שלום לכם,

לרגל חג השבועות החלטתי להקדים את העלאת החידה השבועית. לפניכם חידה על חלב שמצאתי בתוך המשימות של אולימפיאדת המתמטיקה במוסקבה (All-Union Olympiad):

שבעה גמדים יושבים סביב שולחן עגול ולפני כל אחד מהם מונחת כוס חלב. בכל הכוסות יחד יש שלושה ליטרים של חלב, אך כמות החלב בכל כוס אינה שווה בהכרח לכוסות האחרות. הגמד הראשון מחלק את החלב שלו באופן שווה לכל הכוסות האחרות. אחריו מחלק הגמד השני את החלב שבכוסו נגד כיוון השעון לכל הכוסות האחרות וכך הלאה, עד שהגמד האחרון מחלק את החלב שבכוסו באופן שווה לכל הכוסות האחרות. לבסוף יש בכוסו של כל אחד מהגמדים אותה כמות חלב כפי שהיתה בה לפני החלוקה. כמה חלב היה בכל אחת מהכוסות?   

 


איור: שאטרסטור

חשיבה נעימה וחג שמח,

סקובידו


הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

7 תגובות

  • אלון

    הפתרון שלי - אחר

    18/21,15/21,12/21,9/21,6/21,3/21,0/21
    הדרך שלי דומה לדרך של רמי.
    אני יבדוק וישלח - את הדרך והפתרון.

    לגבי השאלה הקודמת לא מצאתי את המבנה
    נראה לי שזה כמו "מספר פרידמן" - אבל יכל להיות מבנה.

  • אלון

    הסבר

    הדרך שלי - שלושה כוסות
    אנחנו יודעים ש-הכוס השלישית C יש 0
    אז נחשב כמה A שווה יצא לנו
    (B/2)+(B/4)+(A/4)+(A/4)+(A/8) = A
    כלומר :
    3B/4 + 5A/8 = 6B/8+5A/8
    (8A=(6B+5A
    3A = 6B
    A=2B
    מסכנה A =2 B =1 C=0
    1+2 = 3
    או A=6/3 B=3/3 C=0/3

    1+2+3+4+5+6 = 21
    ולכן ב- 7 כוסות התשובה תהיה
    18/21,15/21,12/21,9/21,6/21,3/21,0/21

    בדיקה :
    (18 / 21) + (15 / 21) + (12 / 21) + (9 / 21) + (6 / 21) + (3 / 21) + (0 / 21) = 3

  • רמי

    תגובה

    הפתרון שלך זהה לשלי מבחינה מספרית אך נראה לי יותר מדוייק מבחינת הסבר התשובה.
    מספרי פרידמן משתמשים בכל הספרות של המספר להגעה למספר עצמו, כאן משתמשים בכל הספרות ביחד משני צידי השיוויון.
    לדעתי אין מבנה נוסחתי למספרי פרידמן וגם לפתרונות של חידה 32. אפשר ליצור אלגוריתם למציאת כולם אך לא נוסחה כללית עבורם.

  • אלון

    אופס נכון. לא שמתי לב

    אין מבנה נוסחתי למספרי פרידמן זה מה שכתבתי
    איזה אלגוריתם ?! אפשר לצמצמם כן, אני יודע.
    אפשר גם להשתמש בלוח הכפל אבל הוא צריך להיות לפחות
    4999X9 במדרגות יורדות, (ולא מצאתי באינטרנט) אז רציתי לעשות
    אבל זה ארוך מדי הגעתי ל-253X6 - וגם לא מצאתי מבנה מיוחד בדרך.

  • רמי

    הפתרון

    גם אני קיבלתי תוצאה כמו kuh.
    גמד ראשון 6/7, שני 5/7 , .. , שישי 1/7 ושביעי 0/7.
    אני הגעתי לתוצאה לאחר בדיקה ופתרון של מעגל עם 3 גמדים כשגם שם סכום כמות החלב בכוסות הוא 3.
    וקיבלתי כפתרון : גמד ראשון 2, גמד שני 1 וגמד שלישי 0.

  • kuh

    ,תשובה

    אם לראשון היו 6 (מכמות מסויימת), לשני 5 ולשלישי 4 וכן הלאה, הרי שתמיד אצל זה שמחלק תהיה כמות של 6, והוא יחלק 1 לכל 1.
    מכיון שיש בסה"כ 3 ליטר, התשובה היא שלראשון היו שש שביעיות ליטר, לשני 5 שביעיות וכן הלאה.

  • kuh

    לא הגיוני;

    אם הגמד האחרון מחלק את החלב שבכוסו, לא נשאר לו כלום, ואילו אצל כל שאר הגמדים יש חלב, ואם כן לא יתכן שויון. בדומה הגמד לפני אחרון, אחרי שחילק את החלב, לא נשאר לו כלום, ואילו לכל חבריו יש חלב, ואם כן כשהאחרון יחלק, לזה שלפניו יהיה פחות מהשאר (חוץ מהאחרון). כנראה יש איזה טעות בשאלה.