הכדור הוא עגול

נפתח ב… בוחן פתע! אבל אל חשש, בעזרת מפת העולם המוכרת שבאיור למטה, מפה שזהה לזו שמופיעה גם בפורטל משרד החינוך – עזרים למורה, בוודאי לא תתקשו לענות במהירות על חמש שאלות קצרות:

איור 1: מפת כדור הארץ, כפי שהוא מוכר לנו ממאות מפות שראינו במערכת החינוך ומחוצה לה | ויקיפדיה, Strebe 

1)    האם אפשר להפליג בקו ישר מהנקודה המזרחית ביותר בניו יורק, קצה האי הארוך Long Island הבולט אל תוך האוקיינוס האטלנטי, בקו ישר עד לפורטוגל? לצרפת? לאנגליה?

2)    האם אפשר להפליג בקו ישר מאותה נקודה בניו יורק, מבלי לסובב את הגה הספינה, כל הדרך לאוסטרליה מבלי להיתקל בדרך ביבשה כלשהי?

3)    פי כמה גדולה יבשת אפריקה מהאי גרינלנד?

4)    לאיזו נקודה באמריקה נגיע אם נטוס בקו ישר מתל אביב לגיברלטר, ונמשיך באותו הכיוון מבלי לסטות? 

5)    מעל אילו מדינות תעבור טיסה ישירה, בקו הקצר ביותר, מתל אביב לסן פרנסיסקו?

להניח עפרונות! נעבור לתשובות. 

1. מה נמצא מעבר לים

מפה 2 מראה לאלו ארצות נגיע אם נפליג מהעיירה מונטוק שבקצה לונג איילנד, הנקודה המזרחית ביותר בניו יורק. באופן מעורר השתאות, למרות שבמפה 1 ניו יורק נראית הישר מעברו השני של האטלנטי מאירופה, הרי שאין אף לא קו הפלגה ישר אחד המחבר את ניו יורק למדינה אירופאית כלשהי. המדינה הצפונית ביותר שאפשר להגיע אליה בקו ישר מניו יורק היא מרוקו. אם נצא בכיוון צפוני יותר – נעלה על שרטון בחופיה המזרחיים של אמריקה הצפונית. המפה מטעה אותנו בגלל העיוות המתקבל ממיפוי, או "היטל", כדור הארץ התלת ממדי אל דף שטוח. 

איור 2: לאן תגיע ספינה המפליגה בקו ישר מהנקודה המזרחית ביותר בניו-יורק? בואו נבדוק על המפה | איור: קולו אור

  2. מניו יורק לאוסטרליה 

מניו יורק אי אפשר אם כן להפליג בקו ישר לאירופה, אך אפשר גם אפשר להגיע בקו ישר כל הדרך לאוסטרליה, הן לפרת' שבמערב היבשת והן לאספרנזה שבדרומה. כדי להגיע לפרת׳, הצפונית מבין שתי הערים, צריך באופן מפתיע להפליג מניו יורק בכיוון דרומי יותר דווקא, ואילו כדי להגיע בקו ישר לאספרנזה, הדרומית יותר, יש לצאת מניו יורק בזווית הפלגה צפונית יותר.

המפה למטה מראה את מסלולי ההפלגה מניו יורק לאוסטרליה. הקווים במפה אינם ישרים, אך בפועל, על פני כדור הארץ, הקווים לא רק ישרים אלא מייצגים את המסלול הקצר ביותר בין שתי הנקודות. אפשר לראות זאת יפה בגלובוס אינטראקטיבי באדיבות מקס גלקה מ-Metrocosm, המראה בתלת ממד את קווי ההפלגה הישרים מניו יורק לשאר העולם (גרירה עם העכבר מסובבת את הכדור).

איור 3: קווי ההפלגה הישרים והקצרים ביותר מניו יורק לאוסטרליה נראים לעינינו עקומים וארוכים | איור: קולו אור 

3. כמה גדולה אפריקה?

במפה מאיור 1 אפריקה נראית פחות או יותר שווה בגודלה לגרינלנד. אך הדבר נובע מהעיוות הכרוך בשיטה באמצעותה ביצעו את המיפוי, ההיטל, מכדור תלת ממדי למפה דו-ממדית. שיטה זו, המכונה "היטל מרקטור" משמרת את צורת המדינות, אך על חשבון עיוות שטחן, אשר מתנפח באופן מלאכותי ככל שנתרחק מקו המשווה. מסיבה זו גרינלנד, שבצפון, נראית במפה שווה בגודלה לאפריקה, הסמוכה לקו המשווה. בפועל, אפריקה ששטחה מעל 30 מיליון קמ"ר, גדולה פי 14 מ-2.2 מיליון הקמ"ר של גרינלנד.  

האנימציה למטה מראה את גודלי המדינות, כפי שהן משורטטות בהיטל מרקטור המוכר, לעומת שטחן בפועל. האנימציה מדגימה איך הבעיה מחמירה ככל שמרחיקים מקו המשווה. למשל שטחו האי הקנדי אלסמיר (שמשמאל לגרינלנד על המפה), נראה בהיטל מרקטור שווה לשטחה של אוסטרליה, כאשר בפועל הוא קטן ממנה כמעט פי 40.

איור 4: שטח מדינות בהיטל מרקטור, לעומת שטחן האמיתי | באדיבות Engaging Data - באתר ניתן למצוא גרסה אינטראקטיבית של מפה זו, עם מידע מפורט יותר עבור כל מדינה 

מפה אינטראקטיבית נוספת מאפשרת לגרור מדינות למקומות שונים על פני הגלובוס, ולראות את גודלן משתנה בהתאם לקו הרוחב. האיור למטה מראה כיצד ישורטטו גרינלנד ואנטארקטיקה אם נמקם אותן בקו רוחב משווני. שטחה של אנטארקטיקה במפת מרקטור המוכרת נראה כגדול משטח סך כל שאר היבשות גם יחד (בתמונה למטה, מימין). בפועל יש באפריקה די שטח לשתי אנטארקטיקות, ועם עודף של מיליוני קמ"ר (בתמונה האמצעית). נסו לגרור דרומה מדינות צפוניות כרוסיה, קנדה או מדינות סקנדינביה, כדי להבין עד כמה מעצבות את התודעה שלנו מפות שעוותו על ידי היטלים. שטחה של טורקיה, למשל, יותר מכפול משטחה של פינלנד, אף כי זו נראית גדולה ממנה בהרבה על מפת העולם לעיל. גם שבדיה ה"עצומה", למעשה קטנה יותר מצרפת. 

איור 5: שטחן המשורטט של אנטארקטיקה וגרינלנד במיקומן המקורי, לעומת שטחן המשורטט אילו היו משווניות | איור: קולו אור, באדיבות TheTrueSize.com 

4. מתל אביב לגיברלטר, והלאה

מהמפה באיור 1 בתחילת הכתבה נראה שקו ישר מתל אביב העובר דרך מיצר גיברלטר ימשיך ויגיע לאזור ניו יורק. אלא ששוב מתעתעים בנו העיוותים הכרוכים בהשטחת המציאות התלת ממדית. למעשה, הקו יגיע אל הגבול בין ונצואלה וקולומביה, בדרום אמריקה. הנקודה מסומנת במפה הראשונה ב-X אדום.

המפה למטה מטילה את הכדור אל הדף באופן אחר, המכונה ״אזימוטלי״. ההיטל האזימוטלי, שלא כמו היטל מרקטור, מוותר על צורותיהן הנכונות של מדינות, אך תמורת זאת משמר את נכונות הכיוונים והמרחקים ביחס לנקודה האמצעית. כך אפשר לבחון לאן יגיע קו ישר מתל אביב לכל מקום, למשל כזה החולף דרך גיברלטר (הקו האדום). מסלול כזה נקרא הקו הגיאודזי (geodesic), והוא מייצג את הקו הישר הקצר ביותר בין שתי נקודות על גבי הכדור.  

איור 6: היטל אזימוטלי, עם ישראל במרכז, המשמר כיווני ומרחקי אמת ביחס לנקודת האמצע | איור: קולו אור, שורטט באמצעות NS6T

 5. מנתב"ג לסן פרנסיסקו

קו נוסף המופיע במפה למעלה, בצבע ירוק, משרטט את הקו הקצר ביותר בין תל אביב לסן פרנסיסקו. קו ישר בין שתי נקודות אלה על המפה הראשונה, עם היטל מרקטור, עובר דרומית לספרד, אך למעשה הטיסה הישירה הקצרה ביותר מנתב"ג לקליפורניה חולפת מעל נורבגיה וגרינלנד.

נתיבי התעופה במפות שבפרסומי חברות התעופה נראים תדיר עקומים וארוכים שלא לצורך. האם הסיבה היא משטרי רוחות ההופכים מסלולים עוקפים כאלה למשתלמים? ובכן, אמנם יש התחשבות מסויימת בזרמי סילון בקביעת מסלול הטיסה המדויק, ויש לעיתים גם שיקולים גיאו-פוליטיים המובילים לקביעת נתיבים לא אופטימליים - כך למשל טיסות מישראל למזרח הרחוק מנועות ממעבר בשטחן האווירי של מדינות עוינות, ולכן גם צפויות להתקצר משמעותית עם חתימת ההסכם מול סעודיה. אך כמעט תמיד המסלולים של חברות התעופה אינם עקומים כלל. הם נראים כך רק כשמשרטטים אותם על מפות עם היטלים דוגמת היטל מרקטור. אותו קו ישר בין נתב"ג לסן פרנסיסקו, למשל, שמפת ההיטל האזימוטלי באיור למעלה מראה היטב מדוע הוא חולף מעל גרינלנד, נראה עקום וארוך שלא לצורך על גבי היטל מרקטור במפה למטה, אף שמדובר באותו המסלול בדיוק.

 יישומון של מאגר הכלים החינוכיים Academo, מאפשר למשתמש לבחור שתי נקודות על מפה בהיטל מרקטור, ולראות לא רק את הקו הישר על המפה אלא גם את הקו הגיאודזי, כלומר המסלול הקצר ביותר המחבר ביניהן בפועל. 

ראינו למשל שאפשר להפליג מניו יורק לפרת׳ שבאוסטרליה בקו ישר, בהפלגה בכיוון דרום מזרח. האפליקציה של אקדמו מראה, במפה למטה, שאם אין לנו צורך בהפלגה ימית דווקא, הקו הקצר ביותר מניו יורק לפרת' עובר דרך אלסקה וסמוך ליפן. לרוב האנשים ייראה קו כזה כמנוגד להיגיון. אחרי עשרות שנות היכרות עם מפות מעוותות, האינטואיציות שהאדם הממוצע מפתח הינן במקרים רבים שגויות מאד.

איור 7: קו התעופה הקצר ביותר (הקו הגיאודזי) בין ניו לפרת' שבאוסטרליה עובר מעל אלסקה וסמוך ליפאן | איור: קולו אור באמצעות Academo 

אם היטל מרקטור מטעה כל כך, מדוע הוא הפך להיות כה אוניברסלי? מה הסיבה שמאז פיתוחו באמצע המאה ה-16, הפכו מפות המבוססות עליו לפריט חובה עבור כל יורד ים ומגלה ארצות, ולמה הוא נפוץ כל כך בכיתות הלימוד, בספרים ובאטלסים? כדי להבין את יתרונותיו של היטל מרקטור, את סוד הפופולריות שלו ואת המהפכה העצומה שהביא, צריך קודם להבין מעט טוב יותר מהם היטלים, ואיך התפתחותם ליוותה את התפשטות הציוויליזציה האנושית.  

העולם הוא שטוח, בקירוב  

הצורך לבצע היטל של כדור גדול אל מפה שטוחה היא משימה גיאומטרית שהמין האנושי מתגושש איתה כבר אלפי שנים. יש בידינו היטלים מסוגים שונים שהיו בשימוש לפני הספירה ביוון ובסין. אך כל ההיטלים הללו לא היו של כדור הארץ, כי אם של כיפת השמים והכוכבים בה. לאורך רוב ההיסטוריה, ניתן היה להתייחס אל כדור הארץ באופן מעשי כשטוח, מאחר וזה קירוב סביר בקנה מידה אנושי. הכדור עליו אנו חיים גדול כל כך, שהעקמומיות שלו היא רק כ-8 סנטימטרים בכל קילומטר. בחיי היומיום כדוריות כזו היא זניחה לעומת פני השטח, המקומטים למדי, בוודאי במרחקים שהיו רלוונטיים לאנושות לאורך רוב ההיסטוריה. 

עם זאת, גם אם הנחת העבודה בחיי היומיום היתה שאפשר להתייחס לעולם כשטוח, הרי שכבר לפני אלפי שנים הגיעו תרבויות שונות, באופן בלתי תלוי, למסקנה שהאדמה עליה אנו חיים היא כדור עצום בגודלו. במערב היה הפילוסוף היווני אפלטון אחד הראשונים להציע זאת, כבר במאה החמישית לפנה״ס (פיידו, עמוד 65). תלמידו אריסטו ניסה לחשב את היקף הכדור באמצעים הגסים שהיו בידו במאה הרביעית לפנה"ס, והגיע לכ-70 אלף קילומטר - כמעט כפול מההיקף בפועל העומד על כ-40 אלף קילומטר. ארטוסתנס שבא אחריו הצליח לשפר את החישוב והגיע לדיוק מרשים כבר לפני 2,250 שנה.

הבעיה שניצבה בפני מדענים קדומים אלה בבואם לשרטט את מפת הכדור, בין אם של כיפת השמיים או של פני האדמה, היתה שאין דרך לחתוך כדור באופן שיאפשר לשטח אותו לצורה דו ממדית. אפשר ללא כל בעיה לחתוך צורות כגון תיבה, גליל, או חרוט ואז לפרוס למשטח, כמודגם באיור למטה. לפיכך אלו הן צורות "פריסות" - המונח המתמטי לגוף שאת פניו אפשר לשטח ללא עיוות. לעומתם כדור אינו פריס. לכן אם ברצוננו לייצר מפה שטוחה מכדור, צריך ראשית להטיל את פניו לגליל, חרוט או כל משטח פריס אחר. 

איור 9: יש גופים שאפשר לפרוס. משמאל – קוביה, מימין למעלה – גליל, מימין למטה - חרוט | איורים: Rectas , Wikipedia 

איך פורסים כדור

הניסיון המתועד הראשון לבצע היטל של כדור הארץ למשטח פריס בוצע על ידי מרינוס מהעיר צור, פילוסוף ומדען יווני מהמאה הראשונה לספירה ומייסד המדע אותו כינה "גיאוגרפיה מתמטית". מרינוס היה ככל הנראה מי שהמציא את שיטת קווי האורך והרוחב, והוא היה גם הראשון להדגים את הדרך המתמטית להטיל כדור אל גליל המשיק לו. בשיטה שפיתח, המלבנים שנוצרים מהצטלבות קווי האורך והרוחב על הגליל זהים כולם אלה לאלה, ולכן מכונה היטל זה "שווה מלבנים" (Equirectangular Projection). ההיטל מצוי בשימוש עד היום, והאיור למטה מדגים את ההיגיון בבסיס הכנתו.

איור 8: הדרך הראשונה להטיל כדור. הכנת היטל גלילי מסוג "היטל שווה מלבנים" | איור: קולו אור

הבעיה העיקרית בהיטל זה היא שככל שמתרחקים מקו המשווה ונעים צפונה, הולך וקטן היקף המעגל מהכדור אותו אנו מטילים לגליל, עד שבקוטב נטיל מהכדור נקודה בלבד. היקפו של הגליל, לעומת זאת, נשאר זהה לכל גובהו. במילים אחרות, ככל שנצפין, ההטלה תמתח את המעגל ההולך ומתקצר על הכדור כך שימלא את כל היקף הגליל, עד שבקצה תימתח הנקודה הבודדת של הקוטב על כל הקו העליון של ההיטל. האיור למטה מדגים למשל את האופן שבו היטל גלילי שווה מלבנים הולך ומותח את איסלנד וגרינלנד לרוחב ככל שנעים צפונה.

איור 9: מה הצורה של גרינלנד? מימין - גרינלנד כפי שהיא נראית בצילום מלמעלה, משמאל - גרינלנד בהיטל שווה מלבנים | NASA

 עיוות זה הוביל את המדען המהולל תלמי (קלאודיוס פטולומיאוס), ממשיכו של מרינוס, לטעון בספרו המונומנטלי "גיאוגרפיה" שההיטל שווה המלבנים אינו מתאים לשרטוט העולם. בשיטת מרינוס, אזור קו המשווה סובל מהעיוות הקטן ביותר, וככל שמתרחקים צפונה מתחילים עיוותים. העולם הידוע אז במערב לתלמי ובני תקופתו היה צר למדי, והתרכז לא סביב קו המשווה כי אם סביב קו הרוחב 36°. לכן, במקום בגליל המשיק לקו המשווה, הציע תלמי להשתמש בחרוט, המשיק לקו הרוחב 36° כמו באיור למטה.

איור 10:משמאל: ההיטל של תלמי, אל חרוט המשיק לקו רוחב צפוני יחסית, כפי שנראה בעיגול הצהוב. מימין: ההיטל של מרינוס אל גליל המשיק לקו המשווה | Shutterstock, Emir Kaan 

המפה המקורית ששרטט תלמי לא שרדה, אם בכלל הייתה קיימת. רוב החוקרים וההיסטוריונים כיום סבורים שתלמי לא צירף בפועל מפה לספרו, אלא רק הסביר את השיטה המתמטית להכנתה (שתי שיטות שונות, למעשה). כך או כך, ההיטלים שהציע אכן צמצמו מאד את העיוות סביב קווי הרוחב הצפוניים-מתונים, והפכו להיות סטנדרט בקרב גיאוגרפים למשך כ-1,500 שנה. קיים מספר רב של גרסאות ל"מפת תלמי", בשפות רבות. לדוגמה זו המצורפת למטה. 

איור 11: מפת העולם בהיטל שהגדיר תלמי, כפי ששורטטה בספר מהמאה ה-15 | מקור: הירחון המדעי Vestnik

היטל חרוטי שימושי גם כיום לשרטוט מפות בטווח צפון-דרום שאינו גדול מדי. התרחקות מהטווח השימושי תגרור עיוות קיצוני, אבל בשרטוט מדינה בודדת, אפילו מדינה גדולה כמו ארצות הברית, העיוות המתקבל מינימלי. גופים גדולים בארצות הברית כמו מכון המיפוי הגיאולוגי USGS או לשכת האוכלוסין, משתמשים באופן כמעט בלעדי בגרסה של היטל חרוטי כדי להציג ממצאים על מפת  ארצות הברית. 

האם עדיף גליל או חרוט? 

לכאורה הציע תלמי את ההיטל הטוב יותר, ולראיה הפופולריות הגדולה שזכה לה בעולם העתיק. אך ראה זה פלא, ההיטל השולט בכיפה בעת המודרנית, מרקטור שאתו פתחנו, הוא היטל לגליל דווקא. מדוע ומתי עדיף האחד, ומתי משנהו?

"מחוון טיסו" (Tissot Indicatrix) הוא אחת הדרכים השימושיות ביותר להשוות בין היטלים. כדי לייצר מחוון טיסו ראשית משרטטים על גלובוס עיגולים זהים בגודלם ובצורתם, בהצטלבויות של קווי האורך והרוחב, בצפיפות הרצויה (כמו באיור למטה מימין). בשלב הבא משתמשים בהיטל שבחרנו כדי להפוך את הגלובוס למפה שטוחה, כאשר יחד עם התצורות הגיאוגרפיות נטיל מהגלובוס גם את העיגולים. המחוון הוא מפת העיגולים הסופית שקיבלנו, כאשר צורתם וגודלם במקומות שונים במפה יאפשרו להבחין ביתר קלות בעיוותים. 

חלק ב' של האיור למטה מראה את מחוון טיסו עבור היטל גלילי שווה-מלבנים. אפשר לראות שביקורתו של תלמי על היטל זה הייתה מדויקת, מאחר שככל שמתרחקים מקו המשווה, שטח העיגולים גדל והם נמתחים יותר ויותר ולצדדים והופכים לאליפטיים. ההיטל מגדיל ומותח לצדדים את תוואי המפה ככל שמתקרבים לקטבים.

היטל חרוטי, בדומה לזה שהציע תלמי (חלק ג' באיור), גם הוא אינו חף מבעיות. עיגולי המחוון מראים שמצד אחד, כל עוד נמצאים בין באזור קו הרוחב האמצעי סביבו בוצע ההיטל, העיגולים שומרים על אחידות יחסית בצורתם ובגודלם של העיגולים.מאידך, אם חורגים מטווח זה של קווי רוחב, הטלה לחרוט מעוותת אף יותר מהטלה לגליל. הוויתור על שולי המפה תמורת דיוק מוגבר בתחומה האמצעי הולם את צרכיו של מי שנדרש לשרטט טווח מוגבל של קווי רוחב, כמו תלמי, וכמו לשכת האוכלוסין של ארצות הברית. מאידך, בבואנו לשרטט טווח רחב יותר של קווי רוחב, ההיטל הגלילי מפזר את העיוות באופן שוויוני יותר לגובה המפה, ומאפשר לנו להגיע גם לקווי רוחב גבוהים יותר.

איור 12: מחוון טיסו מאפשר להשוות בין היטל גלילי (ב) להיטל חרוטי (ג) ולראות את מידת העיוות היחסי במיפוי אזורים שונים | ויקיפדיה, Justin Kunimune, Eric Gaba-Sting, Stefan Kühn

ההיטל הטוב ביותר 

הגיאוגרף האמריקאי מרק מונמונייר (Monmonier) פתח את ספרו המאלף "איך לשקר עם מפות" במשפט: "לשקר באמצעות מפה זה לא רק קל, זה גם הכרחי. כדי להציג עולם מורכב ותלת-ממדי על דף שטוח, חייבים לעוות את המציאות". ספרו של מונמונייר ממשיך ומדגים אין-ספור שקרים וסילופים מכוונים שבוצעו באמצעות מפות, אך מראה גם שאפילו הקרטוגרף בעל הכוונות הטהורות ביותר לא יוכל להעביר נאמנה גלובוס כדורי אל מפה שטוחה. המתמטיקה מכתיבה שאי אפשר להציג בו זמנית על מפה גם שטחים בקנה מידה נכון, גם צורות נאמנות, גם כיוונים נכונים וגם זוויות מדויקות. כבר לפני 200 שנה הוכח, מתמטית, שבלתי אפשרי להטיל משטח כדורי אל מישור בלי לעוות או לקמט אותו. לאונרד אוילר (Euler) הניח את הבסיס, ואחריו פרסם קרל פרידריך גאוס (Gauss) הוכחה כה יוצאת דופן, שהיא זכתה לשם החריג "המשפט המופלא" (Theorema Egregium). מעבודתם נובע שכאשר יוצרים מפה, בהכרח יש לבחור בפשרה המשמרת חלק מהתכונות טוב יותר, על חשבון תכונות אחרות. אחרי מרינוס ותלמי הגיעו לפיכך אלפי הצעות להיטלים שונים ומשונים, שכל אחד מהם מציע פשרה אחרת בין התכונות הרצויות.

 מבחינה מתמטית קיימים אין סוף סוגי היטלים. מעשית, כמה מאות סוגים נמצאים כיום בשימוש, כאשר כל אחד מהם בוחר פשרה אחרת של נאמנות לצורות, מרחקים, כיוונים וזוויות. מעצם הגדרתם, אף היטל לא יוכל להיות "הטוב ביותר" לכל צורך. האיור למטה מראה שישה היטלים לדוגמה בלוויית מחווני טיסו שלהם. כל אחד מהשישה שימושי ביותר לצרכים מסוימים, וחסר תועלת לחלוטין ביישומים אחרים. 

איור 13: כל אחד והעיוות שלו. היטלים שונים | Stab-Werner Map Projection Image by Tobias Jung, ויקיפדיה - Strebe, Justin Kunimune, Kurubu

 הראשון מבין ההיטלים באיור, היטל ווינקל-טריפל, הוכן באמצעות לקיחת ממוצע בין טכניקות הטלה שונות, ולכן כל נקודה על המפה סובלת מעיוות מסוים בגודל, זווית, מרחק ושטח, אך אף נקודה אינה סובלת מעיוות גדול. הוא מהווה פשרה כה מוצלחת, שהחברה הגיאוגרפית (National Geographic Society) בחרה בו בשנת 1995 להיטל  שלפיו ישורטטו מפות העולם באטלסים שלה.

לעומתו ההיטל האזימוטלי שווה-המרחק מעוות שטחים וצורות באופן קיצוני, אך בתמורה שומר על כיוונים ומרחקים מדויקים ביחס לנקודת האמצע שלו. כמו שראינו באיור 6 למעלה, בו תל אביב הייתה במרכז. באיור זה נקודת האמצע היא הקוטב הצפוני, ולכן היא מאפשרת לראות במדויק מרחקים וכיוונים אל הקוטב מכל נקודה על כדור הארץ. הקוטב הדרומי, לעומת זאת, מרוח על פני כל קו היקף המפה. היטל ספציפי זה, עם הקוטב הצפוני במרכזו, מוכר גם כי האו"ם בחר בו לדגלו.  

איור 14: במרכז דגל האומות המאוחדות מצויירת מפת העולם בהיטל אזימוטלי שווה-מרחק, הממוקד בקוטב הצפוני | ויקיפדיה, Denelson83, Zscout370 ve Madden

 לכל אחד מההיטלים שבאיור 13 יתרונות משלו. בהיטל המוצג בחלק ג' למשל (״היטל האמר רטרואזימוטלי״), כל מסלול ישר מנקודת האמצע לכל נקודה אחרת מייצג את הקו הקצר ביותר גם במציאות, וכל המסלולים האלה פרופורציונליים לאורכם האמיתי. ההיטלים ד' ו-ה' הם שווי שטח, ולכן כל העיגולים של מחווני הטיסו שלהם זהים בשטחם, בכל מקום במפה, גם אם צורתם מעוותת. ייצוג מדויק זה של שטח יחסי, בכל מקום בעולם, שימושי במיוחד כדי להציג תופעות מרחביות כגון ייעור, מדבור, צפיפות אוכלוסין, משאבי טבע וכן הלאה. 

ההיטל האחרון, היטל דימאקסיון בחלק ו' של איור 13, מטיל את פניו הכדוריים של כדור הארץ על פאותיו של עשרימון (איקוסהדרון), שהיא צורה תלת מימדית בעלת 20 פאות זהות. האנימציה למטה מדגימה איך הדבר מבוצע. אחרי ההטלה אפשר לפרוס את העשרימון למפה שטוחה בדרכים רבות, בהתאם לאופן בו בוחרים לפרק אותו למשולשים המרכיבים אותו. באיור ובאנימציה נבחרה פריסה המשאירה את כל היבשות שלמות, ומראה כי הן יוצרות מעין גשר אדמה סביב כדור הארץ. אפשר היה גם לבחור לפרק אחרת את העשרימון, ולהציג את האוקיינוסים כרציפים, או את הקוטב במרכז וכן הלאה. יתרונו של היטל זה הוא העיוות מינימלי בכל נקודה על פניו, כפי שמראה מחוון הטיסו שלו. מאידך, המפה המתקבלת מקוטעת באופן המקשה על הבנה תלת-ממדית ועל כיווני הגעה ממקום אחד למשנהו. האם הדרך הקצרה ביותר מניו יורק לאירופה עוברת דרך מיצרי ברינג? איך מגיעים מדרום אמריקה לאפריקה? או מאנטארקטיקה לאוסטרליה? מהיטל דימאקסיון קשה מאד להבין.

איור 15: מפת העולם בהיטל דימאקסיון, יצירתו של בקמינסטר פולר (Fuller) | על בסיס האיור של Justin Kunimune, ויקיפידיה

מלך ההיטלים 

והנה, למרות שבוודאי אין היטל שהוא הטוב ביותר, בכל זאת כבר מאות שנים שהיטל אחד ויחיד נפוץ בהרבה מכל היתר, על ספינות המאה ה-17 כמו גם בכיתות הלימוד במאה ה-21. אותו היטל מרקטור שאחראי על חלק גדול מתפיסת העולם שלנו, ושבעטיו קשה כל כך לאדם הממוצע לענות נכון על חמש השאלות שבפתיחת כתבה זו. מנין הגיע היטל זה, ומדוע הפך לדומיננטי כל כך?

כפי שראינו, ביקורתו של תלמי על ההיטל שווה-המלבנים של מרינוס הייתה שהוא מעוות ככל שמתרחקים מקו המשווה (איור 8). אך בתום ימי הביניים, עם תחילתו של עידן המסעות הגדולים, הפך גם ההיטל החלופי שהציע תלמי לבלתי מספק. היטל חרוטי זה היה שימושי למיפוי עולם שלא מתרחק מדי מקו הרוחב 36°, אך התאים פחות ופחות לגלובוס ההולך ונחשף במאה ה-16 לעיניים האירופאיות. נדרשה מפת עולם שתאפשר ניווט אמין יותר, בחלקים נרחבים של העולם.

המהפך התרחש בשנת 1569, עם מפה שפרסם גרהארד קרמר ההולנדי. המפה התבססה על אותו היטל גלילי של מרינוס, אך בתוספת תיקון קריטי. בהיטל שווה-המלבנים, כזכור, המפה הולכת ונמתחת לרוחב ככל שמתרחקים לכיוון הקטבים. קרמר, שחתם על המפה בשמו המסחרי והמרשים יותר בעיניו "גרארדוס מרקטור", הבין את החוקיות המתמטית של המתיחה הזו (מכפלה של פונקציה טריגונומטרית מסויימת, סֶקַנְס, המופעלת על קו הרוחב), ולכן הבין גם איך יוכל לתקן את עיוות הצורות. מרקטור החליט למתוח את המפה באופן מלאכותי לגובה בדיוק לפי אותה חוקיות שבה ההיטל מותח אותה לרוחב. העצמים במפה אמנם יתנפחו כך ככל שנתקרב לקטבים, אך גם לרוחב וגם לגובה באותו היחס, וישמרו על צורתם המקורית. המפה למטה מראה את התוצאה.

במקום שהמלבנים הנוצרים על ידי קווי האורך והרוחב יהיו שווים בגודלם בכל מקום, כמו בהיטל הקלאסי של מרינוס, מרקטור מתח מלבנים אלה לגובה ככל שמתרחקים מקו המשווה. מאחר והוא מתח אותם לגובה בדיוק באותה מידה שבה ההיטל מעוות אותם לרוחב, התוצאה שהתקבלה היא היטל המשמר את כל הזוויות, או במינוח המתמטי – "היטל קונפורמי". הזווית בין כל שני קווים על פני הגלובוס, כבישים למשל, או גבולות, תישמר גם אחרי הטלתם למפת מרקטור.

תוצאה אחת הנובעת משימור הזוויות היא שימור של צורות מקומיות. קנה המידה אמנם לא נשמר, וגדל ככל שמתקרבים לקטבים, אך הצורות יישמרו. גרינלנד למשל נראית גדולה מדי ביחס לתצורות משווניות יותר, אך היא שומרת על צורתה, ונראית במפה ממש כפי שהיא נראית מהחלל. זה ניכר ממחוון טיסו של ההיטל, בחלק ב' של האיור למטה. העיגולים אמנם תופחים ככל שמתרחקים מקו המשווה, אך צורתם המעגלית נשמרת. בחלק ג' אפשר לראות את מחירו של שימור הצורות: בין קו המשווה לקו רוחב 70°, גדל קנה המידה פי 3.2, ובקו רוחב 80° הוא כבר גדול פי 6.4.

איור 16: נפוץ בהרבה מכל היתר כבר מאות שנים. היטל מרקטור: א. מפה ב. מחוון טיסו ג. קנה מידה כפונקציה של קו הרוחב | ויקיפדיה, Strebe, Justin Kunimune, DMA 

התוצאה החשובה יותר של ההיטל מבחינת יורדי הים, מעבר לשימור הצורות, הייתה שימור הזוויות. אי אפשר להפריז עד כמה הייתה חיונית לנווטים אז מפה שכזו, בה הקו בין כל שתי נקודות על המפה יוצר את אותה זווית מול הצפון כפי שמראה מצפן בעולם האמיתי, כאשר רוצים להגיע מנקודה אחת לאחרת. המפה החדשה אפשרה לימאים למדוד את הזווית על המפה ממקום הימצאם אל מחוז חפצם, ואז להפליג בכיוון זה, כשהמצפן קבוע כל הדרך בזווית שעליה הצביעה המפה. מהפכה של ממש ביחס לתיקוני המסלול הבלתי פוסקים שנדרשו מימאים עד אז, תוך היעזרות בתוואי שטח כמו איים וקווי חוף.

קו הפלגה כזה, בכיוון מצפן קבוע, נקרא לוקסודרום, ועל גבי מפות בהיטל מרקטור הוא נראה כקו ישר. לוקסודרומים כאלה, למרות שהם נראים כקווים ישרים, אינם הקווים הקצרים ביותר במציאות התלת ממדית, כפי שהודגם יפה למעלה, במפות 3 ו-7. עובדה זו הייתה ידועה היטב, ועדיין במשך מאות שנים הפלגה לאורך לוקסודרום היתה משאת נפש עבור כל ימאי. במרחקי הפלגה קצרים יחסית, עד כמה מאות קילומטרים, ממילא הלוקסודרום זהה כמעט לקו הקצר ביותר. וגם במרחקי הפלגה ארוכים יותר, בהם הלוקסודרום מאריך משמעותית את הדרך, העדיף הנווט את הוודאות שבמסע בכיוון קבוע על פני ניסיון להגיע בזמן קצר יותר, אך להסתכן באובדן הדרך. הפלגה בזווית מצפן קבועה הייתה ישימה, אמינה ומדויקת בהרבה ממסלול הדורש תיקוני כיוון ללא הרף.

עם יציאתו, הקדים היטל מרקטור את זמנו בכמעט 200 שנה, הן בגלל הידע המוגבל במאה ה-16 על ההבדל בין הצפון הגיאוגרפי והמגנטי, והן בגלל שטרם הומצאו שעונים ימיים שיאפשרו לנווטים לקבוע את קו האורך. אפילו במאות ה-16 וה-17 כבר היה היטל מרקטור נפוץ למדי, אך כאשר שני פערי ידע אלה הושלמו, באמצע המאה ה-18, הוא הפך לסטנדרט כמעט מוחלט בתחומי הניווט, המסחר והחינוך.

עלייתו, נפילתו ועלייתו

ב-150 השנים האחרונות נשמעו ביקורות הולכות ומחריפות על היטל מרקטור מצד גיאוגרפים וקרטוגרפים. לא רק שניפוח קנה המידה בקווי הרוחב הגבוהים מנע את הצגת אזורי הקטבים על מפות, אלא שגם היבשות המוכרות, בעיקר בחצי הכדור הצפוני, סבלו מעיוותים. רצה המקרה ובעידן הגיאולוגי שבו אנו חיים מרוכזת רוב מסת האדמה על כדור הארץ בקווי הרוחב הצפוניים ואף הצפוניים הגבוהים. מסיבה זו מגדיל היטל מרקטור באופן מלאכותי את אירופה, צפון אסיה וצפון אמריקה ביחס לאפריקה, וכן לדרום ולמרכז אמריקה, הסמוכות יותר לקו המשווה.

בעשורים האחרונים החלו אף לצוץ תיאוריות קונספירציה על כך שמדינות המערב הקולוניאליסטיות, הצפוניות יותר, בחרו להשתמש בהיטל זה בדיוק מכיוון שהוא מראה אותן כגדולות יותר ביחס לקולוניות שלהן, המשווניות יותר. לפופולריות של קו מחשבה זה תרם קמפיין תקשורתי ופוליטי מעורר מחלוקת של איש תקשורת וקולנוען גרמני בשם ארנו פיטרס (Peters). פיטרס החל בשנות השבעים של המאה העשרים לטעון שההיטל שהוא עצמו פיתח הוא הפתרון, מאחר והוא "ההיטל שווה-השטח היחיד", שגם "אין בו כל עיוותים" והוא "קונפורמי לחלוטין". מאחר שלהיטל שלו יש רק יתרונות, טען פיטרס, הרי שהסיבה לדחייתו היא ככל הנראה אינטרסים סמויים. 

בפועל, הצהרותיו אלו של פיטרס אודות ההיטל שהציע היו שנויות במחלוקת, בלשון המעטה: הוא אכן שווה שטח, אך כמוהו גם היטלים רבים אחרים; הוא אינו קונפורמי לחלוטין; והוא מעוות מאד את צורתן של מדינות שאינן בקווי רוחב מתונים, גם אם הוא שומר על שטחן. ראו למשל את צורתיהן של גרינלנד ושל אוסטרליה במפה למטה, ואף את דרום אמריקה או אפריקה המשווניות יחסית. בניגוד לטענותיו, פיטרס גם כלל לא המציא את ההיטל המדובר. למעשה, קרטוגרף סקוטי בשם ג'יימס גאל (Gall) שירטט אותו, הציג אותו בהרצאותיו ואף פרסם אודותיו מאמר כבר בשנת 1885.

איור 17: לא לחלוטין קונפורמי, ומעוות מאוד צורה של מדינות מסוימות. היטל גאל-פיטרס | ויקיפדיה, Strebe

טענותיו של פיטרס נחתו על קרקע פוריה כי חסרונותיו של היטל מרקטור אכן ברורים. חסרונות אלה נדונו רבות בקהילה הקרטוגרפית, הרבה לפני פיטרס, והובילו במהלך השנים לפיתוח לא מעט חלופות שכמה מהן אף הראנו כאן. לא היה צורך בהכנסת מזימות קולוניאליסטיות לתמונה, אבל כאז כן היום, קשה להשמיע את קולה של מציאות מורכבת  מול נרטיב שחור-לבן שמגובה בתעמולה אינטנסיבית, בפגישות עם פוליטיקאים וארגונים, ובמסרים שמצליחים להיכנס אפילו לסדרת הטלוויזיה "הבית הלבן" (The West Wing) שהיתה פופולרית מאוד. פיטרס נחל הצלחה מסוימת בקידום ההיטל "שלו" בארגונים דוגמת איגוד הכנסיות של ארצות הברית, ובתי ספר בבריטניה ובכמה ממדינות ארצות הברית אף החליפו את המפות בחומר הלימוד להיטל הידוע כיום כ"גאל-פיטרס". עם זאת, ברבות השנים הוא הפך בעיקר לאנקדוטה היסטורית, גם אם טעונה.

עוד לפני פיטרס החלה ירידתו של היטל מרקטור מגדולתו ההיסטורית. הסיבה שבעטיה הוא הפך לשימושי כל כך מהמאה ה-16 ואילך הייתה הקונפורמיות שלו, שימור הזוויות. מפה בהיטל כזה איפשרה לנווטים לשמור על כיוון מצפן קבוע לכל אורך הדרך ולהפליג לאורך לוקסודרום. זה היה יתרון גדול בעולם שקשה לנווט בו, אבל לאורך חציה השני של המאה העשרים, השיפור באמצעי הניווט כבר הפך את הצורך בכך למיותר. מדוע לנוע לאורך לוקסודרומים לא יעילים, אם אפשר לנווט לאורך קווים קצרים יותר? הוצאות לאור עברו בהדרגה להשתמש בהיטלים אחרים באטלסים שלהן, וגופים כמו החברה הגיאוגרפית, מכוני מחקר, מוסדות לימוד, סוכנויות של האו"ם ועוד עברו כולן להשתמש בהיטלים שימושיים יותר עבורן. היה נראה שההיטל הקשיש, שחגג כבר את יום הולדתו ה-450, בדרכו החוצה. בתחילת האלף הנוכחי הוא עדיין היה נפוץ למדי (משרד החינוך הישראלי משתמש בו עד עצם היום הזה), אך מגמת הירידה הייתה ברורה. 

איור 18: שמר על הזוויות, בלי שיקולים פוליטיים. גרארדוס מרקטור, 1594-1512 | ויקיפדיה, MichaelSchoenitzer

והנה, ב-17 השנים האחרונות התהפך הגורל, והיטל מרקטור שב וחזר להיות דומיננטי יותר מאי פעם, בכל העולם. רובנו, למעשה, משתמשים בו מדי יום בלי לדעת זאת.

המהפך אירע בשנת 2005, כאשר חברת גוגל אימצה אותו עבור יישום Google Maps שקנתה שנה קודם לכן. היישום הפך להיות פופולרי במהירות רבה, וכך גם המתחרים שקמו לו אימצו כולם את ההיטל שבו הוא עשה שימוש. מרקטור מתאים ליישומי מפות מקומיות ככפפה ליד, בגלל שימור הצורות והזוויות. עיוותי השטח המאפיינים את ההיטל במפות בקנה מידה גדול אינם באים לידי ביטוי כל עוד המפה היא ברמת הרחוב והעיר, שהוא קנה המידה שבו פועלות בדרך כלל אפליקציות ניווט. 

בשנת 2018 עדכנה חברת גוגל את היישום, ואיפשרה הקטנה ניכרת (זום אאוט) של קנה המידה, כאשר המפה משתנה אז מהיטל מרקטור להדמיה תלת ממדית של גלובוס, כדי למנוע עיוות בקווי הרוחב הגבוהים. כך אפשר להתרחק מהמפה עד כדי צפייה בכדור הארץ השלם. 

גרארדוס מרקטור היה מתקשה כנראה לדמיין בשנת 1569 את אזרחי העתיד אוחזים במפה שמאפשרת שינוי דינמי של קנה המידה, מרמת הבית היחיד עד לרמת כוכב הלכת כולו. סביר גם שהוא לא שיער שהשפעתן של המפות שהכין תהיה כה גדולה, עד ש-450 שנה אחרי מותו הן עדיין יגרמו לרבים לחשוב שמניו יורק ניתן להפליג בקו ישר לאירופה, אך לאוסטרליה – לא.

צוות הבית הלבן מגלה שהעולם לא נראה כמו שחשבו. קטע מהסדרה "הבית הלבן":