגבול בין שני מחוזות, ומעביר אותו מהמחוז שבו הוא נמצא  למחוז הסמוך. כך מתקבלת מפת מחוזות חדשה, השונה בפיקסל אחד בלבד מהמפה הקודמת. המחשב יבדוק כעת את תוצאות ההצבעה אילו הייתה מתרחשת במפה החדשה, ישמור את התוצאה וימשיך לצעד הבא: שוב ישנה פיקסל גבול אקראי נוסף ויבדוק את תוצאות ההצבעה החדשות, וחוזר חלילה. אילו ימשיך המחשב לבצע הילוך מקרי כזה, פיקסל אחר פיקסל, לאורך מספיק זמן, בסופו של דבר יכוסה חלק משמעותי ממרחב האפשרויות העצום של המפות החלופיות. הדבר דומה לאופן בו מולקולת גז המבצעת הילוך אקראי בחלל החדר תכסה לאחר די זמן מרחק משמעותי, ואכן כך מתפשטים ריחות גם בחדר ללא זרימת אוויר.

האנימציה למעלה מראה חלק קטן מההילוך האקראי שעליו התבססה חוות דעת מומחים שהגיש צוות מתמטיקאים מאוניברסיטת קרנגי-מלון לבית המשפט העליון, בדיון אודות חוקיותה של מפת המחוזות במדינת ויסקונסין. המתמטיקאי פרופ ווזלי פגדן (Pegden), שהוביל את הצוות, הסביר כי כדי שאפשר יהיה לראות בעין את ההילוך האקראי, הואט התהליך מיליוני מונים מהקצב שבו ביצע אותו המחשב בפועל. "לו היינו מציגים בקצב שכאן את כל טריליון הצעדים שבוצעו", אמר פגדן, "היה הסרטון נמשך יותר מ-1,000 שנים".

באמצעות ניתוח סטטיסטי של כל מפות המחוזות השונות שיוצרו בתהליך הנ״ל, הראה הצוות כי המפה שהציע בית הנבחרים ויסקונסין אכן מוטה באופן קיצוני. מתוך כטריליון המפות שהצוות הפיק וניתח, 99.99999998 אחוז היו מוטות פחות לטובת הרפובליקנים מאשר המפה שהוצעה. משמע, לו היינו צופים במשך שנה שלמה ברציפות באותה אנימציה המציגה את כל המפות האפשריות, פחות משנייה אחת מתוך השנה הזו הייתה מציגה מפות מוטות כמוה או יותר ממנה, וכל יתר השנה היינו צופים במפות מאוזנות יותר.

זנב בלתי נראה

כדי לבחון משתנה כלשהו באופן סטטיסטי, למשל את גובהן של נשים בפתח תקווה, יש לקחת מדידות רבות ככל האפשר ולשרטט את ההתפלגות, כלומר את ההסתברות למצוא אישה בכל גובה מסויים. ברור לנו אינטואיטיבית שפתח-תקוואית בגובה 1.92 מטר, למשל, היא חריגה מבחינה סטטיסטית, אך ההתפלגות תאפשר לנו לחשב בדיוק עד כמה.

אחד ממכוני המחקר הוותיקים והגדולים בארצות הברית העוסקים בגיאומטריה פוליטית, MGGG מאוניברסיטת טאפטס במסצ'וסטס, ביצע בשנת 2018 חישובי התפלגות כאלה עבור הטיה מפלגתית של מחוזות, כחלק מתביעה נוספת שהוגשה נגד מדינת פנסילבניה בעניין מחוז 7 המפורסם עם דמויות דיסני המתקוטטות. מכון המחקר הגיש לבית המשפט העליון של המדינה חוות דעת מפורטת (בסיוע חברה המתמחה בגיאוגרפיה פוליטית) המנתחת שלוש מפות שונות. ראשית את המפה הקיימת, זו ששרטט בית הנבחרים הרפובליקני בשנת 2011 ושבעטיה הוגשה התביעה, ובנוסף שתי מפות חלופיות, שהוכנו כתגובה לדרישת בית המשפט לתקן את המפה המקורית: מפה מתוקנת שהציע הסנאט הרפובליקני, ומפה אלטרנטיבית ששירטטה ועדת מומחים שמינה מושל פנסילבניה, הדמוקרטי.

הצוות השתמש בכל אחת משלוש המפות כנקודת מוצא להילוך מקרי בן מיליארד צעדים, ויצר כך עבור כל אחת מהמפות מיליארד מפות אלטרנטיביות הדומות לה. כל אחת ממיליארד המפות הללו נותחה סטטיסטית לפי המדדים המקובלים לבדיקת הטיה מפלגתית, ואפשר היה אז לבדוק את מידת ההטיה של המפה המקורית בהשוואה לכל אותן מיליארד המפות הדומות לה.

 סיכום תוצאות הניתוח עבור שלוש מפות המחוז מוצג באיור. המפה מימין היא המקורית, במרכז מופיעה ההצעה החלופית של הסנאט, והמפה משמאל היא זו שהציעו המומחים. מתחת לכל מפה מובא גרף ההתפלגות של מיליארד המפות הדומות לה. ככל שנעים ימינה על ציר ה-X של גרף ההתפלגות, המשמעות היא הטיה חזקה יותר לכיוון הרפובליקני. 

המפה הקיימת של מחוז 7, הראשונה מימין, ממוקמת כה ימינה ביחס למפות הדומות לה, עד שזנב עקומת ההתפלגות כבר אינו נראה באזור שלה. מתוך כל מיליארד המפות הדומות לה, רק ארבע היו מוטות לטובת הרפובליקנים כמוה. למעשה, היא ממוקמת כל כך רחוק ימינה בגרף, שצריך היה לשנות את קנה המידה שלו כדי שאפשר יהיה בכלל להכניס אותה לתמונה. המסקנה הבלתי נמנעת היא שאי אפשר היה לקבל אותה בהליך שרטוט תמים, והכנתה דרשה תכנון קפדני והרצת מיליוני הדמיות כדי להשיג הטיה קיצונית כל כך לרעת הבוחרים הדמוקרטיים.

אך האם היה צורך בניתוח מתמטי סבוך? הרי צורותיהן המוזרות והמגמתיות של המחוזות של המפה המקורית היו מביאות כל צופה בלתי משוחד למסקנה דומה. ובכן, בחינת המפה החלופית שהציעו הרפובליקנים (במרכז) מראה את הסכנה שבהסתמכות על מראה עיניים. מתברר שמפה זו, למרות צורות המחוזות הפשוטות לכאורה המוצעות בה, הוגנת רק מעט שבמעט יותר מהמפה המקורית. הניתוח הסטטיסטי מעלה שהיא עדיין מוטה יותר מ-99.999999 אחוז מכל מיליארד המפות האפשריות הדומות לה.

המפה שהציעה צוות המומחים של המושל, לעומת זאת, מעלה תוצאות סבירות. שינויים חוזרים ונשנים של גבולות המחוזות המופיעים בה לא משנים משמעותית את תוצאות הבחירות, ומכאן שהיא לא חותכת אוכלוסיות מצביעים באופן מגמתי ומדוקדק, ולא שורטטה מתוך כוונת הטיה. המפה אמנם נוטה לכאורה מעט לכיוון הרפובליקאים, אבל יש בכך היגיון גיאוגרפי, הנובע מכך שלדמוקרטים יש אמנם רוב של מעל עשרה אחוזים במדינה כולה (55 אחוז לעומת 44.8 אחוז שהצביעו לרפובליקנים בבחירות האחרונות), אך ריכוזם של המצביעים הדמוקרטים באזורים עירוניים מבצע "דחיסה טבעית" לכח האלקטורלי שלהם. 

בעקבות הצגת הנתונים, השתכנע בית המשפט שהמפה הקיימת של מחוז 7 מקפחת את הבוחרים באופן לא מידתי, והשופט הקצה לבית הנבחרים שבועיים להגיש מפה מעודכנת. המועד חלף מבלי שבית הנבחרים הצליח להגיע להסכמה, ולבסוף נפסק שהמפה הישנה אינה בתוקף ודינה להיות מוחלפת במפה ששורטטה על ידי צוות מומחים בתחום, חסרי השתייכות מפלגתית. 

ניתוח גיאומטרי-סטטיסטי של המפה החדשה הראה שהיא הוגנת, והבחירות לקונגרס נערכו שבועות ספורים לאחר אישורה. הבחירות על פי מפת המחוזות החדשה הפכו את החלוקה המפלגתית של 18 הנציגים מפנסיבלניה למאוזנת בהרבה: בשנת 2012, עם המפה המקורית, היו במדינה 13 חברי קונגרס רפובליקנים וחמישה דמוקרטים; אך אחרי שינוי המפה ב-2018 החלוקה היתה מאוזנת, עם תשעה נציגים לכל מפלגה, בדומה למאזן הקולות הכללי במדינה.

בדרך לדמוקרטיה הוגנת יותר

ההחלטה על שינוי זה של מפת המחוזות בפנסילבניה, כמו החלטות דומות במדינות אחרות, הובילה להתנגשות חריפה בין הרשות המחוקקת לרשות השופטת בארצות הברית. מדינת פנסילבניה ערערה והגיעה עד בית המשפט העליון של ארצות הברית, שדחה את הבקשה בנימוק שאל לו להתערב בשיקולי הערכאות של המדינה. היה גם ניסיון של בית הנבחרים של פנסילבניה להדיח את ארבעת השופטים שפסקו נגד המדינה, אך הוא לא עלה יפה.

קשה לחזות עד כמה יצליחו התארגנויות פוליטיות ואזרחיות בארצות הברית להתגבר על מאמצי הג'רימנדרינג של המפלגות. בתי המשפט לא תמיד מספקים משענת נאמנה לאינטרסים האזרחיים, מאחר שהשופטים ממונים בהליך פוליטי ולכן לא פעם הם בעלי הטיה מפלגתית. בשנתיים האחרונות התחזקה במיוחד בעייתיות זו, כאשר הרוב הרפובליקני החזק בבית המשפט העליון בארצות הברית צמצם בפסיקותיו את האפשרות לסעד משפטי של בתי המשפט המדינתיים, ופתח פתח לג'רימנדרינג מרחיק לכת בחסות החוק.

פתח לג'רימנדרינג בחסות החוק. בניין בית המשפט העליון של ארצות הברית בגבעת הקפיטול, וושינגטון | צילום: Fedor Selivanov, Shutterstock

הכלים המתמטיים ההולכים ומשתכללים מספקים תמונה נאמנה יותר של חומרת המצב, מעלים את המודעות ומאפשרים פעולה אזרחית ומשפטית יעילה יותר. במדינות רבות בארצות הברית כבר פועלות התארגנויות ששמו להן למטרה לצמצם את שרטוט הגבולות המגמתי, ובמדינות רבות תהליך שרטוט המחוזות (redistricting) כבר מבוצע על ידי ועדות מומחים בלתי תלויות. המאמץ האזרחי משלב ידיים עם החוקרים והמתמטיקאים בתחום כדי להפוך את ההליך הדמוקרטי להוגן ומאוזן יותר.

תודה רבה לעידו דמבין על הסיוע בעריכת הכתבה.