האם זה המספר שלך?

ציוד

• דף נייר

• כלי כתיבה

• מעטפה

• כיסוי עיניים

הניסוי

את מהלך הניסוי אפשר לראות בסרטון שלנו:

הסבר

לתעלול שראינו יש שני חלקים: בחלק הראשון, האדם שאת מחשבותיו אנחנו "קוראים" בוחר מספר בעל שתי ספרות שונות, הופך את סדר הספרות ומקבל מספר חדש: נכנה אותו מספר מַרְאָה. לאחר מכן הוא לוקח את שני המספרים ומחסר את המספר הקטן מהמספר הגדול. בחלק השני, הוא מסתכל על תוצאת החיסור, מחבר את ספרות התוצאה ומקבל סִפְרה יחידה. הסִפְרה הזאת היא בהכרח 9. לשני החלקים האלה יש הסברים נפרדים, הקשורים שניהם לתכונות של מספרים.

בחלק הראשון מחסרים מהמספר המקורי מספר שהוא היפוך הספרות שלו. במקרה כזה, לא משנה איזה מספר מקורי נבחר, תוצאת החיסור תהיה כפולה של תשע, כלומר אם נחלק את התוצאה בתשע נקבל מספר שלם ללא שארית. לדוגמה, אם בחרנו ב-83, היפוכו יהיה 38. כשנחסר ביניהם נקבל את התרגיל 45=83-38. המספר 45 הוא כפולה של תשע, מכיוון ש: 45=9*5. זה נכון גם למספרים תלת-ספרתיים, ובעצם לכל מספר עם כמה ספרות שרק נרצה. תוצאת החיסור בין מספר למספר המַרְאָה (היפוך הספרות) שלו תמיד תהיה כפולה של תשע.

תוצאת החיסור בין מספר למספר המַרְאָה שלו תמיד תהיה כפולה של תשע. קוביות עם מספרים ותמונתן במראה | Photo Researchers, Science Photo Library

1. חיסור מספרי מַרְאָה

כדי להבין מדוע זה כך, נשתמש בדוגמה של מספר ארבע-ספרתי, למשל 8,524. ההיפוך שלו יהיה 4,258. תוצאת החיסור ביניהם תהיה 4,266=8,524-4,258. התוצאה שהתקבלה אכן מתחלקת בתשע ללא שארית (4,266=9*474). אם נכתוב את אותו תרגיל בצורה קצת שונה נוכל להבין מדוע חיסור של מספרי מַרְאָה יניב תמיד מספר שהוא כפולה של תשע:

אפשר לבטא את המספר 8,524 גם כחיבור של שמונה אלפים, חמש מאות, שתי עשרות וארבע יחידות:

8*1,000 + 5*100 + 2*10 + 4*1 = 8,524

גם את המספר 4,258 אפשר לבטא בצורה דומה, כחיבור של ארבעה אלפים, שתי מאות, חמש עשרות ושמונה יחידות:

4*1,000+ 2*100 + 5*10 +8*1 = 4,258

כשנחסר את 4,258 מ-8,524 נקבל את התרגיל:

(8*1,000 + 5*100 + 2*10 + 4*1) - (4*1,000+ 2*100 + 5*10 +8*1)

או, אם נסדר אותו קצת אחרת:

8*1000 - 8*1 + 5*100 - 5*10 + 2*10 - 2*100 + 4*1 - 4*1,000

כשנוציא את הספרות 8, 5, 2 ו-4 אל מחוץ לסוגריים, נקבל:

8*(1,000-1) + 5*(100-10) + 2*(10-100) + 4*(1-1,000)

וכשנמשיך לפתור, נקבל:

(8*999) + (5*90) + (2*-90) + (4*-999) = 4,266

כל המספרים המודגשים הם כפולות של תשע, ושאר התרגיל הוא פשוט חיבור של כפולות המספרים המודגשים.

כשמחברים כפולות של תשע, וכך גם כשמכפילים כפולות של תשע, נשארים בסוף עם כפולה של תשע. הרכב הספרות של המספר המקורי (8, 5, 2, 4) לא משנה שום דבר. פעולת ההיפוך והחיסור תשאיר אותנו עם מספר שמתחלק בתשע ללא שארית – במקרה הזה 4,266. כל המספרים שאנו מכירים בנויים באותה צורה: יחידות, עשרות, מאות, אלפים וכו'. לכן בחיסור של מספרי מַרְאָה תמיד נקבל מספר שמתחלק בתשע: חלק בלתי נפרד מהתרגיל יהיה תמיד לחסר עשר ממאה (90), או אחד מאלף (999), או אחד מעשרת אלפים (9,999) וכן הלאה.

כשמחברים או מכפילים כפולות של תשע, נשארים בסוף עם כפולה של תשע. אדם מרים אבן שעליה הספרה תשע | Shutterstock, Iryna Imago

2. סכום הספרות

בחלק השני של התעלול שלנו אנו סוכמים את הספרות שהתקבלו מחיסור מספרי המַרְאָה. אחת התכונות של מספרים שהם כפולות של תשע היא שסכום הספרות שלהם הוא תמיד כפולה של תשע. למשל 27 הוא כפולה של תשע (27=3*9) וסכום הספרות של 27 הוא 9=2+7. אם סכום הספרות הוא עדיין מספר דו-ספרתי או למעלה מזה, נוכל לחזור ולחבר את כל הספרות שלו שוב ושוב, עד שנקבל ספרה אחת ויחידה.

ניקח לדוגמה את המספר התלת-ספרתי 189, שהוא כפולה של תשע (189=9*21). סכום הספרות של 189 הוא 18=1+8+9, שהוא פעמיים תשע. הפעם נותרנו עם מספר של שתי ספרות (8, 1). נחבר אותן ונקבל את המספר החד-ספרתי 9, כי 9=1+8.

מדוע בכל המספרים שהם כפולות של תשע, סכום הספרות יהיה גם הוא כפולה של תשע? יש לכך סיבה. ניקח את המספר החיובי הקטן ביותר שמתחלק בתשע: תשע עצמו. כדי להגיע למספר הבא שמתחלק בתשע, אנחנו מוסיפים תשע, או במילים אחרות: עשר פחות אחת. כלומר, אנחנו מגדילים את ספרת העשרות באחת, במקרה זה מאפס לאחת, ומקטינים את ספרת האחדות באחת, מתשע לשמונה, כדי לקבל 18. סכום הספרות הכולל, אם כך, לא השתנה. כך קורה בכל פעם שאנחנו מוסיפים תשע עד למספר 90: אנחנו מוסיפים אחת לספרת העשרות, ומורידים אחת מספרת האחדות. 

יש גם הסבר כללי יותר. ניקח שוב כדוגמה את 27, שהוא כפולה של תשע (27=3*9) וסכום הספרות שלו הוא 2+7=9. המספר 27 מורכב משתי עשרות ושבע יחידות:

(2*10) + (7*1) = 27

אפשר לחשוב על 27 גם כמספר שמורכב מעשר פעמים 2, ופעם אחת 7. אפשר גם לומר שבמקום עשר פעמים 2, המספר 27 מורכב מתשע פעמים 2, עוד פעם אחת 2 (סה"כ עשר פעמים 2), ועוד 7:

(9*2) + (1*2) + (7*1) = 27

או בצורה קצת יותר ברורה:

(9*2) + 2 + 7 = 27

כך יוצא שהאיבר שבתוך הסוגריים מתחלק בהכרח בתשע, ומכיוון שידוע שהמספר 27 עצמו מתחלק בתשע, כל מה שנותר מחוץ לסוגריים (כלומר הסכום של 2 ו-7) חייב גם כן להתחלק בתשע. המספר היחיד שהוא גם חד-ספרתי וגם מתחלק בתשע – הוא 9, ולכן בסוף תהליך הסכימה נגיע תמיד לתשע בדיוק. מכיוון שהמספרים שאנחנו משתמשים בהם בנויים על בסיס 10 (יחידות, עשרות, מאות: כולם כפולות של 10), אפשר תמיד להוציא 9, או 90, או 900 וכן הלאה, ולפצל את המספר לכפולות של תשע, כך שרק הספרות המרכיבות את המספר יישארו מחוץ לסוגריים. הספרות הללו חייבות להסתכם בסוף לתשע, מכיוון שידוע שהמספר הוא כפולה של תשע.

כלומר, שני התנאים, שהם שני השלבים של התעלול שלנו, מחייבים שתוצאת התרגיל תהיה 9.

כעת תוכלו להכין מראש מעטפה אטומה ובתוכה פתק שכתוב עליו 9, לבקש ממישהו מחבריכם או בני משפחתכם לחשוב על מספר עם כמה ספרות שתבחרו, ולהדריך אותו לאורך שני השלבים. כך, גם בעיניים עצומות תדעו מראש שתוצאת החישוב היא 9. רק אל תחזרו על התעלול יותר מדי פעמים, אחרת הם יתחילו בשלב מסוים לחשוד שהתוצאה היא תמיד אותה תוצאה.