קבוצת חיילים צועדת בטור ישר לכיוון אחד, במהירות קבועה. אורך הטור הוא קילומטר אחד. 

בסוף הטור צועד שליח וברגע מסוים עליו לרוץ לתחילת הטור כדי למסור הודעה למפקד. מיד אחרי שהוא מגיע לתחילת הטור הוא חוזר בריצה למקומו בסוף הטור. הריצה היא במהירות קבועה.

בזמן שהוא היה בשליחות קבוצת החיילים התקדמה קילומטר אחד בדרך.


אילוסטרציה: שאטרסטוק

 עליכם למצוא: איזו דרך עבר השליח?
 
 

תודה רבה לגולש גד ברט ששלח לנו חידה זו.

מקור החידה אינו ידוע. נשמח אם מישהו מהקוראים יצליח לגלות לנו מי חיבר את החידה.

בהצלחה ושבוע טוב!

פזיה



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

9 תגובות

  • נריה

    הפתרון שלי

    יש פה הרבה נעלמים אבל גם טריק איך להיפטר מהם.
    אני חילקתי את תנועת השליח להלוך וחזור.
    מסמנים U מהירות חיילים, V מהירות שליח.
    ואז מתקבלות שלוש משוואות:
    Vt1=1+Ut1
    Vt2=1-Ut2
    U(t1+t2)=1 חיבור וחיסור של שתי המשוואות הראשונות עם הצבה של U מהשלישית כדי להיפטר מנעלם אחד:
    V(t1-t2)=2
    V(t1+t2)=2+(t1-t2)/(t1+t2) ועכשיו מבודדים את t1-t2 במשוואה הראשונה ומציבים בשנייה:
    V(t1+t2)=2+2/V(t1+t2) וכמו שאנחנו כבר מבינים V(t1+t2) זה בעצם המרחק שעבר השליח. נסמן אותו ב-X, ויצרנו משוואה פשוטה:
    X=2+2/X
    X^2-2X-2=0
    ונשאר לנו פיתרון אחד של sqrt(3)+1
    כלומר 2.73 ק"מ

  • שניר

    הערה לפתרון של רמי

    יש לך שני שוויונים ושלושה נעלמים.
    אני חושב שהשוויון שעשית אינו נכון הוא בכל אופן לא ברור לי כל כך.
    המשוואה הנוספת שיש לצרף כדי לפתור את המערכת צריכה לקשר בין X V U
    למשוואה זו מגיעים כאשר פותרים מערכת משוואות על זמן הצעידה הכולל של השליח בנפרד(t=2X/V) ועל זמן הצעידה של הטור בנפרד(t=1/U) ומשווים בינהם. והמשוואה היא X=V/2U
    ואז אתה ממשיך לפתור כמו שהצעת והפתרון שמתקבל הוא שהמרחק הסופי הוא 3 ק"מ.

  • אבי

    גם לדעתי המרחק הוא 3 ק"מ

    הוא רץ מהר יותר מהם. הוא בנקודה 0 ק"מ הם בנקודה 1 ק"מ. כדי לרוץ לראש הטור, זה 1 ק"מ אם הם לא היו ממשיכים להתקדם. אבל הם התקדמו 1 ק"מ . נניח הם נפגשו ב-1.7 ק"מ. זה ראש הטור. הוא התחיל לחזור, ה"זנב" שלהם נמצא ב-700 מטר. הם הספיקו עוד 300 מטר ( כי הספיקו סה"כ 1 ק"מ ) וה"זנב" שלהם כעת נמצא בק"מ הראשון. זאת נקודת הזמן שבה הוא הגיע ל"זנב" הטור . כלומר הוא רץ 3 ק"מ סה"כ.

  • רמי

    מרחק הריצה

    אם נפגשו ב 1.7, אזי יש לשליח מרחק 0.7 כדי לחזור ולהיפגש עם סוף הטור ב 1.0 .
    כלומר סה"כ 2.4 (=1.7+0.7) למרחק הריצה שלו.
    לא הבנתי איך חישבת שהמרחק הסופי הוא 3.0 ?

  • אבי

    מרחק הריצה

    צודק
    התשובה היא כמובן שורש 2 + 1 כלומר בערך 2.41

  • רמי

    תגובות להערה

    1) אם יש שתי משוואות עם 3 נעלמים כמו למשל 2x=y+z וגם x^2=y+z , ונדרש למצוא את x,
    אזי אפשר להסיק כי 2x=x^2 , ואז ניתן לחשב את x ולא מעניין אותי כלל הנעלמים האחרים.
    2) נראה לי כי בנוסחה הראשונה שלך (t=2X/V) נדרש תיקון, צריך להיות (t=(1+2X)/V) [השליח הולך 1ק"מ ובנוסף הלוך ושוב],.

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    מידע לגבי מקור החידה, מאת רמי

    להלן ממצאי חיפוש ראשוני של מקור חידה 15 : "ריצת השליח" 1) מצאתי צילום של חידות של תחרויות "HIGH School Mathenatics Contests" ממספר שנים (1991-2007) באתר http://teachers.olatheschools.com/ התחרות בה מופיעה חידה דומה לחידה 15 היא מתאריך 31 באוקטובר 1995 . מספר החידה : 1-6. רצ"ב הקובץ של צילום החידות : MLP_test_1.pdf להורדת התמונה:
    http://teachers.olatheschools.com/~pflynnoe/MathTeam/Math%20League%20Press/Past%20tests/MLP_test_1.pdf 2).
    יש מידע על חידה דומה באתר:
    http://mathforum.org/library/drmath/view/52915.html.
    המידע מתאריך 7/11/1995 , ולכן אולי המקור של החידה מהאתר של התחרות שבסעיף הקודם. אמשיך לחפש. אם יהיו חדשות, אדווח. רמי

  • רמי

    פתרון החידה

    נסמן ב V את מהירות השליח במהלך ריצתו, וב U את מהירות קבוצת החיילים.
    נניח כי מהירות השליח גדולה ממש ממהירות טור החיילים.
    נסמן ב X את המרחק בק"מ שהקבוצה עברה עד הגעת השליח למפקדה (שבראש הקבוצה).
    לכן השליח עבר 1+X ק"מ מהרגע המסוים עד הגעתו למפקדה.
    היות והזמנים שווים, אזי מתקיים השוויון (1+X)/V=X/U או (1+X)/X=V/U (להלן שוויון (1))
    בהמשך השליח חוזר את המרחק X , בעוד הטור נע מרחק 1+X- עד ל 1 ק"מ.
    היות והזמנים שווים, אזי מתקיים השוויון (1-X)/U=X/V או X/(1-X)=V/U (להלן שוויון (2))
    פתרון מערכת שוויונים (1) ו- (2) (1+X)/X= X/(1-X) ייתן את (2) X=1/sqrt .
    היות והשליח עבר מרחק של 2+1*X ק"מ מנקודת ההתחלה בסוף הטור, הגעה לראש הטור ועד חזרתו אליו. נקבל שהמרחק בק"מ הוא
    2.414213562 = 1 + (2) sqrt

  • נריה

    אי אפשר להזניח את מהירות החיילים

    יש פתרון שלי למעלה שלא מזניח.