הטריגונומטריה שהקדימה את זמנה

כיום אנו יכולים להשתמש במחשבון כדי לחשב את אורכה של צלע במשולש ישר זווית, בהינתן שתי הצלעות האחרות. המבוגרים שבינינו יכולים עוד לזכור את התקופה שבה עשו חישובים כאלה בעזרת טבלאות טריגונומטריות, כלומר על ידי מציאת הערך הקרוב ביותר בטבלה ועל ידי כך קבלת תוצאה מקורבת (גם כן מהטבלה). חוקרים מאוניברסיטת ניו סאות' וויילס שבאוסטרליה שחקרו טבלת חרס בת כ-3700 שנה הגיעו למסקנה שזו ככל הנראה, הטבלה הטריגונומטרית העתיקה והמדויקת ביותר שנכתבה אי פעם.

הטבלה פלימפטון 322 (על שם האדם שקנה אותה ב-1922), שמקורה ככל הידוע בעיר השומרית העתיקה לארסה, בקרבת המפרץ הפרסי, מתוארכת בין 1762 ל-1822 לפני הספירה, בסביבות זמנו של חמורבי. היא מכילה 4 עמודות ו15 שורות עם מספרים בבסיס 60.

מהו בסיס 60? כפי שבבסיס 10 כל ספרה מייצגת חזקה של 10, אצל הבבלים העתיקים כל ספרה ייצגה חזקה של 60. לדוגמה:

 השיטה העשרונית שרדה מסיבות היסטוריות, מאחר שההשפעה היוונית על המתמטיקה הייתה יותר חזקה, אך בכל זאת נשארו לנו שרידים מהספירה הבבלית, למשל 60 שניות בדקה, 60 דקות בשעה ו-360 מעלות במעגל.

על בסיס 60. לוח המספרים הבבלי | מקור: ויקיפדיה, Josell7

מאז 1945 ועד היום הייתה הדעה הרווחת בקרב המדענים כי טבלה זו נועדה לצרכי הוראה של הבבלים העתיקים. אך פלימפטון 322 מכילה שורות של שלשות פיתגוריות לא פשוטות (שלשה פיתגורית היא קבוצה של שלושה מספרים המייצגים את גודל צלעותיו של משולש ישר זווית אפשרי כלשהו). העובדה כי מדובר בשלשות מסובכות של מספרים, הייתה הטיעון המרכזי של החוקרים נגד הדעה הרווחת על היותה של הטבלה כלי הוראה ותו לא. לטענתם, זו טבלה טריגונומטרית שהקדימה מאוד את מועד הולדתה המשוער של הטריגונומטריה, כפי שהעריכו אותו עד כה.

לא בטל בששים

כדי לשנות את התפיסה המקובלת היה על החוקרים לאמץ שתי מוסכמות של התקופה הבבלית העתיקה. האחת היא ההתייחסות למשולשים ישרי זווית, ללא מושג הזווית, אלא כ"משולש הבנוי מצלעותיו ואלכסונו של מלבן". למעשה, החוקרים כלל אינם בטוחים אם הטבלה עוסקת במשולשים ישרי זווית או שמא היא עוסקת במלבנים. המוסכמה השנייה היא כמובן הספירה בבסיס 60.

בסיס ספירה זה מאפשר קבלת יחסים (חלוקה בין שני מספרים) באופן מדויק יותר, מאחר שהמספר 60 מתחלק בלי שארית בעשרה מספרים שונים, בעוד 10 מתחלק רק ב-2 וב-5. מאחר ושברים הם בעצם חילוק בחזקה של בסיס הספירה (חצי הוא חמש עשיריות, שליש הוא 3 עשיריות ועוד 3 מאיות ועוד 3 אלפיות ועוד....), השברים המתקבלים בבסיס 60 מדויקים יותר. למשל שליש הוא 20/60, ללא צורך לחבר סדרה אינסופית של שברים. לכן, בעוד הטבלה הבבלית מכילה אך ורק מספרים שלמים בבסיס 60, אם נרצה לתרגם אותה במדויק לבסיס עשרוני נקבל שברים עשרוניים וניאלץ להחליט עד איזו ספרה אחרי הנקודה ברצוננו לדייק.

החוקרים האוסטרלים הראו כי אם מתייחסים אל פלימפטון 322 כאל טבלה טריגונומטרית, התוצאות המתקבלות מדויקות יותר אפילו מטבלאות שנכתבו יותר מ-3000 שנה אחר כך, כאשר כבר התבסס מושג הזווית ואף היו ידועות הפונקציות הטריגונומטריות כמו סינוס, קוסינוס וטנגנס. אם נכונה מסקנתם של החוקרים, הרי שהולדתה של הטריגונומטריה התרחשה בבבל העתיקה כ-1500 שנה לפני היפרקוס, האסטרונום היווני שחי במאה השנייה לפני הספירה ונחשב, עד היום, לאבי הטריגונומטריה.