שלום לכם,

השבוע נביא בפניכם שלוש חידות קצרות בנושא "בסיסים", שנכתבו בידי חברנו אמנון זקוב ז"ל עבור "המעגל המתמטי". בהמשך נביא עוד חידות בנושא.

  1. מצאו את הבסיסים a ו-b הקטנים ביותר המקיימים  b38 a  = 19 b 
    מהו המספר המופיע בשוויון?
     
  2. מהם הבסיסים הקטנים ביותר המקיימים את המשוואה pq a = qp b  כאשר p > q > 0, ומהו המספר המופיע בשוויון? 
     
  3. האם קיים בסיס כלשהו a המקיים עבור b כלשהו (מספר בן ספרה אחת) את השוויון
    b(b*b) a  = bb a?

 

בהצלחה!

פזיה


הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

10 תגובות

  • דן-1

    חידה 43

    פתרון חידה
    43

    סעיף 1:
    המספר הוא :35 בבסיס 10.
    A=9
    B=26

    סעיף 2:
    המספר בשוויון הוא: 7 בבסיס 10.
    21 בבסיס 3 שווה בדיוק 12 בבסיס 5.
    P=2
    Q=1
    A=3
    B=5

    סעיף 3:
    אין פתרון A המקיים את השוויון שבשאלה עבור הערכים B=1,2,....9
    בודקים 9 מקרים ולכל A מתקבלת סתירה...

    בברכה
    דן-1

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

  • רמי

    חידת הרחבה 3

    נסמן את a בבסיס b ע"י (a(b
    מצאו a,b,c,X1,X2 טבעיים גדולים מ 1
    שמקיימים את 4 התנאים הבאים :
    1] c(b(a))=b(c(a))=c(a(b))=X1
    2] a(b(c))=b(a(c))=a(c(b))=X2
    3] X1≠X2
    4] a≠b b≠c a≠c

  • משה

    קל

    קל

  • רמי

    חידת הרחבה 1

    א) מצאו שני מספרים דו ספרתיים שונים x ו- y כך ש x(y)=y(x)
    כאשר המספר בסוגריים הוא בסיס המספר הסמוך לו.
    ב) מצאו שני מספרים כנ"ל שכל 4 ספרותיהם שונות.
    ג) מצאו שני מספרים כנ"ל ששניהם ראשוניים (בבסיס 10)

  • רמי

    פתרון לסעיף 3

    יש כמה פתרונות.

    להלן חלק מהפתרונות :

    (10)24=(18)16=(5)44
    (10)35=(15)25=(6)55
    (10)48=(14)36=(7)66

  • רמי

    תיקון פתרון 3

    בתשובתי עניתי לשאלה בסעיף 3 עבור בסיסים שונים!

    הפתרון עבור בסיס a זהה : לא קיים בסיס כזה.
    הוכחה:
    ננסח את משוואת חידת הסעיף ונקבל את משוואת השוויון b^2=ab+b .
    נצמצם ונקבל b=a+1.
    כאן b גדול ב 1 מ a.
    היות וערך הבסיס a תמיד גדול מהספרות שלו , ולכן בפרט אמור להיות גדול מ b , ולכן לא יכול להיות בסיס כזה.

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

  • רמי

    פתרון סעיף 2

    a=3 , b=5
    סימון הבסיס בסוגריים :

    (10)7=(5)12=(3)21

    [הבסיסים הקטנים פחות : (10)9=(7)12=(4)21 ]

  • רמי

    פתרון לסעיף 1

    a=9 , b=26
    סימון הבסיס בסוגריים :

    (10)35=(26)19=(9)38

    [הבסיסים הקטנים פחות : (29)19=(10)38 ]