כיתה ג'3 בבית ספר "יחד" היא כיתה מרובת תלמידים ומרובת הפרעות, לכן החליטה המנהלת שיש לפצל את הכיתה לשניים. החלוקה תתבצע תוך התחשבות ברצון התלמידים – המנהלת ביקשה מהמורה עירית להורות לכל תלמיד לכתוב על פתק את שמות שני חבריו הטובים ביותר, והחלוקה תיעשה כך שלפחות אחד מהם יעבור איתו לכיתה החדשה.

התלמידים, שלא רצו שהכיתה תפוצל, תיאמו ביניהם מראש מה לרשום על הפתקים, כך שבשום חלוקה שניסתה המורה עירית לא הצליחה לפצל את הכיתה באופן שבו כל תלמיד יהיה בכיתה עם לפחות אחד מהילדים שבחר לרשום.

מה הייתה האסטרטגיה של התלמידים?

ייתכנו כמה פתרונות.

                        

שבוע טוב,

סקובידו

 
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

33 תגובות

  • עטרה

    תיקון לגרסה שברית כפולה עבור החידה

    יש n תלמידים בכיתה. כל תלמיד מקבל רשימה של כל תלמידי הכיתה, ורושם ליד כל אחד מהם מספר ממשי אי-שלילי, כך שסכום המספרים שהוא רושם הוא 2.
    נסמן: (F(K,L = המספר שתלמיד K רשם עבור תלמיד L.
    אז לכל K מתקיים: sum {F(K,L) : 1 המורה מקבלת רשימה של כל תלמידי הכיתה, ורושמת ליד כל אחד מהם מספר ממשי בין 0 ל 1. נסמן: (G(K = המספר שהמורה רשמה עבור תלמיד K.
    רשימת המספרים שהמורה רושמת צריכה לקיים את התנאים הבאים:
    א) קיים K עבורו (G(K אינו 0.
    ב) קיים K עבורו (G(K אינו 1.
    ג) לכל K, מתקיים sum {F(K,L)*G(L) : 1 התלמידים רצו לתאם ביניהם מראש אלו מספרים הם ירשמו, כך שהמורה לא תצליח לבחור רשימה חוקית של מספרים.
    האם יש אסטרטגיה לתלמידים? האם יש אסטרטגיה למורה?
    עבור אילו מטריצות (F(K,L של התלמידים, יש למורה רק וקטור אחד (G(K שהוא חוקי?

  • רמי

    תשובה

    המורה יכולה ליצור וקטור של n ערכים השווים ל 0.5 כ"א.
    לא משנה מה התלמידים ירשמו (חוקי כמובן), תמיד וקטור זה יתאים לתנאים של המורה.
    2 דוגמאות לסוגי מטריצות של התלמידים שיכפו על המורה וקטור מסויים (וקטור חצי כנ"ל) :
    1) כל תלמיד יבחר חבר אחד בלבד וירשום את המספר 2.0 לידו ואפס לכל השאר. כל תלמיד יבחר כחבר פעם אחת בלבד ורק אצל אחד התלמידים.
    זאת מטריצה עם המספרים 2.0 ו 0.0 . המספר 2.0 יופיע פעם אחת בכל שורה ובכל עמודה. שאר המספרים יהיו 0.0 .
    2) כל תלמיד יתן את המספר 2.0 חלקי (n-1) :
    2.0
    ---
    (n-1)
    לכל אחד מהתלמידים ברשימתו למעט לעצמו (לעצמו יתן 0.0).
    זאת מטריצה של המספרים 0.0 ו 2.0 חלקי (n-1) . המספר 0.0 יופיע פעם אחת בכל שורה ובכל עמודה, ושאר המספרים יהיו 2.0 חלקי (n-1).

  • עטרה

    תשובה כללית

    יהא U וקטור באורך N, שכל הקואורדינטות שלו הן 0.5. יהא V וקטור באורך N, שכל הקואורדינטות שלו הן 1. תהא M מטריצה בגודל NxN, כך שלכל K, סכום האיברים בשורה K הוא 2. מתקיים M*U=V. אם המטריצה היא הפיכה, אז פעולת הכפלתה בווקטורים היא פונקציה חד-חד-ערכית, ולכן, לכל וקטור G, אם G שונה מ U, אז M*G שונה מ V. אם תוצאת המכפלה שונה מ V, זה אומר שדרישה ג אינה מתקיימת, ולכן זאת בחירה בלתי חוקית עבור המורה.
    קיבלנו, שאם המטריצה של התלמידים היא חוקית והפיכה, אז היא כופה על המורה את הווקטור U.

  • רמי

    יפה מאוד

    שאלה יפה ותשובה יפה.

  • עטרה

    גרסה שברית עבור החידה

    כל תלמיד מקבל רשימה של כל תלמידי הכיתה, ורושם ליד כל אחד מהם מספר ממשי אי-שלילי, שאומר באיזו מידה חשוב לו להיות יחד עם תלמיד זה באותה כיתה. סכום המספרים שהתלמיד רושם צריך להיות 2.
    למשל, אם לתלמיד יש 10 חברים, ועם כולם חשוב לו להיות באותה מידה, אז הוא ירשום 0.2 ליד כל אחד מחבריו, וליד שאר תלמידי הכיתה הוא ירשום 0, וכך סכום המספרים שרשם הוא 2.
    המורה צריכה לחלק את הכיתה לשתי כיתות, כך שלכל תלמיד, יהיו איתו בכיתה חברים, כך שסכום המספרים שרשם לידם הוא לפחות 1.
    למשל, ראובן רשם 7/6 עבור שמעון, 1/2 עבור לוי, 1/3 עבור יהודה, ו 0 עבור שאר תלמידי הכיתה. זאת רשימה חוקית, כי סכום המספרים הוא 2.
    אז בכיתה של ראובן צריכה להיות קבוצה של חבריו, שסכום המספרים שרשם לידם הוא לפחות 1, ולכן עם ראובן יהיו: או שמעון ולוי ויהודה, או שמעון ולוי, או שמעון ויהודה. אם המורה תחלק את הכיתות, כך שעם ראובן יהיו לוי ויהודה, אבל לא שמעון, אז אין בכיתה של ראובן קבוצת חברים, שסכום המספרים שהוא רשם לידם הוא לפחות 1, ולכן החלוקה הזאת אינה חוקית עבור המורה.
    התלמידים לא רצו שהכיתה תפוצל. הם רצו לתאם ביניהם מראש מה לרשום על הפתקים, כך שבשום חלוקה שתנסה המורה, היא לא תצליח לפצל את הכיתה, באופן שבו כל תלמיד יהיה בכיתה עם קבוצת חברים, כך שסכום המספרים שרשם לידם הוא לפחות 1.
    האם יש אסטרטגיה לתלמידים? ואם כן, מהי?

  • רמי

    יש אסטרטגיה.

    כמו במקרה של רישום שני תלמידים.
    לשני חברים לתת ערך 1.0 כ"א. השאר 0.
    ולהפעיל פתרונות 1,3 או 4.

  • עטרה

  • עטרה

    גרסה שברית כפולה עבור החידה

    יש n תלמידים בכיתה. כל תלמיד מקבל רשימה של כל תלמידי הכיתה, ורושם ליד כל אחד מהם מספר ממשי אי-שלילי, כך שסכום המספרים שהוא רושם הוא 2. נסמן: (F(K,L = המספר שתלמיד K רשם עבור תלמיד L. אז לכל K מתקיים: sum {F(K,L) : 1 המורה מקבלת רשימה של כל תלמידי הכיתה, ורושמת ליד כל אחד מהם מספר ממשי בין 0 ל 1. נסמן: (G(K = המספר שהמורה רשמה עבור תלמיד K.
    רשימת המספרים שהמורה רושמת צריכה לקיים את התנאים הבאים:
    א) קיים K עבורו (G(K אינו 0.
    ב) קיים K עבורו (G(K אינו 1.
    ג) לכל K, אם (G(K אינו 0, אז מתקיים sum {F(K,L)*G(L)/G(K) : 1 ד) לכל K, אם (G(K אינו 1, אז מתקיים sum {F(K,L)*(1-G(L))/(1-G(K)) : 1 התלמידים רצו לתאם ביניהם מראש אלו מספרים הם ירשמו, כך שהמורה לא תצליח לבחור רשימה חוקית של מספרים.
    האם יש אסטרטגיה לתלמידים? ואם כן, מהי?

  • רמי

    אסטרטגיה

    היות ולא הוגבלנו למספר התלמידים שיש לתת להם מספר אי שלילי, כל תלמיד יבחר בתלמיד אחד.
    למשל כולם, למעט תלמיד a, יבחרו בתלמיד a ויתנו לו את המספר 2.0 . תלמיד a יבחר בתלמיד כלשהו b (שאינו a) ויתן לו ערך 2.0 .
    בחישוב של המורה, לא חשוב איך תבחר את ערכי (G(k ,תמיד תגיע לסתירה 1=0 .

  • עטרה

    נכון מאוד

    עכשיו ראיתי שהיתה לי טעות בשאלה: בדרישות ג,ד אין צורך לחלק בביטויים שבמכנה. אחרת יש סתירה בין הדרישות ג,ד ובין הדרישה sum {F(K,L)} = 2.

  • עטרה

    פתרון נוסף - 4

    נסמן (x->(y,z: תלמיד x רשם על פתק את החברים שלו y ו z .
    נניח שהכיתה בת n תלמידים, כאשר 3 נמספר את תלמידי הכיתה: ...,1,2,3,4.
    להלן הפתקים של שני התלמידים הראשונים:
    1->(2,3)
    2->(1,3)
    לכל k בין 3 ל n, הפתק של התלמיד ה k הוא:
    (k->(k-1,k-2

  • רמי

    פתרון נוסף 3

    נסמן ( x->(y,z : תלמיד x רשם על פתק את החברים שלו y ו z .

    יהיו תלמידים c,b,a, ו d תלמידים שונים בכתה ג3 בת n תלמידים. כאשר n > 3 .
    להלן 4 הפתקים של תלמידים אלו:
    (a->(b,c
    (b->(a,c
    (c->(a,d
    (d->(a,b
    ולכל שאר התלמידים יהיה פתק זהה: (k->(c,d עבור k

  • עטרה

    פתרונות יפים

    הערה: פתרון 3 איזומורפי לפתרון 2, כאשר מחליפים בין a ל-b.

  • רמי

    את צודקת. הם איזומורפיים.

    לא זיהיתי זאת קודם. תודה.

  • רמי

    פתרון נוסף

    נסמן ( x->(y,z : תלמיד x רשם על פתק את החברים שלו y ו z .

    יהיו תלמידים c,b,a, ו d תלמידים שונים בכתה ג3 בת n תלמידים. כאשר n > 3 .
    להלן 4 הפתקים של תלמידים אלו:
    (a->(b,c
    (b->(a,c
    (c->(b,d
    (d->(a,b
    ולכל שאר התלמידים יהיה פתק זהה: (k->(c,d עבור k

  • רמי

    פתרון

    נסמן ( x->(y,z : תלמיד x רשם על פתק את החברים שלו y ו z .

    יהיו תלמידים b,a ו c תלמידים שונים בכתה ג3 בת n תלמידים. כאשר n > 3 .
    להלן שלושת הפתקים של תלמידים אלו:
    (a->(b,c
    (b->(a,c
    (c->(a,b
    ולכל שאר התלמידים יהיה פתק זהה: (k->(a,b עבור k

    יש 3 אפשרויות:
    1) תלמיד a עם תלמיד b בכיתה הראשונה, ותלמיד c בכיתה השניה.
    מצב לא תקין כי תלמיד c ללא אחד מחבריו.
    2) תלמיד a עם תלמיד c בכיתה הראשונה, ותלמיד b בכיתה השניה.
    מצב לא תקין כי תלמיד b ללא אחד מחבריו.
    3) תלמיד a עם שני התלמידים b ו c בכיתה הראשונה.
    היות וכל שאר התלמידים רשמו את חבריהם a ו b , ששניהם בכיתה הראשונה, המורה תיהיה חייבת לשבץ אותם גם לכיתה הראשונה, והכתה השניה תשאר ריקה.
    וכך ימנע הפיצול!!

  • עטרה

    נכון

    זה גם הפתרון שלי.

    (יש 4 אפשרויות, כי יש גם את האפשרות, שתלמיד b עם תלמיד c בכיתה הראשונה, ותלמיד a בכיתה השניה, אבל זה סימטרי לאפשרות 2.)

  • עידו

    תשובה לחידה

    תלמיד A רשם Z ו-B B רשם A ו-C וכו'.
    כוונה:כל תלמיד רשם קודם ובא במספר אולפן (הבא Z הוא A).

  • עטרה

    מה זה מספר אולפן?

    לא הכרתי את המונח הזה.

  • רמי

    הערה לתיקון

    על פי שיטתך נראה לי כי המורה כן תצליח לפצל הכתה.
    למשל עבור 4 תלמידים A B C D, ניתן לחלקם לשתי כיתות כך : [A D] ו [B C] .
    בכל זאת נראה לי כי תשובתך היא כמעט הפתרון.
    אולי חלוקה ציקלית קטנה יותר?

  • עטרה

    יש פתרון לא ציקלי

    לא מצאתי פתרון ציקלי.
    מה הכוונה בחלוקה ציקלית קטנה יותר?

  • עטרה

    תיקון של הניסוח

    השתמשתי במונח לא מתאים.
    התכוונתי שיש פתרון לא-ציקלי, במובן שיש פתרון שאין בו מעגל שמכיל את כל התלמידים.
    לא התכוונתי למונח "א-ציקלי", שמשמעותו שלא קיים מעגל כלל.
    בכל פתרון חייב להיות מעגל מכוון, כי דרגת היציאה של כל הקודקודים היא חיובית (כל תלמיד בוחר מספר חיובי של חברים).

  • רמי

    חלוקה ציקלית קטנה יותר

    הפתרון של עידו הוא ציקלי במובן שבכל רשימה של ילד בכתה יש את הילד הבא אחריו (אחד משני הילדים) , עד לאחרון הילדים שברשימתו הילד הראשון, שברשימתו השני וכו'..
    חלוקה ציקלית קטנה יותר זה שיש מספר קטן יותר של תלמידים שרושמים אחד את השני במעגל. ולא כל התלמידים. וזה אמור להספיק למניעת הפיצול.

  • עטרה

    אם יש שני מעגלים

    אז המורה תשים מעגל אחד בכיתה אחת ומעגל שני בכיתה השנייה, וכך התלמידים לא ימנעו את הפיצול.

  • רמי

    מעגל אחד

    בפתרון שלי יש מעגל ציקלי אחד קטן . והשאר אינם יוצרים מעגל נוסף.

  • עטרה

    חידת המשך

    גם כיתה ג4 בבית ספר "יחד" היא מרובת תלמידים ומרובת הפרעות, לכן החליטה המנהלת שיש לפצל את הכיתה לשניים. המנהלת שמה לב לכך שכאשר חברים נמצאים יחד כמות ההפרעות גדלה. לכן היא החליטה שהחלוקה תפריד בין החברים. המנהלת ביקשה מהמורה עירית לומר לכל תלמיד שיכתוב על פתק את שמות 2 חבריו הטובים ביותר, והחלוקה תתבצע כך שאף אחד מהם לא יעבור איתו לכיתה החדשה.
    התלמידים, שלא רצו שהכיתה תפוצל, תיאמו ביניהם מראש מה לרשום על הפתקים, כך שבכל חלוקה שניסתה, לא הצליחה המורה עירית לפצל את הכיתה באופן שאף תלמיד לא יהיה בכיתה עם לפחות אחד מהילדים שבחר לרשום.
    מה הייתה האסטרטגיה של התלמידים?
    ייתכנו מספר פתרונות.

  • צבי מילר

    פתרון לחידת המשך

    -אם תלמיד א רשם את שמותיהם של תלמיד ב ותלמיד ג אז המורה חייבת לשים גם את תלמי ב וגם את תלמיד ג בכיתה שבה לא נמצא תלמיד א, עכשיו אם תלמיד ב רשם את תלמיד ג או להיפך הרי שיש לנו 2 חברים באותה כיתה

  • עטרה

  • רמי

    שאלה

    האם התכוונת בחידת ההמשך שיש "להפריד כל תלמיד משני חבריו" או "להפריד כל תלמיד עם לפחות אחד מחבריו"?

  • עטרה

    התכוונתי שיש להפריד כל תלמיד משני חבריו

    אחרת זה כמו החידה המקורית.

  • רמי

    הבנתי.

    נראה לי כי בחידה בה נדרש שינוי למצב של הפרדה של לפחות אחד התלמידים , שונה מהחידה המקורית, ובבדיקה ראשונית כנראה שאין לה פתרון!! (כלומר התלמידים חסרי אונים מול דרישה זו , ולא יוכלו לסכל את הפיצול).

  • עטרה

    לאיזו חידה אין פתרון?

    לא הבנתי לאיזו חידה אתה מתכוון.

  • רמי

    לחידת ההמשך שלך

    חידת ההמשך שלך עם שינויי נוסח:
    גם כיתה ג4 בבית ספר "יחד" היא מרובת תלמידים ומרובת הפרעות, לכן החליטה המנהלת שיש לפצל את הכיתה לשניים. המנהלת שמה לב לכך שכאשר חברים נמצאים יחד כמות ההפרעות גדלה. לכן היא החליטה שהחלוקה תפריד בין החברים. המנהלת ביקשה מהמורה עירית לומר לכל תלמיד שיכתוב על פתק את שמות 2 חבריו הטובים ביותר, והחלוקה תתבצע כך שלפחות אחד החברים לא יעבור איתו לכיתה החדשה (כלומר חבר אחד או שני החברים לא יעברו איתו).
    התלמידים, שלא רצו שהכיתה תפוצל, תיאמו ביניהם מראש מה לרשום על הפתקים, כך שבכל חלוקה שהמורה תנסה, לא תצליח המורה עירית לפצל את הכיתה כך שכל תלמיד לא יהיה עם אחד או שנים מחבריו.
    האם באמת יש אסטרטגיה לתלמידים?
    ואם כן, מהי?