שלום לכם,

במטבח של גברת ריקה נמצאת אריזת חלב גדולה מאוד. השכן שלה, מושון, מבקש ממנה ליטר חלב אחד. גברת ריקה, אישה נדיבה וגומלת חסדים, רוצה מאד לתת למושון את מבוקשו, אבל יש לה בעיה: על אריזת  החלב לא כתוב כמה ליטרים של חלב יש בה. הכלים היחידים שיש לה הם בקבוקים של 3 ליטר ושל 5 ליטר.

איך תוכלו לדאוג שבאחד הכלים יהיה ליטר אחד בדיוק של חלב?

                                   

שבוע טוב!

סקובידו


הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

29 תגובות

  • עטרה

    חידת 6,10,15

    יש לי שלושה בקבוקים. הנפחים שלהם הם 6 ליטר, 10 ליטר, 15 ליטר.
    מהו מספר המהלכים הקטן ביותר, שבעזרתו אפשר למדוד 23 ליטר?

  • רמי

    תשובה ל 6-10-15

    מצאתי תהליך ב 8 מהלכים :

    6 10 15
    =======
    0 0 15
    0 10 5
    0 0 5
    6 0 5
    0 0 11
    6 0 11
    0 6 11
    6 6 11

  • עטרה

    יפה. המינימום זה 7 מהלכים.

    יש 45 פתרונות אופטימליים. מתוכם, יש 14 פתרונות "חסכוניים", שבהם לא מרוקנים אף בקבוק, אלא רק ממלאים אותם ומעבירים מזה לזה. בסיום התהליך, סכום הכמויות של בקבוק 10 ובקבוק 15 הוא 23.
    דוגמאות של פתרונות אופטימליים וחסכוניים:

    0,0,0 - 0,0,15 - 6,0,9 - 0,6,9 - 6,6,3 - 2,10,3 - 2,0,13 - 2,10,13

    0,0,0 - 0,10,0 - 6,4,0 - 0,4,6 - 0,4,15 - 4,0,15 - 4,10,15 - 6,8,15

  • רמי

    מלהיב

    אפשר להוסיף תכונות לפתרון:
    1) מינימליות בכמות החלב שמשתמשים בה (בנוסף לעובדה שלא שופכים חלב).
    הפתרון החסכוני הראשון משתמש רק ב 25 ליטר ואילו השני ב 29 ליטר!
    2) לספור את מספר הפעמים שמשתמשים בכל כלי, האם שימוש מאוזן מביא מינימליות טובה יותר? (15-4 10-4 6-4 והשני 15-2 10-5 6-4 )
    3) ספירת מספר הפעמים בהם כלי ריק במהלך התהליכים. (15-0 10-3 6-2 והשני 15-2 10-1 6-3 )
    4) כמות החלב שעוברת בכל כלי בסה"כ במהלך כל המהלכים. (15-25 10-10 6-12 והשני 15-15 10-20 6-12 )

    האם יש נוסחה שמתוך נתון של נפחי הכלים ניתן להסיק לגבי מספר המהלכים בפתרון אופטימלי?

  • רמי

    חידת 7 9

    חידה זהה למעט "הכלים היחידים שיש לה הם בקבוקים של 7 ליטר ושל 9 ליטר."
    כלומר למצוא את הדרך לבודד 1 ליטר חלב כשיש רק שני כלים בנפח 7 ו- 9 ליטר.

  • עטרה

    פתרון מינימלי - 12 מהלכים

    1) מלא את בקבוק 7.
    2) העבר את תכולת בקבוק 7 אל בקבוק 9. כעת בבקבוק 9 יש 7 ליטרים.
    3) מלא שוב את בקבוק 7.
    4) העבר מבקבוק 7 לבקבוק 9, עד שבקבוק 9 מלא. בבקבוק 9 היו 7 ליטרים, לכן עברו רק 2 ליטרים, לכן בבקבוק 7 נשארו 5 ליטרים.
    5) רוקן את בקבוק 9.
    6) העבר את תכולת בקבוק 7 אל בקבוק 9. כעת בבקבוק 9 יש 5 ליטרים.
    7) מלא שוב את בקבוק 7.
    8) העבר מבקבוק 7 לבקבוק 9, עד שבקבוק 9 מלא. בבקבוק 7 נשארו 3 ליטרים.
    9) רוקן את בקבוק 9.
    10) העבר את תכולת בקבוק 7 אל בקבוק 9. כעת בבקבוק 9 יש 3 ליטרים.
    11) מלא שוב את בקבוק 7.
    12) העבר מבקבוק 7 לבקבוק 9, עד שבקבוק 9 מלא. בבקבוק 7 נשאר ליטר אחד.

  • רמי

    נכון.

    יותר מינימלי מהפתרון שלי.
    מספר המהלכים בפתרון שלי : 15 .

  • עטרה

    בפתרון שלך יש 16 מהלכים.

    יש סדרה של מהלכים, שחוזרים עליה 4 פעמים. בכל פעם, ממלאים את בקבוק 9, מעבירים מבקבוק 9 לבקבוק 7 עד שבקבוק 7 מתמלא, מרוקנים את בקבוק 7, ומעבירים את תכולת בקבוק 9 לבקבוק 7. לכן, מספר כל המהלכים הוא 4x4=16.

  • רמי

    מעניין

    אז אם הפתרונות אמורים להיות במספר מהלכים שהם כפולות של 4,
    אז להלן השערותי לגבי מינימליות מספר מהלכים לזוגות של כלים בגדלים שונים לשם הגעה ל 1 ליטר:

    כלים בנפח של 4 ו- 7 ליטר ניתן לפתור במינימום 4 מהלכים
    כלים בנפח של 5 ו- 7 ליטר ניתן לפתור במינימום 8 מהלכים
    כלים בנפח של 19 ו- 25 ליטר ניתן לפתור במינימום 12 מהלכים
    כלים בנפח של 11 ו- 13 ליטר ניתן לפתור במינימום 20 מהלכים
    כלים בנפח של 15 ו- 17 ליטר ניתן לפתור במינימום 28 מהלכים

  • עטרה

    טעיתי בתגובה שמופיעה מתחת תגובה זו. כאן יש תיקון עם הסבר.

    אתה צודק בהשערות האלו.
    יהיו a,b מספרים זרים וגדולים מ-1.
    נסמן על ידי f(a,b) את מספר המהלכים המינימלי הדרוש, עבור מדידה של ליטר אחד בעזרת שני כלים בעלי הנפחים a,b.
    אם a mod (b-a) = 1, אז f(a,b) = (a-1)/(b-a)*4.
    כל זוגות המספרים שכתבת מקיימים את הדרישה a mod (b-a) = 1,
    ולכן אפשר להשתמש בנוסחה f(a,b) = (a-1)/(b-a)*4.

    אבל מעניין אותי איך אתה הגעת להשערות האלו.

  • עטרה

    תגובה להשערות

    מספר המהלכים המינימלי:
    עבור כלים בנפחים של 4 ו-7 ליטר, דרושים 14 מהלכים.
    עבור כלים בנפחים של 5 ו-7 ליטר, דרושים 12 מהלכים.
    עבור כלים בנפחים של 19 ו-25 ליטר, דרושים 72 מהלכים.
    עבור כלים בנפחים של 11 ו-13 ליטר, דרושים 24 מהלכים.
    עבור כלים בנפחים של 15 ו-17 ליטר, דרושים 32 מהלכים.

    לפי מה קבעת את המספרים בהשערות האלה?

  • רמי

    תגובה לתגובה

    פתרונות שלי לדוגמא:
    7,4 : 0,4 - 4,0 - 4,4 - 7,1
    7,5 : 0,5 - 5,0 - 5,5 - 7,3 - 0,3 - 3,0 - 3,5 - 1,7

    נניח יש לנו זוג כלים בנפחים a ו b.
    חיפשתי זוג ערכים שלמים x ו y שיקיימו :
    1) abs(ax-by)=1
    2) הזוג המינימלי מבין כל הזוגות (x,y) המקיימים את 1) ,
    כלומר ה x או ה y בזוג זה קטן מכל ערכי x או y בזוגות האחרים.
    ומכאן , מספר המהלכים המינימלי הוא min(x,y)*4

    עבור הכלים בנפחים 5 ו 7, הערכים הם 2 ו 3
    כלומר abs(2*7-3*5)=1
    ולכן מספר המהלכים min(2,3)*4=8

  • עטרה

    הסבר

    יהיו a,b מספרים זרים וגדולים מ-1.
    נסמן על ידי f(a,b) את מספר המהלכים המינימלי הדרוש, עבור מדידה של ליטר אחד בעזרת שני כלים בעלי הנפחים a,b.
    אם a=2n+1,b=2(n+1)+1, אז f(a,b)=4n=a+b.
    לכן, f(5,7)=12, f(11,13)=24, f(15,17)=32.
    אם a=3n+1,b=3(n+1)+1, אז f(a,b)=8n-2.
    לכן, f(4,7)=14.
    אם a=6n+1,b=6(n+1)+1, אז f(a,b)=20n+12.
    לכן, f(19,25)=72.

  • עדי

    פתרון

    1.ממלאים את הבקבוק של השלוש
    2.מעבירים את 3 הליטר אל הבקבוק של החמש
    3.ממלאים שוב את הבקבוק של השלוש
    4.מעבירים שני ליטר אל הבקבוק של החמש
    נשאר בבקבוק של השלוש רק ליטר אחד

  • נתן

    לא לגמרי

    כתוב שלא ידוע כמה חלב יש
    הפתרון שלך מסתמך על כך שיש לפחות 6 ליטר

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

  • עטרה

    חידה

    יש לי שתי פחיות, שכל אחת מהן היא בצורת גליל סימטרי. הנפח של פחית אחת הוא 4 ליטרים, והנפח של השנייה הוא 6 ליטרים. איך אפשר למדוד בעזרתן ליטר חלב?

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

  • רמי

    רעיון למדידת 1 ליטר

    1) מלא הפחית 4 עד סופה
    2) מלא פחית 6 עד אמצעה !! 3 ליטר נכנסים (*).
    3) שפוך מפחית 4 לפחית 6 עד התמלאותה (3+3).
    4) בפחית 4 נשאר 1 ליטר.

    (*) מחזיקים פחית 6 בזוית של כ 45 מעלות כשהחלק התחתון של פתח הפחית במאוזן עם החלק העליון של בסיס הפחית. היות והפחית 6 היא בצורת גליל סימטרי, מילוי פחית 6 במצב כזה מאפשר הגעה לקיבול של 3 ליטר חלב בדיוק.

  • עטרה

    מצוין

    אני חשבתי על משהו דומה:
    1) מלא פחית 6 עד אמצעה.
    3 ליטר נכנסים.
    2) שפוך מפחית 6 לפחית 4, עד אמצע פחית 4.
    2 ליטר נכנסים.
    3) בפחית 6 נשאר 1 ליטר.

  • עטרה

    הערה קטנה:

    זווית ההטייה של הפחית אינה 45 מעלות, אלא ארק-טנגנס של מנת החלוקה של קוטר בסיס הפחית בגובה הפחית.

  • רמי

    נכון

    - היות והמידע היחיד על מידות הפחית הוא קיבולה (6), לא ניתן לחשב את זוית ההטיה , ולכן רשמתי "כ 45".
    - אם נתון כי זוית ההטיה אכן 45 מעלות, ניתן לחשב כי פחית בקיבול 6 ליטר, גם הקוטר וגם הגובה שווים לערך 19.69 ס"מ (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה).

  • עטרה

    אמנם, "לא בוכים על חלב שנשפך", אבל

    אין צורך לשפוך לאמבט בשביל למדוד ליטר. ניתן להשתמש בבקבוקים בשביל למדוד.

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

  • עטרה

    אני מכירה את החידה הזאת, לכן לא כתבתי את הפתרון

    קודם כל, במקום לבזבז חלב, תמיד אפשר לשפוך את הבקבוקים בחזרה אל האריזה המקורית, במקום לאמבט.
    בנוסף, אם בקבוק אחד הוא בנפח A ליטר, והשני בנפח B ליטר, ומתקיים
    A mod B = -1 או B mod A = -1,
    אז אפשר למדוד ליטר בלי צורך להחזיר חלב מהבקבוקים אל האריזה.

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    צודקת! החידה תעודכן.

    האמבט נלקח מחידה מסובכת יותר, ובאמת מיותר כאן.
    גם ההסבר הכללי יפה :)
    אעדכן את החידה.

  • מנאד

    פתרון

    ריקה מוזגת 3 ליטר ולאחר מכן מעבירה אותם לאמבט.
    ריקה מוזגת עוד 3 ליטר ומעבירה אותם לאמבט וכך יוצא לנו באמבט 6.
    ריקה מוזגת מהאמבט לבקבוק של 5 ליטר ונשאר באמבט ליטר אחד

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    הבהרה

    האמבט יכול לשמש לשפיכת המים, אך אי אפשר למזוג מהאמבט בחזרה לבקבוק.

  • נעם

    פשוט

    מוזגים 3 ליטר מעבירים ל5 מוזגים עוד 3 ליטר ממלאים את ה5 ונשאר לנו 1