שלום לכם!

את החידה הבאה כתב המתמטיקאי הבריטי וולטר ויליאם רוס בול (1925-1850), שהיה גם עורך דין וגם קוסם מצוין והנשיא המייסד של אגודת הקוסמים של קיימברידג'. ב-1927 הוקמה באוניברסיטאות קיימברידג' ואוקספורד הקתדרה למתמטיקה ע"ש רוס בול. רוג'ר פנרוז, שכבר הוזכר כאן באתר (ריצוף פנרוז), היה פרופסור בקתדרה זו באוקספורד שבנים 1999-1973.

 והנה החידה:

אמא שלחה את שלוש בנותיה לשוק למכור ביצים. לבכורה נתנה 50 ביצים, לשנייה 30 ביצים ולצעירה 10 ביצים.

אמרה האם, "כל אחת מכן צריכה למכור את הביצים שברשותה באותו מחיר שמוכרות אותן האחיות האחרות, ועל כל אחת מכן למכור את כל הביצים שברשותה ולחזור הביתה עם אותו סכום".

איך ימלאו הבנות את המשימה?


תמונה: Shutterstock

בהצלחה!

סקובידו



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

31 תגובות

  • ניצן

    פתרון עם מחיר זהה ועם סכום סופי זהה ללא סכום התחלתי

    הרעיון זה להפריד את הביצים לסוגים, 50 ביצים מסוג א', 30 ביצים מסוג ב' ו10 ביצים מסוג ג'.
    כעת לפי הגדרות השאלה אסור לבת מסוימת (נקרא להן א',ב',ג' בהתאמה) לחזור עם הביצים שלה, אבל לא רשום שאסור לה לחזור עם ביצים של אחות אחרת.
    לכן הן ימכרו את הביצים אחת לשניה!
    נניח שהמחיר הוא 1 שקל (אבל זה לא משנה...) לביצה
    סדר המכירה:
    בכורה מוכרת 30 ביצי א' בשוק, כעת יש לה 30 שקל + 20 ביצי א'
    בינונית מוכרת לבכורה 30 ביצי ב', כעת יש לה 30 שקל
    בכורה מוכרת לבינונית 20 ביצי א', כעת יש לה 20 שקל + 30 ביצי ב'
    ולבינונית יש 10 שקל + 20 ביצי א' (איתה סיימנו)
    צעירה מוכרת לבכורה 10 ביצי ג' וסיימנו
    בסה"כ:
    לבכורה 10 שקל + 30 ביצי ב' + 10 ביצי ג'
    לבינונית 10 שקל + 20 ביצי א'
    לצעירה 10 שקל.
    וכך עמדנו בכל תנאי השאלה

  • יויו

    פתרון פשוט

    כל אחת תמכור את הביצים במחיר של 0 שקלים , כלומר תיתן אותם בחינם. כך נעמוד בתנאי של אותו מחיר לכל הביצים, וגם כל הבנות יחזרו עם אותו סכום לבית (0 שקלים).

  • שבר

    הפתרון שלי - לא כל כך מתמטי, מבוסס על שיתוף ואיגום

    הבנות ירכזו את כל הביצים במקום אחד בשוק. יוודאו את המחיר של המתחרים וימכרו את הביצים שלהן בפני אחד פחות. כך יוודאו שכל הביצים ימכרו באותו מחיר ולא יישארו ביצים.
    אחר כך, יחלקו את הסכום לשלוש ויחזרו בשלום הביתה.

  • אלעד בן

    הנחת כמות מוזרה

    כל אחת תמכור בהתחלה כל 7 ביצים ב-3 ש"ח.
    לאחר הסיום של כל ה-7 ימכרו כל ביצה נוספת ב-9 ש"ח (נו נגמרו הביצים אפשר לעלות מחיר).
    סה"כ:
    50: (7*7 + 1) = 7*3 + 9*1 = 21 + 9 = 30
    30: (7*4 + 2) = 4*3 + 9*2 = 12 + 18 = 30
    10: (7*1 + 3) = 1*3 + 9*3 = 3 + 27 = 30

  • חביתת עין

    מרשים

    יפה

  • yes

    רעיון

    אחת תקנה מהשנייה
    עד שהכסף ישתווה

  • yes

    אולי בכ"ז

    שחלק מהבנות מוכרות אחת לשנייה סכום מסויים של ביצים
    ואז משנות את המחיר וחלק מהבנות מוכרות לשוק וחלק לאחרות

  • yes

  • גיא רינת

    יש לי פתרון אחד, את השני אני אביא הבמשך.

    יש אפשרות שכל הבנות יחזרו עם סכום אפסי.
    שלושת הבנות מגיעות לשוק עם מספר שלילי ממספר הביצים שברשות כל אחת מהן,כל ביצה הן ימכרו במטבע אחד:
    הבכורה תגיע לשוק עם 50- מטבעות,
    האמצעית תגיע לשוק עם 30- מטבעות,
    והקטנה תגיע לשוק עם 10- מטבעות.
    וכשכל אחת תמכור ביצה אחת במטבע הסכום שיצטבר לכל אחת הוא אפס.

  • אלון

    רעיון יפה :-)

  • אלון

    רמי, מה הדרך לפתור את זה מהר?

  • רמי

    הצעה לדרך פתרון חידת הקלפים

    ראשית הייתי מחליף את כל המילים במספרים 0-1-2 :
    לכל צבע,צורה,סוג מילוי, כמות צורות הייתי נותן מספר.
    למשל לצבע ירוק-0, אדום-1, סגול 2. וכך לכל תכונה.
    כל קלף מוחלף במספר ה 4 ספרתי שלו.
    מהסתכלות על המספרים אפשר לראות למשל כי יש צורה שמופיעה רק 2 פעמים ולכן לא יהיה פתרון עם 3 פעמים צורה זו. כמו כן לגבי כמויות.
    כעת הייתי מסדר את המספרים של הקלפים בסדר כרונולוגי של כל אחת מהתכונות. למשל על פי הצבע .
    וראשית דבר נחפש 3 קלפים שבהם הצבע זהה.
    מסתכלים על שאר התכונות ומייד רואים כי רק קלפים 1-3-9 עונים לקריטריונים.
    כעת נעבור לסידור כרונולוגי על פי צורה זהה ונקבל פתרון 2-5-9.
    אם מצאת 6 שלשות, סיימת.
    אחרת עוברים לשלב ב' : מעבר על כל התכונות בתצורה של תצורות שונות.
    לוקחים את כל האפשרויות של צבעים שונים ובודקים אם שאר התכונות נשמרות. כך לכמויות שונות, צורות שונות ומילויים שונים.
    (*) מתאים במיוחד אם רוצים לתכנת כך שהמחשב ימצא פתרון.

  • אלון

    רעיון מצוין, אבל הולך לי מלא זמן להכניס את כל הנתונים

    אני צריך לפתור את זה ממש מהר (ספיר ממש מהירה כ-4-3 דקות)
    יש לך עוד רעיון אולי?

  • רמי

    המלצה לדרך פתרון מהיר

    יש 4 אפשרויות שונות לבחינת הקלפים:
    בחירת 3 קלפים עם צורה אחת, 3 ק' עם 2 צ', 3 ק' עם 3 צ', ובחירת קלפים עם מספר צורות שונה 1-2-3.
    1) יש 5 קלפים בודדים, לכן יש 10 אפשרויות שונות לבחירת 3 מתוכם. נחפש צבע זהה או שונה, צורה זהה או שונה, מילוי זהה או שונה.
    2) יש 5 קלפים עם 2 צ' בכל קלף. גם כאן 10 אפשרויות שונות לבחירת 3 מ 5.
    3) יש רק 2 קלפים עם 3 צורות.לכן אין כאן פתרון. כלומר שלב זה לא נדרש.
    4) יש 2 קלפים עם 3 צ' בכל קלף , ולכן הייתי מתחיל מכאן.
    מחפש קלף עם זוג שמתאים (זהה או שונה), ואח"כ מתאים קלף עם צ' אחת. לכאורה 50 שלשות שונות, אך למעשה רובן יעלמו מחוסר התאמה.

    הרעיון הוא לצמצם את עץ החיפוש ע"י מציאת מינימום ענפים לשלב הבא. אולי אם הייתי מתחיל עם המילוי, מציאת הפתרונות היתה מהירה יותר.

  • אלון

  • שולה

    תשובה

    כולן תמכורנה במחיר כולל x

    המחיר שהראשונה תמכור בה כל ביצה יהיה x לחלק ל 50
    המחיר שהשניה תמכור כל ביצה יהיה x לחלק ל 30
    המחיר שהשלישית תמכור כל ביצה יהיה x לחלק ל 10

  • אלון

    הנה חידה מתמטית - סטטיסטיקה ופוקר (מזל)

    http://www.milki-fun.com/file.php?f=6136
    הכללים במשחק - חשוב לקרוא

    ialon זה אני :-)
    כמעט היה לי עוד 120 אבל היה לי מזל רע בקלף האחרון : - (

    החידה מהו הסדר הטוב ביותר - בגלל שצריך גם מזל הסדר משתנה.

  • משה בןאבו

    זו לא חידה מתמטית

    אלא בהבנת הנקרא, ולהבין איזה "רמאות" נעשתה כאן, וזה כלל לא מתאים לאתר כאן.

  • רמי

    פתרונות

    1) אם כולן יוצאות לדרך עם 0 ש"ח, ואם כולן מוכרות את הביצים ב 0 ש"ח, אזי בסיום הן חוזרות הביתה עם 0 ש"ח .
    2) אם כולן יוצאות עם סכום שונה בכיסן ,c b a, ומוכרות את הביצים במחיר אחיד של K ש"ח, אזי 10K+a=30K+b=50K+c . למשל אם הסכומים בכיסן הן 80 40 ו 0 בהתאמה לאחיות הצעירה, האמצעית והבכירה, K=2 , אזי בסיום המכירה לכל אחת יהיו 100 ש"ח בכיסן.
    3) אפשר למכור את כל הביצים (כל הביצים במחיר של K לביצה ) ולאחר המכירה (לפני ההגעה הביתה) להתחלק בסכום בין שלושתן : (10+30+50)*K /3 לכל בת : 30*K. אם K=3, אזי בסוף , לכל אחת יהיו 90 ש"ח.

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסקובידו

    רעיונות טובים, אבל...

    רעיונות טובים, אבל...יש פתרון לא "טריוויאלי" (עם מחיר שונה מאפס), האחיות לא מעבירות כסף מהאחת לשנייה וביציאה מהבית אין להן כסף .... : - )

  • אלון

    לא הבנתי - זה חידה ישנה ואני עדיין לא מבין אותה

    לבכורה נתנה 50 ביצים, לשנייה 30 ביצים ולצעירה 10 ביצים.
    הקטנה X הבינונית X/3 הבכורה X/5 = אותו הסכום.
    -----------------------------------------------------------------------------
    אפשר להשתמש באינסוף/אפס שקלים לביצה אחת -ואז זה יוצא בול
    -----------------------------------------------------------------------------
    אפשר להשתמש בשעון - למשל המחיר = השעה שבשעון
    שעה:15:00, 5:00 , 3:00 ? - אולי ?
    -----------------------------------------------------------------------------
    אני ינסה לחשוב על משהו

  • אלון

  • אלון

  • אלון

    סוגים שונים של ביצים - למשל לכולם יש ביצה של יען

    אבל לקטנה יש 10 ביצי יען במחיר X ולבכורה יש 1 במחיר X

  • אלון

  • אלון

    מחירים שונים לפי שעות

    בשעה הראשונה של המכירה המחיר 10 שקלים
    בשעה השנייה של המכירה המחיר 2 שקלים
    בשעה השלישית של המכירה המחיר 1.625 שקלים

    אז הצעירה מכרה 10 תפוחים בשעה הראשונה
    והרוויחה 100 שקלים - נגמרו לה כולם
    השנייה והשלישית מכרו 5 - ב-10 שקלים
    השנייה מכרה את מה שנשאר לה ב-2 שקלים
    25*2+50 = 100 שקלים
    השלישית מכרה 5 עכשיו יש לה 35 שקלים
    נשארו לה 40 ביצים

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסקובידו

    מעניין...

    מעניין שהצעירה מוכרת תפוחים :- )
    הרעיון הוא טוב וברור. אני לא מבינה את החישוב לגבי הבכורה. כיצד היא מקבלת 35 שקלים עבור עשר הביצים הראשונות (אם ידוע שמכפילים חלק בעשרה וחלק בשני שקלים)?
    מעניין לדעת שרוס בול חשב בכיוון ההפוך – עליית המחיר לקראת הערב, מפני שהביקוש גדול. מה אתם חושבים, כיצד נראה הפתרון שלו?

  • אלון

    גם אני לא, אבל הרעיון ברור

    לקראת הערב המחיר יורד , הגיוני שלפני 100 שנה זה היה הפוך.
    כל פתרון עדיף מ-0 כי 0 זה בחינם. ואי-אפשר למכור ולתת בחינם.

    יש לי זיכרון לטוח ארוך ושהחידה הייתה במקור זה היה "בנים" ו"תפוחים"
    אבל אני לא זכרתי את התשובה או שכן. - זכרתי שזה היה - 0.
    ובגלל זה כתבתי "אני עדיין לא מבין אותה"

    אני אוהב את הפתרון האחרון שכתבתי
    בגלל שהוא כל-כך ברור וטיפשי שזה מרגיז.

    הרעיון האחרון היה שהם מכרו הכל באותו מחיר - פשוט
    "כל אחת מכן צריכה למכור את הביצים שברשותה באותו המחיר "
    הם לא מכרו ביצה - אלה הכל ב-"חבילה".

  • אלון

    עוד רעיון "מה קדם הביצה או התרנגולת"

    לחלק מהביצים היה אפרוח בפנים (אבל זה עדין נחשב ביצה)
    אחר כך האפרוח בקע וזה כבר לא ביצה. - כי זה אפרוח.
    כך הם יוכלו למכור את כל הביצים שברשותה באותו המחיר
    ואת האפרוחים הם יחלקו בשוק... בחינם.

    זה לא ממש טוב אבל נחמד

  • אלון

    עוד רעיון

    "כל אחת מכן צריכה למכור את הביצים שברשותה באותו המחיר שמוכרות האחיות האחרות"

    הבכורה מוכרת 50 ביצים (את הביצים שברשותה ) ב-50 שקלים -
    המחיר הכל ב-50שקלים
    האמצעית מוכרת 30 ביצים(את הביצים שברשותה ) ב-50 שקלים
    המחיר הכל ב-50שקלים.
    הקטנה מוכרת 10 ביצים(את הביצים שברשותה ) ב-50 שקלים
    המחיר הכל ב-50שקלים.

    הם לא מוכרות ביצה בודדת אלה "הכל" בסכום X

    כל אחת מכן למכור את כל הביצים שברשותה ולחזור הביתה עם אותו הסכום
    ====================================

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסקובידו

    יש משהו ברעיון השני

    יש משהו ברעיון השני למרות שהמחיר אינו שווה לשעה....