שלום לכם,

אני מקווה שהחג עבר עליכם בנעימים!

כל הכבוד על פתרון התרמית בחידה הקודמת – חשבתי שאצליח להשאיר אתכם פעורי פה וחסרי תשובה, אבל אתם טובים מדי וכנראה אצטרך לעבוד בשביל זה קשה יותר.

לכבוד השנה החדשה התחלנו מחדש את ספירת החידות ושוב אנחנו בחידה מספר 1, הפעם לשנת תשע"ד.
בחרתי לפתוח את השנה בחידה "ירוקה". אתם מוזמנים להמציא לה ברכה מתאימה ("נוטלים חידה ירוקה ומברכים: יהי רצון ... [המשיכו]").

והנה החידה:

"מספר ירוק" הוא מספר השווה לסכום של מספרים שלמים עוקבים. למשל 10 הוא מספר ירוק כי:   1+2+3+4=10.

עליכם למצוא כמה מספרים ירוקים יש בין 1,000 ל-2,000.

בהצלחה!

סקובידו



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה
.

45 תגובות

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    פתרון מנומק של החידה - נשלח על ידי צבי מילר

    (מתפרסם באיחור קל ;))

    כל מס' אי זוגי הינו ירוק- חלקהו בשתיים והרכב אותו מרצף הספרות של למטה ולמעלה מהתוצאה כמו בדוגמה של 15 7+8=15.
    כמו כן, כל מס' שמתחלק במס' אי זוגי כלשהו הוא ירוק לדוגמה: 10 מתחלק ב-5 ותוצאת החלוקה היא 2 לכן 2 באמצע, 3,4 ממעל, 0 -ו1 מלמטה - 0+1+2+3+4=10.
    ובמקרה הכללי - מס' שמתחלק במס' אי זוגי X ותוצאת החלוקה Y - הרצף שנותן את המס' הוא
    Y-((x-1)/2)+...Y+ ((x-1)/2)=
    לפעמים חלק מהמס' שליליים אך הם מתקזזים עם המס' החיוביים המקבילים. בקיצור, כל המס' ירוקים חוץ מהחזקות של 2:  1024, 2048 וכו'

  • אייל

    לעטרה

    לגבי התשובה האחרונה שלך מהשרשור מטה.

    C*=A+B מציין את מספר המחוברים בסדרה שיש לה מספרים

    שליליים. את מייצרת באמצעותו מחלק חדש. מניין לך שלא תצוץ

    איזו שהי סדרה אחרת של טבעיים עם *C מחוברים ונתאים אותה

    "בשוגג" לאותו מחלק שכבר השתמשנו בו?

    גם לא ניתן להסתמך על הניתוח שלך לגבי שלמים מאתמול ב 19:59

    כי הוא מסתמך על הניתוח לגבי הטבעיים שאיננו סגור.

    למרות כל זאת נראה לי אינטואיטיבית שאת צודקת רעיונית לגבי

    הקשר בין המחלקים האי-זוגיים לסדרות. רק הדרך להוכחה עדיין

    לא ברורה לי באופן חד משמעי.

  • אייל

    מספר הסדרות

    דרך אגב, במאמר שהבאתי בעבר,

    http://www.fq.math.ca/Scanned/39-3/nyblom.pdf

    יש משפט (2.1) הטוען שמספר הסדרות קטן באחד ממספר

    המחלקים האי-זוגיים (בעמוד השלישי למעלה).

  • עטרה

    מספר ההצגות של מספר שלם Z כסכומים של מספרים שלמים עוקבים

    אם Z=0, אז יש אינסוף הצגות של Z כסכומים של מספרים שלמים עוקבים. אם Z שונה מאפס, נסמן (N=abs(Z. אז N הוא טבעי. ראינו שמספר ההצגות של מספר טבעי N כסכומים של מספרים טבעיים עוקבים שווה למספר המחלקים האי-זוגיים שלו. כל מחלק אי-זוגי Di מתאים לזוג מספרים טבעיים Ai,Bi, כך שסכום המספרים הטבעיים מ-Ai עד Bi הוא N. נגדיר: Ci=1-Ai. המספר Ci הוא מספר שלם, ואינו מספר טבעי. סכום המספרים השלמים מ-Ci עד Bi הוא N. לכל מספר שלם Ei, אם Ei שונה מ-Ai ומ-Ci, אז סכום המספרים השלמים מ-Ei עד Bi שונה מ-N. לכן, כל מחלק אי-זוגי Di מתאים בדיוק לשתי הצגות של N כסכומים של מספרים שלמים עוקבים. לכן, מספר ההצגות של N כסכומים של מספרים שלמים עוקבים שווה לפעמיים מספר המחלקים האי-זוגיים של N. אם Z הוא חיובי, אז Z=N. אם Z הוא שלילי, אז קיימת התאמה טבעית בין ההצגות של N ובין ההצגות של Z. לכן, גם מספר ההצגות של Z כסכומים של מספרים שלמים עוקבים שווה לפעמיים מספר המחלקים האי-זוגיים של N. לסיכום, מספר ההצגות של מספר שלם Z, שונה מאפס, כסכומים של מספרים שלמים עוקבים, שווה לפעמיים מספר המחלקים האי-זוגיים של (abs(Z.

  • עטרה

    מספר ההצגות של מספר טבעי N כסכומים של מספרים טבעיים עוקבים

    נניח תחילה, שהצגה של N בתור סכום היא חוקית, גם במקרה שהסכום מכיל מחובר אחד בלבד. תחת הנחה זו, כל מספר הוא "מספר ירוק".
    יהא N מספר טבעי. יהיו D1,...,Dk המחלקים האי-זוגיים של N. לכל מחלק Di, נסמן: Ai=abs(N/Di-(Di-1)/2), Bi=N/Di+(Di-1)/2. סכום המספרים מ-Ai עד Bi הוא N. לכן, כל מחלק אי-זוגי Di מתאים להצגה חוקית כלשהי. אם Di,Dj הם שונים, אז הביטוי (Dj-Di) שונה מאפס. בנוסף, N הוא טבעי, Di,Dj הם אי-זוגיים, ולכן גם הביטוי (Bi-Bj = (Dj-Di)*(N/(Di*Dj)-0.5 שונה מאפס. לכן, Bi,Bj שונים זה מזה. לכן, כל שני מחלקים אי-זוגיים שונים של N מתאימים להצגות חוקיות שונות. קיבלנו, שמספר ההצגות החוקיות השונות שווה למספר המחלקים האי-זוגיים של N.

    מאופן ניסוח החידה משתמע, שסכום שמכיל מחובר יחיד אינו סכום חוקי. לכן, כעת נניח, שהצגה של N בתור סכום היא חוקית, רק כאשר הסכום מכיל יותר ממחובר אחד.
    עבור המחלק האי-זוגי D=1 מתקבל סכום שמכיל מחובר יחיד, והוא אינו חוקי. לכן, מספר ההצגות החוקיות השונות שווה למספר המחלקים האי-זוגיים של N, פחות 1.
    אם N הוא חזקה כלשהי של 2 (כולל 2^0=1), אז אין לו מחלקים אי-זוגיים מלבד 1, ולכן מספר המחלקים האי-זוגיים שלו פחות 1 הוא 0, ולכן לא ניתן להציג אותו כסכום חוקי, ולכן הוא אינו "מספר ירוק".
    אחרת, יש ל N מחלקים אי-זוגיים מלבד 1, ולכן מספר המחלקים האי-זוגיים שלו פחות 1 הוא חיובי, ולכן ניתן להציג אותו כסכום חוקי, ולכן הוא "מספר ירוק".

  • אייל

    לא מסתדר

    לפי הנוסחאות עבור Ai, Bi במקרה של N=22,

    D1=11 נותן את הסדרה: 3+4+5+6+7=25.

  • אייל

    מחלקים אי-זוגיים

    הרעיון של מחלקים אי-זוגיים נשמע טוב יותר מגורמים ראשוניים

    כי הוא מייצר יותר אפשרויות הצגה. עדיין לא ברור מדוע כך נוצרות

    כל ההצגות האפשריות. כלומר שישנו זיווג טוב בין כל ההצגות

    האפשריות לכל המחלקים האי-זוגיים. זיווג טוב אומר שלכל אחד

    מכאן יש פרטנר יחיד משם וההפך.

  • עטרה

    תיקון הטעויות

    א) לכל מחלק אי-זוגי Di, נגדיר:
    Ti=N/Di-(Di-1)/2
    {Ai=max{Ti,1-Ti
    Bi=N/Di+(Di-1)/2

    ב) יהיו Ai,Bi מספרים טבעיים, כך שסכום המספרים הטבעיים מ-Ai עד Bi הוא N. מספר המחוברים בסכום הוא Bi-Ai+1. אם הוא אי-זוגי, אז נגדיר Di=Bi-Ai+1. אם הוא זוגי, אז נגדיר Di=Bi+Ai. המספר Di הוא מחלק אי-זוגי של N. קיבלנו, שכל הצגה של N כסכום של מספרים טבעיים עוקבים מתאימה למחלק אי-זוגי של N. בנוסף, לפי מה שכתוב למעלה, כל מחלק אי-זוגי Di מתאים להצגה כלשהי. לכן, מספר ההצגות השונות שווה למספר המחלקים האי-זוגיים של N.

  • אייל

    בעיה

    נניח שנתון N ועבורו מצאנו D1=B1-A1+1 שהוא אי-זוגי.

    בנוסף מצאנו B2-A2+1 זוגי ולכן נגדיר D2=B2+A2.

    האם יתכן D1=D2? כי אם כן, זה אומר שישנן שתי סדרות

    המתאימות למחלק ספציפי וזה משפיע על מניית הסדרות.

    דבר נוסף, גם 1 מחלק אי-זוגי של N וגם N מחלק של עצמו.

    האם הם נחשבים?

  • עטרה

    פתרון

    לכל מחלק אי-זוגי Di, הערכים Ai,Bi נקבעים באופן יחיד. לכן, לא קיימים שני זוגות שונים (Ai*,Bi*), (Ai,Bi) המתאימים למחלק אחד. לכן, לא קיימות שתי הצגות שונות של N כסכומים של סדרות של טבעיים עוקבים, ששתיהן מתאימות למחלק אחד.

    המחלק קובע את מספר המחוברים בסכום. מאופן ניסוח החידה משתמע, שסכום שמכיל מחובר יחיד אינו סכום חוקי. לכן, המחלק D=1 אינו נחשב. כל שאר המחלקים האי-זוגיים, כולל N עצמו, נחשבים.

  • אייל

    מסדרות למחלקים.

    אם הבנתי נכון, את מסבירה כיצד מגיעים ממחלקים לסדרות.

    צריך להראות באופן חופשי שאם בוחרים שתי סדרות טובות,

    אז הן מגדירות שני מחלקים שונים.

  • עטרה

    מסדרות למחלקים.

    הגדרנו פונקציה בין המחלקים והסדרות. לכל מחלק מתאימה סדרה אחת. לכן הפונקציה מוגדרת היטב. כל שני מחלקים שונים מתאימים לשתי סדרות שונות. לכן הפונקציה היא חד-חד-ערכית. לכל סדרה קיים מחלק שמתאים לה. לכן הפונקציה היא על הטווח. פונקציה, שהיא חד-חד-ערכית ועל הטווח, היא הפיכה, וגם הפונקציה ההפוכה היא חד-חד-ערכית ועל הטווח שלה. אם הפונקציה ההפוכה היא חד-חד-ערכית, אז כל שתי סדרות שונות מתאימות לשני מחלקים שונים.

  • אייל

    בהירות

    קצת קשה דרך המדיה להראות היכן הניסוח שרשמת לא מסתדר. הרושם הוא שאת הולכת כל הזמן מהמחלקים לסדרות אך לא להפך באופן בלתי תלוי. ההשלמה שהייתי רוצה לראות מבחינה מתמטית היא בסגנון הנקי הבא: נניח שיש לנו שתי סדרות שונות של טבעיים עוקבים שסכומן שווה. אז יש לנו דרך ישירה למצוא מהן שני מחלקים שונים לסכום (של אחת מהן). כבר הראית שיש העתקה חד-חד ערכית מהמחלקים לסדרות. אבל מהי ההעתקה החד-חד ערכית מעולם הסדרות לעולם המחלקים. שימי לב שבגישה הזו אפילו הסדרה יוצרת את הסכום שלה ולא להפך. חוץ מיזה נראה לי שאת עושה ממש עבודה ראויה. אהבתי.

  • עטרה

    העתקה חד-חד-ערכית מעולם הסדרות לעולם המחלקים

    תהא S סדרה של מספרים טבעיים עוקבים. נסמן את האיבר הראשון והאיבר האחרון של הסדרה על ידי A ו-B בהתאמה. מספר האיברים בסדרה הוא C=B-A+1.
    אם C הוא אי-זוגי, אז נגדיר D=C. האיבר האמצעי בסדרה הוא P=(B+A)/2. מתקיים N=DxP. לכן D הוא מחלק אי-זוגי של N.
    אם C הוא זוגי, נעבור לסדרה המתאימה בשלמים (ראה הסבר בתגובה שלמעלה). נגדיר A*=1-A. מספר האיברים בסדרה הוא C*=B-A*+1. הנחנו ש-C הוא זוגי, ולכן *C הוא אי-זוגי. נגדיר *D=C. האיבר האמצעי בסדרה הוא P*=(B+A*)/2. מתקיים *N=DxP. לכן D הוא מחלק אי-זוגי של N.
    קיבלנו העתקה מעולם הסדרות לעולם המחלקים. לפי התגובה הקודמת, העתקה זו היא חד-חד-ערכית.

  • עטרה

    הערה בקשר לניסוח החידה

    אם מרשים שהסכום יכיל רק מחובר אחד, אז כל מספר הוא מספר ירוק.

  • אייל

    הגדרה

    נראה שאת מתכוונת לכך שכל מספר *שלם* הוא ירוק.

    ...לכן חשוב להגדיר את הבעיה בצורה ברורה וחד משמעית.

    המילה סכום והמילה מספרים בניסוח החידה גורמים להבנה

    שמדובר ביותר ממספר אחד. התפתח פה דיון יותר משמעותי

    על כך שאולי מדובר במספרים טבעיים ולא רק במספרים שלמים.

    נראה לי שכדאי שמישהו מצוות ההדרכה יתערב.

  • אייל

    מספרים משולשיים

    מספר משולשי הוא סכום של טבעיים עוקבים החל מהמספר 1.

    למשל, המספר המשולשי השלישי: T3 = 1+2+3.

    סכום של טבעיים עוקבים הוא בעצם הפרש בין שני מספרים משולשיים.

    דוגמא: 3+4+5 = T5 - T2.

    יש פרוט על מספרים משולשיים בויקיפדיה.

    ראינו כבר שאי אפשר להביע חזקה של 2 באמצעות סכום של טבעיים עוקבים.

    עדיין לא ברורה לי הדרך הפשוטה להוכחה שכל מספר טבעי אחר

    כן ניתן להבעה כהפרש של שני מספרים משולשיים.

    יש מאמר לא פשוט בעניין באנטרנט:

    http://www.fq.math.ca/Scanned/39-3/nyblom.pdf

  • רמי

    הוכחה פשוטה

    הגדרתי תהליך למציאת סדרת מספרים עוקבים שסכומן מספר טבעי ב "הצגת מספרים ירוקים בתחום הטבעיים" ואח"כ ההשלמה "נכון. נדרש שיפור התהליך.".
    אם אוכיח כי יש התאמה לכל מספר טבעי אזי המעבר למספר משולשי אינו קשה.
    נניח V מספר טבעי כך ש V = m1^j1*m2^j2*...*mi^ji*2^j0
    בה"ה נניח כי m1 הקטן מבין כל ה m-ים וגם נניח כי i>0 (כלומר המספר V אינו חזקה של 2).
    נבחר את מספר האברים בסידרה להיות m1
    נבחר את המספר V/m1-(m1-1)/2 להיות המספר הראשון בסדרה (תמיד שלם).
    כעת ניצור m1 מספרים עוקבים מהמספר הראשון V/m1-(m1-1)/2 ונראה כי סכומם יהיה V.
    כל איבר יהיה מהצורה V/m1-(m1-1)/2+Xd כש d מתחיל ב 0 ומסתיים ב m1-1
    סכום כל m1 המספרים העוקבים נותן m1 פעמים של V/m1 ששווה V,
    סכום m1 פעמים של m1-1)/2)-
    וסכום סדרה מ 1 ועד m1-1 ששוה ל m1*(m1-1)/2
    שני הסכומים האחרונים מתקזזים ונשאר רק V.
    יש לדייק לגבי המצב בו המספר הראשון שלילי,
    סיכום : נראה לי כי מספיק שמגדירים דרך אחת אך ליצור לכל מספר טבעי שאינו חזקה של 2, סדרת מספרים טבעית עוקבת שסכומה הוא המספר עצמו, כדי להוכיח קיום. ובפרט עבור מספרים משולשיים.
    במקרה שלנו נסמן את האיבר הראשון f1 ואחרון (f(m1-1 ולכן הראתי איזה שני משולשיים צריך כדי לקבל מספר טבעי V ע"י הפרשם : המשולשיים (T(f1-1 ו ((T(f(m1-1

  • אייל

    דברי סיכום

    קראתי גם את הדוגמאות שכתבת מטה. זה נראה הרבה יותר טוב

    וברור. בעצם יש כאן שלושה עניינים חשובים.

    הראשון הוא ההסבר מדוע לחזקות של 2 אין הצגה כמבוקש.

    השני מציאת ההצגה המבוקשת כאשר a>0 או a=0.

    השלישי מציאת ההצגה המבוקשת בעזרת b=1-a כאשר a

    עדיין צריך להראות הוכחות באותיות למקרים כללים במקום דוגמאות

    מספריות על מנת להבטיח שזה יעבוד בכל מקרה. אני לא בטוח

    שניתן לעשות את זה במדיה הזו בצורה טובה. בכל אופן הכיוון

    נראה די טוב ומבטיח.

    לגבי מספרים משולשיים, הרעיון הוא להשתמש בידע לגביהם על

    מנת להוכיח שקיימת הצגה כמבוקש. ברור שאם כבר קיימת הצגה

    כמבוקש, המעבר למספרים משולשיים מיידי ובעצם אין להם תרומה.

  • אייל

    הגדרת מספר ירוק

    לפי ההגדרה בחידה, כל מספר שלם הוא ירוק

    לפי הדוגמא: 4=4+3+2+1+0-1-2-3.

    אם כך, אין עניין מתמטי בהגדרה או שמדובר בחידה טריקית.

    אולי הכוונה שמספר ירוק הוא מספר טבעי שניתן להציג אותו

    כסכום של סדרת מספרים טבעיים עוקבים.

  • רמי

    ברכה עם חידה ירוקה

    נוטלים חידה ירוקה ומברכים: יהי רצון שהשנה הבאה עלינו תהא מלאה חידות צבעוניות, אתגריות ומשובבות נפש.

  • רמי

    הצגת מספרים ירוקים בתחום הטבעיים

    על פי השערת עדי כי "אפשר להציג כל מספר כסכום של עוקבים (בתחום הטבעיים) חוץ ממספרים שאין להם גורמים אי זוגיים שהם רק החזקות של 2", להלן תהליך מציאת סדרת מספרים עוקבים טבעיים לכל מספר טבעי שאיננו חזקה של המספר 2 (*).

    כל מספר טבעי ניתן לפרוק לכפולות של מספרים ראשוניים.
    יהיה המספר טבעי T = m1*m2*...*mi*2^j
    בה"ה נניח כי m1 הקטן מבין כל ה m-ים וגם נניח כי i>0 (כלומר המספר T אינו חזקה של 2).
    נבחר את מספר האברים בסידרה להיות m1
    נבחר את המספר T/m1-(m1-1)/2 להיות המספר הראשון בסדרה.
    כעת צרו m1 מספרים עוקבים מהמספר הראשון T/m1-(m1-1)/2 וסכומם יהיה T.

    (*) - בתשובתי "כל הכבוד! אתה ממש צודק!" הוכחתי כי מספרים טבעיים שהם חזקה של 2 אינם ירוקים בתחום הטבעיים.

  • אייל

    לא מסתדר

    למשל 14=2*7. לפי השיטה הזו נקבל: 14=5+4+3+2+1+0-1.

    כלומר, שיש מספרים שליליים שמשתתפים בפרוק.

  • רמי

    נכון. נדרש שיפור התהליך.

    אפשר להשתמש ברעיון של עדי לקיזוז:
    1) אם, בחישוב המספר הראשון, מקבלים מספר שלילי a, המספר הראשון יהיה הערך החיובי של המספר השלילי פלוס 1 : a+1- .
    מספר המספרים שיש לחבר יהיה כעת : m1+2*a-1 .
    2) אם מתקבל מספר חיובי, התהליך ישאר כמות שהוא.

  • אייל

    פרוט

    אני לא בטוח שהבנתי, מבקש דוגמאות במספרים הממחישות

    בפשטות את השיטה (גם במקרה הכללי).

  • רמי

    דוגמאות

    1) נקח את הדוגמא של המספר 14 שאייל הציג.
    נפרק את 14 לגורמיו : 7*2=14
    הגורם הקטן ביותר הגדול מ 2 הוא 7.
    המספר הראשון a על פי הנוסחה :a = T/m1-(m1-1)/2 , כש 14=T , ו- 7=m1, ונקבל 1-=a
    היות והמספר הראשון הוא שלילי, הערך החיובי שלו 1, נוסיף 1 נקבל 2.
    2 הוא המספר הראשון בסדרת המחוברים.
    מספר המחוברים על פי הנוסחה m1-2*(-a)-1 הוא 4.
    לכן המספרים העוקבים שיש לחברם הם 2+3+4+5=14

    2) דוגמא נוספת 202
    202=101*2
    הגורם הקטן ביותר הגדול מ 2 הוא 101.
    המספר הראשון a על פי הנוסחה :a = T/m1-(m1-1)/2 , כש 202=T , ו- 101=m1, ונקבל 48-=a
    היות והמספר הראשון הוא שלילי, הערך החיובי שלו 48, נוסיף 1 נקבל 49.
    49 הוא המספר הראשון בסדרת המחוברים.
    מספר המחוברים על פי הנוסחה m1-2*(-a)-1 הוא 4.
    לכן המספרים העוקבים שיש לחברם הם 49+50+51+52=202

    3) נקח את הדוגמא של המספר 21 .
    נפרק את 21 לגורמיו : 7*3=21
    הגורם הקטן ביותר הגדול מ 2 הוא 3.
    המספר הראשון a על פי הנוסחה :a = T/m1-(m1-1)/2 , כש 21=T , ו- 3=m1, ונקבל 6=a
    היות והמספר הראשון הוא חיובי, נמשיך עימו.
    כלומר 6 הוא המספר הראשון בסדרת המחוברים.
    מספר המחוברים במקרה הכללי הוא m1=3 .
    לכן המספרים העוקבים שיש לחברם הם 6+7+8=21

  • עדי

    אפשר לקזז אותם

    אפשר להוריד את המספרים מ-1- עד 1 ויישארו רק מספרים טבעיים במקרה הזה זאת אומרת שמכפילים את המספר הראשון ב 1- ומוסיפים 1 ואורך הסדרה קטן במספר הראשון כפול 2- ומוסיפים 1

  • דרור

    1504 הוא מספר ירוק

    הסכום מ9 ועד 55 שווה ל 1504

  • רמי

    אתה צודק

    טעיתי בקשר למספר 1504, הוא באמת ירוק.
    לעומת זאת, בדקתי וגיליתי כי 1024 הוא היחיד שאינו ירוק עבור המספרים הטבעיים בתחום בין 1000 ל 2000.

  • דרור

    לפי הבדיקה שלי גם 1888 הוא ירוק

    ויחד עם 1024 אלו הם שני המספרים הירוקים היחידים שמצאתי
    גמר חתימה טובה!
    דרור

  • רמי

    האם צבעו של 1024 ירוק בתחום המספרים הטבעיים ?

    אם הוא ירוק, מהם המספרים הטבעיים העוקבים שסכומם הוא 1024 ?
    אני לא מצאתי מספרים כאלה.
    עבור מספרים שלמים להלן הסכום:
    1021-1022-1023-...1-0-1-2-3+...1024+1023+1022 = 1024

  • יאיר

    חידה שבועית

    אני מאוד התעניינתי בזה אבל בקשה רשמו את התשובה כדי שנדע ונלמד חומר חדש בברכה יאיר

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

  • רמי

    חידת הרחבה 1

    הגדרה : "מספר ירוק מסדר P" הוא מספר השווה לסכום של תת סדרת מספרים חשבונית שהפרשה P .
    ( a+(a+p)+(a+2*p)+(a+3*p)+...+(a+(k-1)*p

    המספר הירוק המקורי הוא מספר ירוק מסדר 1.

    למשל 21 הוא מספר ירוק מסדר 4 כי: 3+7+11=21.
    וגם מסדר 3 : 4+7+10=21

    נסמן ב (Gp(a,z את מספר המספרים הירוקים מסדר p שיש בין המספר a למספר z.
    החידה המקורית היתה למצוא את הערך של (G1(1000,2000

    חידה 1:
    מיצאו p כך שיתקיים (p=Gp(1000,2000

  • רמי

    תיקון חידת הרחבה 1

    בחידת הרחבה 1 הכוונה למספרים טבעיים בלבד ולא לכל השלמים.
    כלומר יש למצוא מספרים ירוקים מסדר P הבנויים ממספרים טבעיים בלבד.

  • עטרה

    תוספת לחידת הרחבה 1

    שאלה מעניינת. לא היה לי זמן לחשוב על זה.
    רציתי רק להעיר, שכאשר הפרש הסדרה הוא 3 ומעלה, מעניין לבדוק את החידה גם עבור סכומים של שלמים, ולא רק עבור סכומים של טבעיים.

  • רמי

    תשובה

    994 מספרים בין 1000 ל 2000 הם ירוקים.
    דוגמאות:
    המספר 1155 ניתן לייצוג כמספר ירוק ב 15 ייצוגים שונים כגון : 577+578=384+385+386=47+48+...+7+8=1155
    יש מספרים ירוקים בתחום עם ייצוג אחד בלבד : 1154=287+288+289+290
    יש מספרים שאינם ירוקים : 1504 למשל.

  • רמי

    תיקון התשובה

    למעשה כל המספרים השלמים בתחום הפתוח (1000,2000) הם מספרים ירוקים.
    הוכחה:
    נראה דוגמה לכל מספר.
    יהא X מספר בתחום הנ"ל.
    נסתכל על סדרת המספרים השלמים העוקבים מהמספר (X-1)- ועד X .
    סכום המספרים מ (X-1)- עד (X-1) שווה ל 0 (המספר השלילי מקזז את החיובי), ולכן סכום כל המספרים הנ"ל מ (X-1)- עד X הוא X.

  • רמי

  • דרור

    המספרים שאינם ירוקים הם

    1024 ו 1888

  • רמי

    1024 כן, 1888 לא

    1024 - גם אני חושב הוא אינו ירוק (בין הטבעיים).
    4+3+...+61=1888

  • עדי

    חזקות של שתיים

    אני חושב שאפשר להציק כל מספר כסכום של עוקבים (בתחום הטבעיים) חוץ ממספרים שאין להם גורמים אי זוגיים שהם רק החזקות של 2

  • רמי

    כל הכבוד! אתה ממש צודק!

    הוכחת ההשערה שלך שאין מספר ירוק טבעי שהוא חזקה של 2:
    מספר ירוק טבעי הוא סכום k מספרים עוקבים מ a טבעי ועד a+k-1 .
    כלומר המספר שווה ל : k*(2a+k-1)/2
    כדי שהסכום יהיה שווה לחזקה של 2 , כל הכפולות אמורות להיות חזקה של 2. לכן בפרט k.
    אך אם k זוגי , אז (2a+k-1) אינו זוגי
    ולכן אין מספר ירוק טבעי מהצורה של 2 בחזקה טבעית כל שהיא.
    מ.ש.ל.

  • עדי

    דרך

    אם מתייחסים רק לטבעיים מה הדרך לתשובה?

  • רמי

    דרך לפתרון

    מסמנים מספר ירוק כללי :
    a - המספר הטבעי הראשון
    k - מספר האיברים
    ((a+(a+1)+(a+2)+...+(a+(k-1
    מרכזים את האברים המשותפים ע"י פתיחת סוגריים.
    פותרים את שני אי השיוויונים:
    B > 1000
    B מספר התשובות השונות האפשריות הוא הפתרון.