קסם מתמטי במספרים תלת-ספרתיים

הניסוי הזה הוא סוג של קסם מתמטי. מומלץ לבצע את הניסוי/קסם על אנשים אחרים ולהפתיע אותם.

ציוד

• דף נייר
• כלי כתיבה
• מישהו לבצע עליו את הקסם :-)
• מחשבון, אם אתם ממש עצלנים

מהלך הניסוי

את מהלך הניסוי אפשר לראות בסרטון הבא:

הערה: בהוראות לקסם צריך לבחור מספר תלת ספרתי עם ספרות שונות כדי שהקסם יצליח, כי במספר שאותה ספרה חוזרת בו שוב ושוב, כמו 222, התוצאה תהיה אפס, כמובן. כאשר מפחיתים את המספרים אחרי היפוך הספרות, צריך להפחית את המספר הקטן מהגדול.

הסבר

נציע שתי שיטות שונות להסבר – הסבר מילולי-אינטואיטיבי והסבר אלגברי. שני ההסברים שקולים לזה לזה, אבל אנשים שונים מתחברים ומבינים צורות הסבר שונות.

על פי ההסבר ה"אינטואיטיבי", כפי שנאמר בסרט, אחרי שהופכים את סדר הספרות במספר תלת-ספרתי בעל שלוש ספרות שונות ומחסרים – הספרה האמצעית בתוצאה תמיד תצא 9. כיוון שהספרה האמצעית בשני המספרים זהה, תוצאת החיסור צריכה לכאורה להיות אפס, אבל כיוון שבחרנו מספר תלת-ספרתי עם שלוש ספרות שונות, וחיסרנו את הגדול מהקטן, בספרת האחדות תמיד נצטרך לקחת "הלוואה" בזמן החיסור מספרת העשרות האמצעית, וה-0 יהפוך ל-9.

השלב השני של ההסבר נוגע לסיבה לכך שכאשר מחברים את ספרת האחדות עם ספרת בתוצאת החיסור, תמיד נקבל תשע. כלומר ספרות האחדות והמאות תמיד תהיינה אחד מהזוגות 0 ו-9, 1 ו-8, 2 ו-7, 3 ו-6 או 4 ו5.

לאחר ה"הלוואה" שהזכרנו קודם, נשים לב שבתרגיל החיסור של טור האחדות אנחנו מחסרים 9 מ-10, 8 מ-11, 7 מ-12, 6 מ-13 או 5 מ-14. בספרת המאות, לעומת זאת, שגם בה חיוני לקחת "הלוואה" (מדוע?) יישאר לנו לחסר בהתאמה 0 מ-8, 1 מ-7, 2 מ-6, 3 מ-5 או 4 מ-4. בכל המקרים, סכום ההפרשים ייתן 9. אפשר לבדוק זאת מספרית, או לחלופין להסביר שזה נובע מכך שאנחנו למעשה סופרים את כל תשעת המספרים שבין ספרה כלשהי לאותה ספרה ועוד 10.

הלאה – כמו שמוסבר בסרט: חיבור ספרת האחדות יוצא תשע, החיבור של ספרת העשרות (שהיא כאמור 9 בשני המספרים) הוא 18, לכן כותבים 8 ומעבירים 1 לספרת המאות, חיבור ספרת המאות יוצא שוב 9, כך שביחד עם ה-1 שהעברנו מתקבל 10. סך הכול 1,089.

אותו דבר אפשר להסביר גם תוך שימוש באלגברה, ובאמצעות סימון המספר באותיות כלליות. אין צורך לפחד מהמשוואות – ההיגיון פשוט מאוד.

כפי שאפשר להביע את המספר 365 כ-3*100+6*10+5, אפשר להביע כל מספר תלת ספרתי כ-
a*100+b*10+c, לשחק עם המשוואות לפי ההוראות בסרט (היפוך ספרות, חיסור, היפוך ספרות, חיבור), ולראות שבלי שום קשר למשתנים הוצאה תמיד יוצאת 1,089, מפני שכפי שתכף נראה כל המשתנים מצטמצמים אחרי פעולות החיסור והחיבור. העוצמה של השיטה הזאת היא שהיא מראה לנו שבכלל לא משנה באיזה ספרות נבחר בוחרים למספר הראשון, תמיד נקבל את אותה התוצאה, ולכן הקסם תמיד מצליח:

המספר הראשון שבוחרים:
a*100+b*10+c

בהיפוך סדר הספרות, יוצא מספר חדש (כתבנו אותו בצבע אחר כדי להקל על החשבון):
c*100+b*10+a

נניח ש a>c, כלומר צריך לעשות את פעולת החיסור של המספר הגדול מהקטן:

a*100+b*10+c
-
c*100+b*10+a

נחשב את התוצאה ספרה אחרי ספרה:
ספרת האחדות – מכיוון ש-a>c, כלומר c קטן מ-a, מהחיסור של a מ-c יוצא מספר שלילי, ולכן חובה לקחת "הלוואה של עשר (העברת עשר בחיסור ארוך) מספרת העשרות, ולכן התוצאה יוצאת 10+c-a.

ספרת העשרות – במספר העליון, הספרה בפעולת החיסור היא b-1 (בגלל ה"הלוואה" שלקחנו), וצריך להפחית ממנה את b שבמספר התחתון. שוב, מאחר שקיבלנו מספר שלילי עלינו לקחת "הלוואה" שוב, הפעם מספרת המאות, כך שהתוצאה היא 10+b-1-b=9. כלומר ספרת העשרות היא 9 (או ליתר דיוק העשרות במספר הן 90=10*9).

ספרת המאות – בגלל ההלוואה שביצענו, הספרה במספר העליון הופכת ל-a-1 ולכן תוצאת החיסור היא a-1-c.

כלומר אפשר לכתוב את התוצאה של פעולת החיסור כ-

(a-1-c)*100+90+(10+c-a)

שוב נסדר את הספרות בסדר הפוך, לפי ההוראות בקסם (את התוצאה כתבנו שוב בצבע אחר כדי להקל על החשבון). קיבלנו:

(10+c-a)*100+90+(a-1-c)

ועכשיו נחבר, לפי ההוראות בקסם, נפתח סוגריים, ונראה מה התוצאה:

a*100-100-c*100+90+10+c-a+ 1,000+c*100-a*100+90+a-1-c 

=

-100+90+10+1,000+90-1=1,089

כל המשתנים ששמנו – a,b,c – נעלמים, והתוצאה היא 1,089, מה שאומר שבכלל לא משנה איזה מספר נבחר, תמיד נקבל 1,089 והקסם תמיד יצליח.

מעניין לציין

אם קסמים מתמטיים כאלה קוסמים לכם, אתם מוזמנים להצטרף לתוכנית שלנו מתמטיקה בהתכתבות (פרטים בקישור).