ערמת מטבעות

ציוד

• עשרה מטבעות

• הניסוי

את מהלך הניסוי אפשר לראות בסרטון:

הסבר

ניקח את עשרת המטבעות ונסדר אותם בערמות – כמה ערמות שנבחר. כעת בכל שלב ניקח מטבע אחד מראש כל ערמה, וניצור בעזרת המטבעות שלקחנו ערמה חדשה מייד אחרי שורת המטבעות הקיימת. נחזור על זה שוב ושוב, עד שבסופו של דבר נקבל ארבע ערמות מדורגות, עם מטבע אחד, שניים, שלושה וארבעה מטבעות. זה תמיד יהיה המצב הסופי שנגיע אליו, גם אם יידרשו לפעמים צעדים רבים בדרך אליו.

המטבעות נערמים בצורה הזאת כי 10 הוא מספר משולשי, או מספר משולש. אחד הדברים המיוחדים במספר כזה הוא שאם ניקח חפצים שכמותם היא מספר משולש – למשל עשרה מטבעות, עשר קוביות וכדומה – נוכל לסדר אותם במשולש שווה צלעות.

עשר אבנים מסודרות בצורת משולש עם צלעות שוות | מקור: Adam Hart-Davis, Science Photo Library

המספרים המשולשיים הראשונים הם 1, 3, 6, 10, 15 ו-21, ויש אינסוף כאלו.

למספר משולשי יש תכונה נחמדה: הוא שווה לסכום המספרים מ-1 עד מקומו של המספר המשולשי בסדרת המספרים המשולשיים. לדוגמה, 3 הוא המספר השני בסדרת המספרים המשולשיים, והוא שווה לסכום המספרים מ-1 עד 2: 3=1+2. דוגמה נוספת: 10 הוא המספר הרביעי בסדרת המספרים המשולשיים, והוא שווה לסכום המספרים מ-1 עד 4: 10=1+2+3+4.

אפשר לראות את זה אם נפרוש את החפצים בצורת משולש. בקודקוד יהיה חפץ אחד, בשורה שמתחתיו שני חפצים, בהמשך שלושה, לאחר מכן ארבעה, וכן הלאה. סדרה חשבונית פשוטה.

דוגמה:

נדגים איך הטריק עובד עם שישה מטבעות. גם 6 הוא מספר משולשי ולכן הטריק יעבוד גם איתו. נסתכל על כל החלוקות האפשריות של המספר 6 לערמות. נסמן חלוקת מספרים בסוגריים. החלוקה של 6 לשלוש ערמות של אחד, שניים ושלושה מטבעות מסומנת כך: (1, 2, 3). הסדר בתוך הרשימה לא משנה. (1, 2, 3) הוא אותו סידור כמו (2, 3, 1), כי העיקר הוא גובה הערמות.

את המספר 6 אפשר לחלק 11 חלוקות שונות. בתרשים למטה אפשר לראות את המסלול שנעבור אם נתחיל מכל אחת מהחלוקות האפשריות של 6. רואים שכשמגיעים ל-(3,2,1) נתקעים שם, ושתמיד נגיע ל-(3,2,1) מכל חלוקה שבה נתחיל.

אתם מוזמנים לנסות את הטריק על עוד מספרים משולשיים, רק זכרו שבמספרים גדולים תצטרכו לפעמים לעבור צעדים רבים עד שתגיעו למצב הסופי.

 
איור: טל סוקולוב