כי לנו צ'יוויטה את
התורה הזאת

אח, איטליה. ריח הבזיליקום והעגבניות נישא באוויר, קטנועי וספה מזמזמים ברחובות ומרחוק – קול פעמונים של כנסיות. ארץ המגף, ערש המפגש בין מזרח למערב.

לצד ההתרחשויות התרבותיות שליוו כברת ארץ זו מאז תחילת הרנסנס, אירעו בה כמה מהפכות מדעיות בהנהגתם של ענקי רוח, בהם ג'ורדנו ברונו, שהכנסייה הקתולית העלתה על המוקד, לאונרדו דה וינצ'י, שהביטוי "איש אשכולות" קטן על מידותיו, וכמובן גלילאו גליליי, שרבות כבר נכתב עליו. על תרומתה של יהדות איטליה בזירה המדעית יודעים מעטים. באחת הכתבות הקודמות הפנינו זרקור לג'וליו, הוא יואל רקח. כעת הגיע זמנו של טוליו – טוליו לוי-צ'יוויטה.

טוליו לוי-צ'יוויטה (Levi-Civita) נולד בפדובה. אביו ג'קומו היה עורך דין וסנטור. את כישורי הלמידה המצוינים שלו הוכיח טוליו, כמו כל הגאונים הרגילים, עוד בימי בית הספר. בגיל 17 הוא נרשם ללימודי מתמטיקה באוניברסיטה בעירו, שם למד מפי גדולי המתמטיקאים האיטלקים של מפנה המאה העשרים: ג'וזפה ורונזה (Veronese) וגרגוריו ריצ'י-קורבסטרו (Ricci-Curbastro). האחרון הפך עד מהרה למנחה שלו בלימודיו המתקדמים.

ב-1894 הוא קיבל תעודת הוראה במתמטיקה, שאפשרה לו להתקבל כמרצה בסמינר למורים בעיר פאביה. אחרי ארבע שנים התפנתה משרת ראש המחלקה למכניקה קלאסית בפדובה, ולוי-צ'יוויטה התמנה אליה. באותה תקופה עמל ריצ'י-קורבסטרו על פיתוח תיאוריה חדשה, שלוי-צ'יוויטה כבר השתמש בה בעבודת התזה שלו – גיאומטריה דיפרנציאלית אבסולוטית. התיאוריה הזו עסקה בין היתר באינווריאנטים, שהם תכונות של אובייקטים שנשארות קבועות גם כשמשנים את האובייקט תחת כללים מסוימים. למשל סכום הזוויות של משולש יישאר 180 מעלות גם אם נכפיל את האורך של כל אחת מצלעותיו. כך הם פיתחו יסודות מתמטיים שחקרו ברנהרד רימן (Riemann), רודולף ליפשיץ (Lipschitz) ואלווין ברונו כריסטופל (Christoffel). 

בשנת 1900 נפגש לוי-צ'יוויטה עם פליקס קליין, המתמטיקאי והעורך של כתב העת "כתבים מתמטיים" בגרמנית (Mathematische Annalen). קליין הפציר בלוי-צ'יוויטה לפרסם את הממצאים שלו ושל מורו בכתב העת. כך פרסמו המורה ותלמידו חיבור ראשון ומקיף בנושא ראשית הצירים בתחום הטנזורים – הגודל העיקרי והרלוונטי ביותר לדיון בתחום הגיאומטריה הדיפרנציאלית.

טוליו לוי-צ'יוויטה בצעירותו | מקור: Science Photo Library

החלק החסר בפאזל היחסות

טנזור בפיזיקה הוא מערך רב-ממדי של מספרים המייצגים גודל פיזיקלי שמשתנה כשהקואורדינטות שלו משתנות. מה העוגן, נקודת ההתחלה של המערך הזה, שרשרת המספרים הזו? פשוט מספר, ובשפת המתמטיקה – טנזור מסדר 0, שלפעמים נקרא גם סְקָלָר. סקלר הוא גודל פיזיקלי חד ממדי, כלומר גודל שהוא מספר יחיד. לסקלר אין כיוון, אלא גודל בלבד. סקלר יכול להיות יחידת זמן, אנרגיה, מסה, נפח, צפיפות או טמפרטורה. כל הסיפור הזה נותן לנו כלי מתמטי שבהקשרים מסוימים נוח להשתמש בו כדי לייצג פעולות מתמטיות מורכבות.

מדוע צריך טנזורים? את השאלה "מדוע צריך" יש להפנות בדרך כלל לפיזיקאים ומהנדסים. לוי-צ'יוויטה התעניין מאוד בפיזיקה וביישומים מעשיים של תיאוריה מתמטית, עד כדי כך שיהיה נכון להגדירו כפיזיקאי לכל דבר ועניין. עוד בלימודיו המתקדמים, ובמשך עשרות השנים הבאות, הוא חקר את בעיית שלושת הגופים – בעיה שמתארת יחסי כבידה של שלושה כוכבים ושאין לה פתרון אנליטי. על עבודותיו אלה זכה להערכה עצומה אפילו מהמתמטיקאי האמריקאי דיוויד בירקהוף (Birkhoff), שלא נודע בחיבתו היתרה ליהודים.

חקר במשך עשרות שנים בעיה המתארת יחסי כבידה של שלושה כוכבים. אנימציה של בעיית שלושת הגופים | מקור: ויקיפדיה, נחלת הכלל 

 יישומי הגיאומטריה הדיפרנציאלית

יישומי הגיאומטריה הדיפרנציאלית החלו לצוץ כפטריות אחרי הגשם. אחרי שלוי-צ'יוויטה פרסם את החיבור המכונן בנושא, המתמטיקאי הגרמני הרמן וייל (Weyl) השתמש בעבודותיו כדי לגבש תורה שמאחדת בין אלקטרומגנטיות וכבידה. אחרי שנים מעטות נתקל גם אלברט איינשטיין בעבודות של לוי-צ'יוויטה.

איינשטיין הצעיר כבר היה חתום על תורת היחסות הפרטית, כששיחה עם עמיתו מרסל גרוסמן (Grossmann) שלחה אותו לעיון מעמיק ובלתי מתפשר בכתביו של האיטלקי. באותן שנים, ראשית העשור השני של המאה העשרים, הוא פיתח את תורת היחסות הכללית, ונתקל במבוי סתום שלא אפשר לו לכתוב בנוסחה אחת את התנהגותו של שדה הכבידה.

ב-1915 החל הקרח להיסדק. הפיצוח הגיע לבסוף כשאיינשטיין הבין כי קיים קשר מהותי בין כבידה וטנזורים, וכי רק בשפת הטנזורים יוכל להגיע לנוסחה המיוחלת, שתיקרא לימים "משוואת השדה של איינשטיין". תאמינו או לא, התברר שהיו לו גם כמה טעויות בדרך, ולוי-צ'יוויטה, שהבחין בהן, ניהל חליפת מכתבים חמה עם הפיזיקאי הדגול, שנאלץ לבצע תיקונים קלים בתיאוריה.

"התכתבות כל כך מעניינת לא חוויתי מימיי", ציין איינשטיין. "אתה חייב לראות עד כמה אני שמח לקבל את מכתביך". בהזדמנות אחרת כתב, "משוואות הכבידה הן ניצחון מובהק של השיטות המתמטיות מבית היוצר של ריצ'י-קורבסטרו". לוי-צ'יוויטה ראה את עמלו מגיע למימוש פיזיקלי, ואף כתב שורה של מאמרים על יחסות כללית, אם כי חלף זמן עד שהתיאוריה הזאת נקלטה בקהילת הפיזיקאים באיטליה, שרק מעטים מהם עסקו בפיזיקה תיאורטית. לימים, כשאיינשטיין נשאל מה הוא אוהב באיטליה, הוא השיב בחן, "את הספגטי ואת לוי-צ'יוויטה".

לוי-צ'יוויטה חקר גם יציבות של משוואות דיפרנציאליות ואת מכניקת הזורמים – נושאים שמצויים אף הם תחת קורת הגג הפיזיקלית. עניינו בנושאים אלה מובן, כי הם מתחברים בצורה ישירה לטנזורים, וכן למכניקה קלאסית, שבה עסק משחר מלאכתו המדעית.

תרומה נוספת ובלתי נשכחת של לוי-צ'יוויטה בתחום שהפך למפעל חייו, היא הטנזור שנקרא על שמו – סימן לוי-צ'יוויטה. זהו טנזור מדרגה שלישית, כלומר אפשר לחשוב עליו כמגירה שיש בה שלוש מטריצות ובכל אחת תשעה מספרים – הרכב של שלוש הספרות: אחת, אפס ומינוס אחת. הטנזור הזה מייצג בצורה קומפקטית את הפעולה שנעשית על שני וקטורים – גדלים בעלי כיוון – ומכונה "מכפלה וקטורית". זו קיימת למשל בחישוב תנע זוויתי, הגודל שמייצג את מידת הסיבוביות של תנועה מסוימת, ומשמעותה הגיאומטרית, שהיא נפח המקבילון שבין שני וקטורים.

מסקלר דרך וקטור ומטריקס ועד טנזור מסדר שני | zizou7, Shutterstock

שירת הברבור

ב-1918 עבר לוי-צ'יוויטה מפדובה לאוניברסיטת רומא, ובה שימש כראש המחלקה למכניקה קלאסית. הוא קיבל הכרה מהחברה המלכותית הבריטית שהעניקה לו את מדליית סילבסטר, עיטור גבוה בתחום המתמטיקה, ואחרי כמה שנים בחרה בו בתור חבר חוץ. 

שנות ה-30 סימנו את שירת הברבור של הקריירה המדעית של לוי-צ'יוויטה. ב-1931 פרסם ספר הדן בתורת קושי-קובלבסקיה (Cauchy–Kowalevski), תת-תחום בחקר המשוואות הדיפרנציאליות, ואחרי שנתיים זכה לסייע לפיזיקאי פול דיראק (Dirac) בפיתוח משוואת דיראק, העומדת בלב מכניקת הקוונטים היחסותית.

ב-1936 הוזמן לוי-צ'יוויטה לאוניברסיטת פרינסטון, שם היה אורחו של איינשטיין, ידידו משכבר הימים. אחרי כשנה שב למולדתו, אלא שבאותה העת השמיים התקדרו מעל יהודי איטליה. חוקי הגזע שהוחלו תחת משטרו הפשיסטי של בניטו מוסוליני לדרישת בעלת בריתו, גרמניה הנאצית, הביאו לפיטוריהם המיידיים של המדענים היהודים בכל האוניברסיטאות האיטלקיות.

יואל רקח עזב בזמן ועלה לארץ ישראל. בן דודו הפיזיקאי אוגו פאנו (Fano) עזב לאמריקה. סלבדור לוריא (Lurie) עזב לצרפת וריטה לוי-מונטלצ'יני (Levi-Montalcini) – לבלגיה. גם מדענים שאינם יהודים נאלצו לצאת לגלות זמנית או קבועה, בהם אנריקו פרמי (Fermi) ויוג'ין פוביני (Fubini). לוי-צ'יוויטה החליט להישאר, ואף הצליח בכוחו הדל לסייע ולשלוח מכתבי המלצה עבור חבריו ותלמידיו שעזבו וניסו למצוא את מקומם הרחק מההתרחשויות המדממות.

בספטמבר 1941, כשהוא מנודה ומרוחק מההתרחשויות האקדמיות והמדעיות, נפטר טוליו לוי-צ'יוויטה אחרי מחלת לב ממושכת. הלב היהודי, הלב המדעי שלו, לא עמד לו עוד ונדם. הוא הותיר אחריו את רעייתו ותלמידתו לשעבר, ליברה לבית טרביסאני (Trevisani), ילידת ורונה שהייתה צעירה ממנו ב-17 שנה והלכה לעולמה ב-1973. לשניים לא היו ילדים, אך בתום המלחמה אימצה ליברה את היתומה סוזנה זילברשטיין, שנפטרה לפני שנים אחדות.