שלום לכם,

נמלה קטנה וחמודה עומדת על קודקוד אחד של קובייה שצלעה a ס"מ. הנמלה מזהה פירור לחם בפינה המרוחקת ביותר של הקוביה ומחליטה לצעוד לכיוונו.

אם תלך על מקצועות הקובייה תצטרך ללכת 3a ס"מ, ובחום השורר היום זה לא פשוט לנמלה קטנה. האם תוכלו לעזור לה ולמצוא את הדרך הקצרה ביותר האפשרית?

                     

בהצלחה!

סקובידו


הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

16 תגובות

  • רמי

    חידת הרחבה 3 : סיור פאות

    הנמלה עומדת על קודקוד של הקוביה ומעוניינת לטייל על פאות הקוביה, לבקר בכל פאות הקוביה ולחזור לקודקוד ממנו יצאה בדרך הקצרה ביותר.

    - אם הנמלה דרכה על קודקוד ,כאילו ביקרה בשלוש הפאות הסמוכות לו.
    - אם הנמלה דרכה על מקצוע ,כאילו ביקרה בשתי הפאות הסמוכות לו.

    א] מהי הדרך בה תלך?
    ב] מה אורך הדרך הקצרה ביותר?

  • עטרה

    נראה לי שהמסלול הוא מקודקוד כלשהו אל הקודקוד הנגדי לו

    לא מצאתי הוכחה לכך שזהו המסלול האופטימלי.

  • שי

    הדרך האינטואיטיבית

    פשוט ללכת על אלכסון הפאה (השורש של a בריבוע כפול 2) ואז על המקצוע האנכי שאורכו a. זה קצת יותר קצר מ- 3a

  • עדי

    האורך של הדרך

    האורך שלה יהיה
    (a *(sqrt 2 + 1

  • שי

    מה שאמרתי רק במילים אחרות :)

    כוונתי הייתה השורש הריבועי של 2a²+a שזה בעצם מה שאת אמרת רק בניסוח אחר.

  • רמי

    חידת הרחבה 2 : קפיצות אלכסון

    עכביש צימחוני , ידידה של הנמלה הקטנה והחמודה, עומד על קודקוד אחד של קובייה שצלעה a ס"מ.
    מרחק הקפיצה של העכביש קבוע ושווה לאורך אלכסון ריבוע שצלעו a (כלומר (a*sqrt(2).
    העכביש רוצה לעבור בקפיצות על כל הקודקודים של הקוביה בלי לחזור על אף קודקוד פעמיים.
    כיצד יעשה זאת?

  • עטרה

    פתרון

    נניח שהקובייה היא קוביית היחידה, וקודקודיה הם
    (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1).

    א) אם מותר לעכביש לדרוך רק על קודקודים של הקובייה , או רק על השלד של הקובייה (קודקודים ומקצועות), אז אין לו אפשרות לעבור על כל קודקודי הקובייה.

    ב) אם מותר לעכביש לעשות צעדים באורך (sqrt(2, כך שכל הצעדים מוכלים בפני השטח של הקובייה, אז הוא ילך את הצעדים הבאים:
    (1,1,0)
    (1,0,1)
    (0,1,1)
    (0,0,0)
    (1/2, 1, sqrt(7)/2)
    (1,0,0)
    (0,1,0)
    (0,0,1)
    (1,1,1)

    ג) אם מותר לעכביש לעשות צעדים באורך (sqrt(2, כך שכל הצעדים מתחילים ומסתיימים על פני השטח של הקובייה, אבל הפנים שלהם יכול לעבור דרך הפנים של הקובייה, אז הוא ילך את הצעדים הבאים:
    (1,1,0)
    (1,0,1)
    (0,1,1)
    (0,0,0)
    (1/2, 1, sqrt(3)/2)
    (1,0,0)
    (0,1,0)
    (0,0,1)
    (1,1,1)

  • רמי

    תשובה נכונה.

    לדעתי התיקון הקטן לא נדרש.

  • עטרה

    תודה

    התיקון נדרש, כי הנקודה (1/2, 1, sqrt(7)/2) אינה שייכת לקובייה.

  • עטרה

    תיקון קטן

    (1/2, 1, sqrt(7)/2-1)

  • עדי

    פתרון

    אם מוחצים את הקובייה מגלים שהנמלה והפירור נמצאים על שתי נקודות מנוגדות במלבן a על 2a שאורך אלכסונו הוא
    sqrt 5 * a אם מנפחים את הקובייה בחזרה המסלול יישאר

  • אייל

    גודל הקוביה

    בעצם השאלה מהו המסלול הקצר ביותר על פאות הקוביה,

    המחבר שני קודקודים שאינם על אותה פאה.

    נראה שאין קשר בין צורת המסלול לגודל צלע הקוביה.

    לכן אפשר לפשט ולומר שגודל צלע הקוביה הוא 1.

    אפשר גם למתוח חוט בין שני ה-קודקודים בצמוד לפאות.

    לחוט מתוח יש נטיה למדוד מרחק קצר יותר.

  • רמי

    חידת הרחבה : נמלה על דודקהדרון

    נמלה קטנה וחמודה עומדת על קודקוד אחד של דודקהדרון שצלעו a ס"מ. הנמלה מזהה פירור לחם בפינה המרוחקת ביותר של הדודקהדרון ומחליטה לצעוד לכיוונו.

    אם תלך על מקצועות הדודקהדרון תצטרך ללכת 5a ס"מ, ובחום השורר היום זה לא פשוט לנמלה קטנה. האם תוכלו לעזור לה ולמצוא את הדרך הקצרה ביותר האפשרית?

  • עטרה

    פתרון לדודקהדרון

    אם הצורה שהנמלה הולכת עליה היא פאון משוכלל (פירמידה משולשת, קובייה, אוקטהדרון, דודקהדרון, איקוסהדרון), אז מציירים פריסה כלשהי של הפאון, כך שהקטע בין קודקוד המוצא וקודקוד היעד מוכל בפריסה, ומחשבים את אורך הקטע הזה.
    אחרת, יש לבדוק את כל הטיפוסים השונים של פריסות של הפאון.

  • עטרה

    הערה בקשר לניסוח החידה

    במקום "אם הנמלה תלך על פאות הקוביה", צריך להיות "אם הנמלה תלך על מקצועות הקוביה".

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    תודה עטרה

    את צודקת, ותיקנתי את הניסוח.