שלום לכם,

משפחת לבבי סיימה לאכול ארוחת ערב והבן דניאל רצה לומר להוריו שהוא אוהב אותם, לכן צייר צורה של לב על נייר.
אמו רצתה להראות שהיא אוהבת אותו אפילו יותר, לכן הקיפה את הלב שלו בלב משלה, שהיה זהה בצורתו ללב הראשון אך גדול ממנו פי שניים בהיקפו.
האב חיבק אז את שניהם והקיף את הלבבות שלהם בלב דומה משלו, זהה בצורתו אך גדול בהיקפו  פי שלושה מהלב שצייר בנו דניאל.
לבסוף הגיעה האחות הקטנטונת ירדן, שלא יודעת לצייר לב, והוסיפה לציור נקודה משלה, בתוך הלב הגדול.

מה הסיכוי שהנקודה שציירה ירדן נמצאת בתוך כל שלושת הלבבות? מה הסיכוי שהיא נמצאת בתוך הלבבות של שני ההורים בלבד?

תודה לאייל טובי ששלח לנו את החידה. החידה נערכה על ידי סקובידו.

סקובידו



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה
.

14 תגובות

  • אלעד

    תשובה

    בהנחה שהלב מורכב מקשתות ו2 שוקיים של משולש שווה שוקיים (לא בטוח שזה באמת חשוב) אז היחס בין ריבוע ההיקף לשטח הוא קבוע.
    היקף L שטח aL^2 (לדוגמא, משולש שווה צלעות - שטח L/2*Lsin(60) , היקף 3L והיחס הוא 2Sin(60)/9. עיגול 2piR לעומת piR^2 כלומר יחס 4pi)
    אם זה נכון אז,
    שטח הלב הפנימי X, שטח הלב האמצעי גדל פי 4 ושטח החיצוני פי 9 כלומר הסיכוי שנקודה תהיה בלב הפנימי 1/9 רק בזה של ההורים 3/9

  • אייל

    ציור חופשי

    בעיקרון כאשר מישהו מצייר צורה באופן אינטואיטיבי, הצורה

    לא חייבת להיות מושלמת מבחינה סימטרית. למרות שבציור שניתן

    למעלה הצורות נראות מאד מתואמות.

    דבר שני, בכלל לא בטוח שהלבבות מאוזנים ביניהם. יתכן מצב

    שחלק מהלבבות הפוכים וחלק מוסטים לימין או לשמאל. מה

    המתמטיקה יכולה לומר על מצבים כלליים אלו?

    דבר שלישי, בתוך הלבבות של שני ההורים בלבד זה אומר

    בתוך הלב של האם אך לא בתוך הלב של הילד. בעיקר

    בגלל המילים: שני ו-בלבד.

  • עטרה

    פתרון 4

    הנחה 4א : ההסתברות לציור נקודה בקמור של הלב הגדול היא 1.0.
    הנחה 4ב : היחס בין שטח הלב הגדול לשטח הקמור שלו הוא 0.955.

    א] הסיכוי שהנקודה שציירה ירדן נמצאת בתוך כל שלושת הלבבות הוא הסיכוי שהנקודה נמצאת בתוך הלב הקטן, כלומר 0.106.
    ב] הסיכוי שהנקודה נמצאת בתוך חיתוך הלבבות של שני ההורים בלבד הוא הסיכוי שהנקודה נמצאת בתוך הלב הבינוני אך לא נמצאת בלב הקטן, כלומר 0.318.
    ג] הסיכוי שהנקודה נמצאת בתוך איחוד הלבבות של שני ההורים בלבד הוא הסיכוי שהנקודה נמצאת בתוך הלב הגדול אך לא נמצאת בלב הקטן, כלומר 0.849.

  • רמי

    הכנה לפתרון 3

    אם ירדן מכוונת למרכז כדי לצייר את הנקודה שלה, אז ברור כי הסיכוי לנקודה במרכז גדול לאין שיעור על הסיכוי לנקודה בשפת הלב הגדול או אפילו מחוצה לו.
    נניח כי זה סיכוי "נורמלי", כלומר רוב הסיכויים באיזור המרכז ומתמעטים מאוד בשוליים (התפלגות נורמלית).
    במצב זה, מה הסיכוי שהנקודה שציירה ירדן נמצאת בתוך כל שלושת הלבבות? מה הסיכוי שהיא נמצאת בתוך הלבבות של שני ההורים בלבד?

  • עטרה

    איך מגדירים התפלגות נורמלית על מישור?

    האם מגדירים לפי מרחק כל נקודה מראשית הצירים? האם פונקציית ההתפלגות הנורמלית על המישור היא סיבוב של פונקציית ההתפלגות הנורמלית על הישר?

  • רמי

    התפלגות דו נורמלית

    נראה לי שלצורך הנוחות אפשר להגדיר את הפונקציה מסביב למרכז שנבחר.
    אם בחרנו כמרכז את ה'שפיץ' הפנימי של הלב למשל, אזי כל קו שיעבור דרך מרכז זה ההתפלגות עליו היא נורמלית סביב המרכז.

  • עטרה

    מרכז

    האם ירדן מכוונת אל מרכז הכובד של הלב, או אל מרכז המעגל החוסם את הלב?

  • רמי

    מרכז כפי בקשתך

    יכולים להיות הרבה מרכזים:
    - מרכז מעגל חסום של הלב
    - אמצע הקו העובר בין 2 נקודות שיוצרות זווית חדה כל אחת
    - שני מרכזים, אחד במרכז העיגול החסום בחלק הימני של הלב, ואחד בשמאלי
    - במרכז המלבן החוסם את הלב
    ועוד ...

    כל מרכז ייתן תשובה אחרת כנראה.

  • רמי

    פתרון 2

    2) הנחה 2א : ההסתברות לציור נקודה במעגל החוסם את הלב הגדול היא 1.0
    2) הנחה 2ב : היחס בין שטח הלב הגדול לשטח המעגל החוסם אותו הוא 0.54

    א] הסיכוי שהנקודה שציירה ירדן נמצאת בתוך כל שלושת הלבבות היא הסיכוי שהנקודה נמצאת בתוך הלב הקטן, כלומר 0.06.
    ב] הסיכוי שהנקודה נמצאת בתוך הלבבות של שני ההורים בלבד הוא הסיכוי שהנקודה נמצאת בתוך הלב הגדול אך לא נמצאת בלב הקטן , כלומר 0.48

  • עטרה

    שאלה

    לפי מה יודעים מה היחס בין שטח הלב הגדול לשטח המעגל החוסם אותו?

  • רמי

    יחס לב לעיגול החוסם אותו

    בויקיפדיה, בערך "פורטל:מתמטיקה/תמונה נבחרת/58" , ניתנת נוסחה המעבירה מעגל לצורת לב.
    השתמשתי בנוסחה זו להערכת (אנליזה נומרית) שטח הלב מול שטח המעגל החוסם אותו.
    בפרט, יש 3 נקודות השקה של הלב עם המעגל החוסם, אותן יש למצוא ואז ניתן לחשב את רדיוסו של המעגל הזה. ומכאן כמובן נקבל את השטח שלו.

  • רמי

    פתרון 1

    טענה : אם יחס בין היקף שתי צורות דומות הוא 1:a) a סופי), אזי היחס בין שני השטחים של הצורות הוא 1:a^2 .
    יחסי ההיקפים בין 3 הלבבות הם : 1:2:3 , לכן יחס בין השטחים של 3 הלבבות הוא 1:4:9
    הנחה 1: ההסתברות לציור נקודה בלב הגדול היא 1.0
    א] הסיכוי שהנקודה שציירה ירדן נמצאת בתוך כל שלושת הלבבות הוא הסיכוי שהנקודה נמצאת בתוך הלב הקטן, כלומר 1/9.
    ב] הסיכוי שהנקודה נמצאת בתוך הלבבות של שני ההורים בלבד הוא הסיכוי שהנקודה לא נמצאת בלב הקטן, כלומר 8/9

  • עטרה

    הערה

    לניסוח "הנקודה נמצאת בתוך הלבבות של שני ההורים בלבד" יכולות להיות שתי משמעויות:
    א) הנקודה מוכלת בלב של האב, או בלב של האם, או בשניהם, ואינה מוכלת בלב של דניאל.
    ב) הנקודה מוכלת בחיתוך של הלבבות של האב והאם, ואינה מוכלת בלב של דניאל.

    אם הכוונה של השאלה היא למשמעות הראשונה, אז התשובה היא אכן 8/9.
    אם הכוונה של השאלה היא למשמעות השנייה, אז התשובה היא 3/9.

  • רמי