שלום לכם!

האם אפשר לסדר את המספרים מ-1 ועד 16 כך שהסכום של כל שני שכנים יהיה ריבוע?
דוגמה: תחילת הסדרה 2, 7, 9, 16,... מתאימה לתנאי המבוקש, מפני ש-2+7=9, 7+9=16 ו-9+16=25. הבעיה היא שאי אפשר להמשיך את הסדרה הזאת מפני שאין מספר נוסף בין 1 ל-16 שמסתכם עם 16 לריבוע (ב-9 כבר השתמשנו ו-20 גדול מדי). האם אפשר למצוא סדרה אחרת שתהיה מתאימה יותר?

שבוע טוב,

סקובידו


הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

14 תגובות

  • רמי

    הרחבת השאלה ל 64 מספרים עם הפרש בחזקה שלישית.

    אותה השאלה למעט :
    מספר מקסימלי 64 (מהמספר 1 ועד 64 (כולל))
    דרישה שכל זוג מספרים סמוכים בסידרה הפרשם (בערך המוחלט) יהיה חזקה שלישית ללא 1 (כלומר 8 ו27 בלבד) :

    האם ניתן לסדר את כל המספרים מ-1 ועד 64 בתנאים אלו ?
    מה אורך הסידרה המקסימלי שהצלחתם ליצור ?
    דוגמה: תחילת הסדרה ... 1,9,17, מתאימה לתנאים המבוקשים .

    דוגמא ארוכה יותר :
    25 17 9 1 28 20 12 4 31 58 50 42 15 7 34 26 53 45 18 10 2 29 37 64 56 ...

  • רמי

    דוגמה ארוכה לסדרה מתוך 64 מספרים עם הפרש חזקה שלישית שאינה 1

    עבור המספרים מ 1 ועד 64, בתנאי שההפרש בין כל שני מספרים סמוכים יהיה חזקה שלישית (למעשה 8 או 27 ולא 1),מצאתי
    סידרה ארוכה ביותר (בעזרת ידידי המחשב) והיא בת 58 מספרים (יש הרבה סדרות באורך זה. מצאנו מעל 400000 סדרות שונות באורך 58).
    לדוגמא :
    א] 39 47 20 12 4 31 58 50 23 15 7 34 61 53 26 18 45 37 10 2 2. 56 48 21 13 40 32 59 51 24 16 43 35 62 54 27 19 46 38 11 3 30 22 49 41 14 6 33 25 17 9 1 28 55 63 36 44 52

    ב] 64 56 48 40 32 59 51 43 16 8 35 62 54 27 19 46 38 11 3 30 57 49 41 14 6 33 60 52 25 17 44 36 9 1 28 55 47 20 12 39 31 23 50 42 15 7 34 61 53 26 18 45 37 10 2 29 21 13

    האם יש סידרה ארוכה יותר?

  • רמי

    הרחבה נוספת: ההפרש הוא ריבוע.

    בדומה לשאלה המקורית למעט הדרישה שהערך המוחלט של הפרש מספרים סמוכים יהיה ריבוע.

    דוגמא לפתרון אלמנטרי : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
    כאן יש 15 זוגות שההפרש ביניהם 1. נרצה למזער את מספר הזוגות שההפרש ביניהם 1.

    דוגמא נוספת (לא אלמנטרית) : 16 7 3 2 1 5 4 8 9 10 6 15 11 12 13 14
    כאן מספר הזוגות שההפרש ביניהם 1 הוא 8 .

    האתגר הוא למצוא סדרה כנ"ל שמספר הזוגות שההפרש ביניהם 1 הוא קטן מ 8 .

  • רמי

    שיפור פתרון הרחבה : ההפרש הוא ריבוע

    הפתרונות הבאים הם עם מספר זוגות שההפרש ביניהם 1 הוא 7, 6 ו 5 בהתאמה (*) :

    11 15 6 10 9 8 4 5 1 2 3 7 16 12 13 14

    12 11 15 6 10 9 8 4 13 14 5 1 2 3 7 16

    11 15 6 10 9 8 4 13 14 5 1 2 3 7 16 12

    (*) ואפשר לשפר משמעותית גם פתרונות אלה!!

  • רמי

    שיפור נוסף של פתרון הרחבה : ההפרש הוא ריבוע

    הפתרונות הבאים הם עם מספר זוגות שההפרש ביניהם 1 הוא 4 ו 3 בהתאמה (*) :

    11 15 6 10 9 13 14 5 1 2 3 7 16 12 8 4

    14 5 1 2 3 7 16 12 8 4 13 9 10 6 15 11

    (*) ואפשר לשפר גם פתרונות אלה!!

  • רמי

    שיפור נוסף על נוסף של פתרון הרחבה : ההפרש הוא ריבוע

    הפתרון הבא הוא עם מספר זוגות שההפרש ביניהם 1 הוא 2 (*) :

    3 7 11 2 6 10 1 5 9 13 4 8 12 16 15 14

    (*) ואפשר לשפר גם פתרון זה!!

  • רמי

    שיפור נוסף ^ 3 של פתרון הרחבה : ההפרש הוא ריבוע

    הפתרון הבא הוא עם מספר זוגות שההפרש ביניהם 1 הוא 1 (*) :

    3 7 16 12 8 4 13 9 5 14 10 6 15 11 2 1

    (*) האם אפשר לשפר פתרון זה?

  • רמי

    אין פתרון ללא זוגות שההפרש ביניהם 1

    טענה : בסדרה של מספרים מתוך קבוצת המספרים השלמים 1 עד וכולל 16, המסודרים כך שההפרש המוחלט ביניהם הוא ריבוע, לא קיים מצב בו מספר הזוגות שההפרש ביניהם 1 הוא 0

    הוכחה :
    נניח שהיה קיים מצב כזה בו כל שני מספרים סמוכים בסידרה בת 16 מספרים מ 1 ועד 16 הפרשם המוחלט הוא 4 או 9.
    לכן בפרט למספר 8 שכניו מימין ומשמאל נכפים להיות 4 ו 12. וכמו כן המספר 9 כופה ששכניו מימין ומשמאל יהיו 5 ו 13 בלבד.
    אך המספרים 4 ו 13 חסומים משמאל ומימין בהתאמה : שכניו של 4 : 8, 13 . שכניו של 13 : 9, 4 .
    ולכן רק שני מצבים אפשריים :

    1) השלשות בקצוות:
    [13 9 5 12 8 4]

    2) השלשות צמודות בתוך או בצידי הסדרה:
    [... 12 8 4 13 9 5 ...]

    אם נבדוק את כל האפשרויות שנותרו נקבל :
    במקרה הראשון:
    13 9 5 2 6 15 11 7 3 12 8 4
    13 9 5 14 10 6 15 11 7 3 12 8 4
    13 9 5 1 10 6 15 11 7 3 12 8 4
    13 9 5 14 10 6 2 11 7 3 12 8 4
    13 9 5 1 10 6 2 11 7 3 12 8 4
    13 9 5 15 6 2 11 7 3 12 8 4
    ואין אפשרות להמשיך

    במקרה השני (קצת יותר עבודה):
    ניתן לראות כי יש 14 אפשרויות שונות להשלמה משמאל (משמאל ל 5)
    כמו כן יש 14 אפשרויות שונות להשלמה מימין (מימין ל 12)
    צריך לבדוק את 14X14=196 האפשרויות . לכל השלמה משמאל לבדוק את כל 14 ההשלמות מימין ולראות אם ואיך ניתן להוציא 16 מספרים שונים מהם.
    בחינה זו תראה כי לא קיימים גם בתצורה זו פתרונות .

    נמצאו לכל היותר 15 מספרים מהסדרה שהפרשם המוחלט בין זוגות צמודים בה גדול מ 1 (שווה ל 4 או 9)
    למשל
    16 7 3 12 8 4 13 9 5 14 10 6 2 11 15

    קימת למשל הסדרה הבאה, הכוללת זוג אחד שהפרשו המוחלט הוא 1 :
    14 10 6 15 11 2 3 7 16 12 8 4 13 9 5 1

    לכן, לאחר בדיקת כל האפשרויות, לא נמצאה אפשרות של סדרה בת 16 מספרים שכל זוג הפרשו המוחלט אינו 1. מקסימום 15 מהמספרים.

    מ.ש.ל.

  • סקובי

  • רמי

    שאלת הרחבה

    אותה השאלה למעט חזקה שלישית ומספר מקסימלי 64 :

    האם ניתן לסדר את המספרים מ-1 ועד 64 כך, שהסכום של כל שני שכנים יהיה חזקה שלישית?
    דוגמה: תחילת הסדרה ... 1,7,57, מתאימה לתנאי המבוקש, מפני ש- 1+7 = 8, 7+57=64 . לא ניתן להמשיך את הסדרה הזאת מפני שלא ניתן למצוא מספר בין 1 ל-64 שמסתכם עם 57 לחזקה שלישית (שאינו 7 בו השתמשנו כבר) . האם אפשר למצוא סדרה אחרת מתאימה? מהי הסידרה הארוכה ביותר שמצאתם?

  • רמי

    סדרה הארוכה ביותר שמצאתי

    מצאתי הסדרות הבאות:

    43 21 6 2 62 63 1 7 20
    44 20 7 1 63 62 2 6 21

    נראה כי אין פתרון טוב מזה.

  • סקובידו

  • רמי

    כן. אפשר לסדר.

    פתרון אפשרי :

    8 1 15 10 6 3 13 12 4 5 11 14 2 7 9 16

  • סקובי