השבת בפתח, ואמא של חנה'לה מדליקה שני נרות. הנרות אינם זהים: לפי נתוני היצרן, הראשון דולק A דקות והשני B דקות. A גדול מ- B והנרות מתקצרים בקצב אחיד.
האם מדליקה את שני הנרות בו-זמנית.

לאחר כמה דקות יהיה היחס בין אורכי הנרות A/B?


הדלקת נרות | צילום: פזיה מילר

תודה לדן על משלוח החידה.

בהצלחה!

פזיה



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

17 תגובות

  • רמי

    פתרון

    נסמן נר שבוער A דקות באות א', ונר שבוער B דקות באות ב'.
    ללא הגבלת הכלליות נסמן את גובהו של נר א' ב 1 ואת גובהו של נר ב' ב h (נר ב' גבוה מנר א' פי h). אם הם שווים בגובהם, אזי h=1 .
    נדרוש ש h>=B/A, אחרת היחס לעולם לא יגיע.
    אזי הזמן שיעבור מרגע הדלקת הנרות ביחד, ועד שיחס גובהם יהיה A/B הוא הערך הבא :
    A*B*(B-h*A)/(B^2-h*A^2) לדוגמא כאשר A=5 , B=4 , h=1 (כאן הנרות באותו הגובה)
    נקבל כי כעבור 2:13 דקות היחס בין הגבהים יהיה 5/4

  • יהונתן גורן

    מהיכן הסקת שהנר ב' יותר גבוהה

    נתון שרק הזמן יותר גבוהה

  • רמי

    לא קבעתי מי גבוה יותר!

    ההערה "נר ב' גבוה מנר א' פי h" מתארת את יחס הגבהים בין הנרות. הערך של h לא נקבע לגמרי, רק תחום ההגדרה נקבע : h>=B/A .
    אם h>1 אז אכן נר ב' גבוה מנר א'
    אך אם h<1 אז נר א' גבוה מנר ב' .

  • רמי

    המשך הפתרון

    עבור h>=A/B , הזמן שיעבור מרגע הדלקת הנרות ביחד, ועד שיחס גובהם יהיה A/B כאשר היחס מחושב כאורך נר ב' חלקי אורך נר א', הוא הערך הבא :
    (A-h*B)/(1-h) לדוגמא כאשר A=5 , B=4 , h=2 (כאן נר ב' גבוה פי 2 מנר א')
    נקבל כי כעבור 3:00 דקות היחס בין הגבהים (בין נר ב' לנר א') יהיה 5/4 .

  • יהונתן גורן

    אולי התשובה היא זאת

    מכיוון שנתון שההתקצרות שלהם היא אחידה לכן
    ההתקצרות של הראשון היא HA/A (גובה/זמן)
    ההתקצרות של השני היא HB/B (גובה/זמן)
    ומכיוון שנתון שאורך ההתקצרות שווה לכן HA/A=HB/B
    וכשמזיזים אגפים מגיעים ל- A/B=HA/HB
    ומכיוון שהיחס בגובה שלהם זהה כל הזמן כי הם מתקצרים באופן אחיד - לכן כל הזמן היחס נשאר זהה עד שהנר השני נגמר ונהיה אפס

  • דוד.ו.

    יהונתן זאת התשובה שלי :))

    תסתכל בתגובה -''נסיון אחרון ''

  • יהונתן

    אופס לא שמתי לב - בכל אופן במחשבה שניה היא לא נכונה

    לדעתי חסרים נתונים - כי הוונה בקצב אחיד - זה להוציא קצב משתנה - אבל לא בהכרח שהם מתקצים באותו קצב אלא כל אחד בקצב שלו ומה שאומרים פה שהוא אחיד ולא גדל ...
    ולכן חסרים נתונים לדעתי

  • דוד.ו.

    נסיון אחרון

    בגלל שהנרות מתקצרים בקצב אחיד זה מחייב שיש להם אותו שטח חתך ואם האורך של הנר הראשון הוא X ויש לו A דקות לדלוק
    ואורכו של הנר השני הוא Y ויש לו B דקות לדלוק
    אזיי הנר הראשון כל דקה מתקצר X/A
    והנר השני בכל דקה מתקצר Y/B
    ובגלל שהם מתקצרים בזמן קבוע אפםשר לומר ש-
    X/A=Y/B ואם נשחק נפתח את המשוואה נגיע ש-
    X/Y=A/B - שזה מה שאנחנו רוצים להוכיח , לכן מה שנראה לי הוא ש X=A ו- B=Y
    ובכל זמן נתון היחס בניהם נשאר שווה חוץ מהרגע שB נגמר ואז היחס הוא אינסוף. אם עדיין זה לא הפתרון אז כניראה שנכנסתי יותר מידיי לעומק והתשובה היא פשוטה יותר :)

  • דוד .ו.

    פתרון אחר

    רק ברגע ש T=0 היחס בין הגבהים יהיה שווה ליחס בין הזמנים לאחר מיכן היחס כל הזמן גודל

  • אוהד ניר

    זה בהנחה ששטח החתך של שני הנרות זהה.

    אתה יכול לראות את זה אצלי בתוצאה, שאם תציב sa=sb, תקבל t=0

  • דוד .ו.

    אז עדיין אתה לא מדוייק

    אתה צודק אבל לא הכנסת לנוסחא שלך האם מדובר באותו החומר שהביערה של נר א' מכלה אותו שטח כמו הבעירה של נר ב' אולי הנר הראשון עשויי משעבה שנשרפת בקלות והנר השני עשיויי בשעבה חזקה שלוקח לה זמן לבעור ,
    בקיצור לא נראה לי שהם התכוונו שניכנס כל כך לעומק ואם כן אז חסר נתונים :)

  • אוהד ניר

    בגדול אתה צודק, אבל פתרון t=0 נשמע לי טריוויאלי מדי

    דרך אגב, לגבי השינוי שהצעת להכניס, אז זה לא כל-כך מסובך להכניס אותו, במקום k אחד שהזנתי לשני הנרות, אפשר להגדיר ka לנר A, ו- kb לנר B, ולפתח מחדש, ותצא התוצאה הבאה: va*(sa-sb)*vb
    ----------------------------
    kb*va*sa-ka*vb*sb

  • אוהד ניר

    פתרון

    שטח החתך של הנרות זהה לכל גובה של הנר, דבר שנובע מכך שהנרות מתקצרים באופן אחיד.
    שטח החתך של נר A יהיה sa, ושטח החתך של נר B יהיה sb.
    ולכן נפח ההתחלתי של נר A יהיה sa*ha, והנפח ההתחלתי של נר B יהיה sb*hb.
    כאשר הגובה של נר A הינו ha, והגובה של נר B הינו hb. הנר דולק בקצב אחיד, והוא מכלה נפח של K ליחידת זמן t.
    ולכן, הגובה כפונקציה של הזמן עבור נר A, הינו: ha*sa-kt
    ------------
    sa והגובה כפונקציה של הזמן עבור נר B, הינו: hb*sb-kt
    ------------
    sb ומכיוון ש- A/B פרופ' ליחס הנפחים: ha*sa/hb*sb, אז כדי למצוא את הזמן שבו יחס הגבהים הרגעי יהיה שווה ליחס הנפחים ההתחלתיים, יש לדרוש כי: (ha-kt/sa)
    --------------
    (hb-kt/sb) יהיה שווה ל: ha*sa
    --------
    hb*sb ולראות עבור איזה t זה מתקיים. ויצא לי כי השיוויון מתקיים עבור ה- t הבא: ha*hb*(sa-sb)*sa*sb
    -----------------------------
    k(ha*sa²-hb*sb²)

  • אוהד ניר

    אפשר גם להציג את הפתרון הסופי כך:

    va*(sa-sb)*vb
    --------------------
    k*(va*sa-vb*sb)

  • דן-1

    הערה לדוד ואוהד

    נסו לחשוב למשל על 2 נרות שאחד דולק 4 דקות והשני 5 דקות.לאחר כמה זמן יהיה אורכו של השני פי 3 מהראשון.???

  • אוהד ניר

  • דן-1