האיש שגילה שאיינשטיין
הוא כובע

ארבעה מתמטיקאים, מארצות הברית, אנגליה וקנדה, שניים מהם מתמטיקאים ״חובבים״, גילו ריצוף מיוחד במינו שהחיפוש אחריו ארך למעלה מ-60 שנה. הריצוף שגילו מכונה ״ריצוף איינשטיין בצורת כובע״ ובקיצור ״ריצוף כובע״ (The hat monotile), וייחודו בכך שמדובר במרצפת אחת בעלת 13 צלעות שיכולה לרצף מישור אינסופי באופן לא מחזורי, כלומר בצורה איננה חוזרת על עצמה. הכינוי ניתן לה בשל צורתה הדומה לכובע וכקריצה לעבר הצירוף בגרמנית ein Stein (איין-שטיין) שפירושו אבן אחת, וללא קשר לפיזיקאי הדגול אלברט איינשטיין.

כל ארבעת המתמטיקאים עוסקים במה שמכונה ״מתמטיקה יצירתית״ (Recreational mathematics), העוסקת בין השאר בקשר שבין מתמטיקה, מדעי המחשב ואמנות. הארבעה, קרייג קפלן (Kaplan), פרופסור למתמטיקה מאוניברסיטת ווטרלו שבקנדה; חיים גודמן-שטראוס (Goodman-Strauss), פסל ופרופסור למתמטיקה באוניברסיטת ארקנסו בארצות הברית; ג׳וזף סמואל מאיירס (Samuel Myers) ודייוויד סמית׳ (Smith), שניהם מתמטיקאים יצירתיים עצמאיים, פרסמו את ההוכחה שלהם לריצוף הכובע במאמר בן 89 עמודים ובתוכו 57 איורים שטרם פורסם אבל הועלה לאתר arXiv, אתר המאפשר לחוקרים ולמדענים מכל העולם לפרסם מאמרים מדעיים ולשתף אותם עם הקהילה המדעית בצורה מהירה ויעילה לפני פרסומם הרשמי. אף שהעבודה טרם עברה ביקורת עמיתים, המומחים בתחום מעריכים כי התוצאות יעמדו במבחן. 

"זהו מצולע מפתיע בפשטותו. לפני הגילוי הזה, אילו נשאלתי איך ייראה ריצוף איינשטיין, הייתי מצייר משהו משוגע, מקושקש ונוראי", אמר גודמן-שטראוס, אחד מארבעת כותבי המאמר. 

מרצפת "איינשטיין בצורת כובע" בודדת | מקור: מקור:  Kaplan, Goodman-Strauss, Smith and Myers, CC BY-SA 4.0

הבעיה: ריצוף המישור האינסופי 

בעיית ריצוף המישור האינסופי היא בעיה ישנה נושנה במתמטיקה ששורשיה ביוון העתיקה. מדובר בחיפוש קבוצה סופית של מרצפות אשר יכולות לרצף מישור אינסופי מבלי להשאיר רווחים ביניהן ומבלי שהמרצפות יעלו האחת על השנייה. כולנו מכירים לפחות ריצוף אחד כזה: המרצפת הריבועית שמשתמשים בה כמעט בכל בית. מרצפת זו יוצרת תבנית מחזורית, כלומר תבנית החוזרת על עצמה שוב ושוב באותה צורה. אפשר לרצף את המישור באמצעות הרבה סוגים של מצולעים. מתמטיקאים הוכיחו שאם למצולע יש שלוש או ארבע צלעות - כלומר, אם הוא משולש או מרובע - תמיד אפשר לרצף באמצעותו את המישור. גם מחומשים ומשושים מסוימים יכולים לרצף את המישור וכך גם מצולעים עם מספר גדול יותר של צלעות. גם שילובים של כמה סוגי מצולעים, למשל ריבוע ומשולש, יכולים לרצף את המישור.

ריצוף מחזורי פשוט. ריצוף ריבועים | מקור: Tomruen, Wikimedia, CC BY-SA 4.0

ריצוף מחזורי של משולש וריבוע | מקור: Tomruen, Wikimedia, CC BY-SA 4.0  

האם אפשר לרצף ריצוף לא-מחזורי?

עד המאה ה-20 ההנחה המקובלת הייתה שאפשר לרצף את המישור רק באופן מחזורי, כלומר שאפשר לכסות את המישור על ידי כך שנרצף אזור סופי, ואז נשכפל אותו, ונצמיד אזור משוכפל לאזור משוכפל כך שתתקבל אותה תבנית שוב ושוב. הריצוף הריבועי המקובל הוא העתקה כזו של מרצפת ריבועית אחת.  בריצוף של ריבוע ומשולש מדובר בהעתקה של אזור של ריבוע אחד ומשולש אחד.

בשנות השישים של המאה ה-20 החלו מתמטיקאים לחפש ולמצוא סטים של מצולעים שמרצפים את המישור בצורה שאינה מחזורית. רוב הריצופים שנמצאו הורכבו ממספר רב של צורות, אולם בשנת 1974 גילה המתמטיקאי והפיזיקאי הבריטי, לימים חתן פרס נובל בפיזיקה, רוג׳ר פנרוז (Penrose) ריצוף לא-מחזורי שמורכב ממרצפות בשתי צורות בלבד. צורות אלה מרצפות מישור אינסופי, כלומר, אין אף אזור בריצוף שניתן לשכפל ואז להצמיד את האזורים המשוכפלים זה לצד זה כך שייווצר ריצוף אינסופי. תגליתו של פנרוז הכתה גלים הרבה מעבר לעולם המתמטי, בשל פשטות הריצוף ויופיו. יתרה מכך, בשנת 1984 גילה הכימאי הישראלי דן שכטמן מהטכניון שקיימים בטבע גבישים לא-מחזוריים, תגלית שזיכתה אותו בפרס נובל בכימיה בשנת 2011.

הריצוף הלא-מחזורי הראשון שהתגלה. ריצוף פנרוז | מקור: Inductiveload, ויקיפדיה, נחלת הכלל 

כל הריצופים הלא-מחזוריים שהתגלו מאז מורכבים מלפחות שתי מרצפות שונות זו מזו. לא היה ידוע אם בכלל קיים ריצוף שכזה עם מרצפת בודדת ומתמטיקאים רבים חיפשו בקדחתנות תשובה לשאלה הגדולה. בחודש שעבר החיפוש הסתיים עם מציאת ״ריצוף איינשטיין בצורת כובע״. התגלית התאפשרה בזכות שילוב של חיפוש ממוחשב וחיפוש ידני, והיא הושלמה בהוכחה גיאומטרית מפורטת. ברוחב לב, המתמטיקאים העלו באתר שלהם דוגמאות ויצירות של ה"איינשטיין בצורת כובע" לשימוש הציבור, והן כבר מצאו את דרכן החוצה לעולמות אחרים כריצוף העשוי מכובעים וחולצות!

ריצוף של מרצפות "איינשטיין בצורת כובע" המכיל מצולעים שמורכבים משמונה צורות עפיפון קטנות יותר | מקור:  Kaplan, Goodman-Strauss, Smith and Myers, CC BY-SA 4.0

גרסת אנימציית גיף של הריצוף | מקור: Kaplan, Goodman-Strauss, Smith and Myers, CC BY-SA 4.0