"תורת המשחקים", סיכם מתי מתוק את הרצאתו, "אמנם עוסקת גם במשחקים מורכבים ביותר, שעבורם נדרשת מתמטיקה מתקדמת וסבוכה, אך היפה בה הוא שהיא כוללת גם משחקים פשוטים ביותר שכל אדם יכול לשחק בהם, דוגמת 'איקס עיגול'".

הקהל פרץ במחיאות כפיים סוערות. אכן, מתי ידע בהרצאתו לקסום לקהל רגיל שאינו קהל מתמטיקאים, ולהמחיש לו בדוגמאות פשוטות את יופיה ואת שימושיה של התורה. גם עם שוך מחיאות הכפיים, התלהבותו של שומע אחד, איש קטן, משופם ומזוקן, לא שככה. הוא המשיך בקריאות "הידד!" אף שהקהל יצא כבר מן האולם. מתי ניגש אליו וטפח בידידות על שכמו כדי להרגיעו והודה לו על שהוא מחמיא להרצאתו. האיש הקטן לא ידע את נפשו מרוב התרגשות על שזכה לטפיחת ידו של מתי. הוא פנה בחשש למרצה ואמר, "אל נא תראה בכך חוצפה ועזות מצח, אך הגעתי ממרחקים במיוחד לשמוע את הרצאתך ולשאול את דעתך, שאני מעריך ללא גבול – על אודות משחק מתמטי שהמצאתי".

"בבקשה", ענה מתי באדיבות ובסקרנות. האיש התמהוני שלף מתיקו עיגול גדול, שלצירו הייתה מחוברת ידית סיבוב. על העיגול היו מצוירים איקסים ועיגולים וכן מספרים בצבעים מרהיבים ובצורות שונות.

"מהו המשחק הזה?" תמה מתי.

התמהוני התמלא גאווה: "שם המשחק הוא 'עיגול ההיפניקס'. אנא התבונן בו במבט יציב".

"האם זה משחק זיכרון?" שאל מתי.

"לא", ענה התמהוני והחל לסובב את העיגול. צורות מוזרות צבעוניות כנחשים מתפתלים הופיעו לעיני מתי. "זהו משחק של איבוד הזיכרון". ואכן תוך זמן קצר נכנע מתי לכוחו המהפנט של ההיפניקס ושקע בעולם אחר.

"וכשאספור עד שלוש – תתעורר, ותזכור היטב מה עשיתי לך", אמר ד"ר לא: "אחת, שתיים, שלוש!" ומתי פקח את עיניו.

"אכן, 'איקס עיגול' אינו רק דוגמה קלה למשחק מתמטי, אלא תבנית יעילה להפנוט. אני מצטער שנאלצתי להשתמש באמצעי כזה, אך מה לעשות? אני כל כך רוצה לשחק עמך במשחקים מתמטיים, אך חששתי שתסרב לי בגלל האופי הקרימינלי שלי".

מתי הסתכל סביב. היה זה חדר קטן ובו דלת יחידה ללא מנעול נראה לעין.

"כן", אמר ד"ר לא. "זה אחד ממקומות המסתור שלי. כשנסיים תוכל לחזור, כמובן בתנאי שתעמוד בתנאים שאציב לך".

"ומהם התנאים?" שאל מתי.

"לנצח אותי בכל המשחקים שהמצאתי, בהשראת 'איקס עיגול'".

לוח המשחק הראשון נראה כך:

"לפניך לוח ובו שלוש טבעות ושלוש גזרות. נוצרים תשעה שטחים. כל אחד בתורו רושם את סימנו. אני – תמיד ריבוע, אתה – תמיד עיגול. הראשון שיוצר שלישייה של סימניו, משולשים או ריבועים, בטבעת או בגזרה – מנצח.

אך יש עוד אפשרות. אם אתה בוחר להיות הראשון, עליך לנצח; אם אתה בוחר להיות שני, אתה מנצח גם אם יש רק תיקו. במה אתה בוחר?"

מתי התבונן בציור, חייך, בחר, וניצח.

ד"ר לא, שניסה בכוח להסתיר את אכזבתו, הציג את המשחק השני.

"זהו לוח 'איקס עיגול' רגיל והמשחק עליו הוא כמקובל, בשינוי קטן. משחקים לפי התור עד שמתמלאות כל המשבצות, ואז סופרים נקודות. כל שלישייה, ערכה שלוש נקודות. אלכסון קצר שווה שתי נקודות.
לדוגמה, במשחק הבא זכה ה-x בשלשה ובזוג, והעיגול רק בזוג. התוצאה היא 2:5 וה-x ניצח. אך גם פה קיים התנאי הקודם: כדי לזכות, הראשון צריך לנצח בנקודות והשני יכול להסתפק רק בתיקו. במה אתה בוחר?"

מתי בחר, שיחק, ושוב ניצח. כעסו של הד"ר הלך וגבר.

"הפעם – משחק שונה", אמר. לפניך תשעה מספרים: 663, 627, 494, 374, 210, 95, 94, 85, 77. כל אחד בתורו בוחר מספר. מי שיש לו שלישייה בעלת גורם משותף זוכה בשלוש נקודות. וכמו במשחקים הקודמים, כדי לזכות הראשון צריך לנצח בנקודות והשני חייב להשיג לפחות תיקו".

מתי התבונן היטב במספרים, רשם לעצמו רשימות, חייך, בחר וניצח.

אודם עז הציף את פני הדוקטור. "אתה מאלץ אותי לחשוף בפניך משחקים ערמומיים שהכנתי לפעם אחרת!" סינן החוטף בין שיניו. "עכשיו נשחק 'איקס עיגול' לפי כללים חדשים. זהו לוח של 5*5 ובו 25 משבצות. השחקן הראשון שם בבת אחת את כל סמניו, בתנאי שמספרם לא יעלה על שליש ממספר המשבצות. השחקן השני ממלא בסמניו את כל המשבצות הנותרות. מסתכלים על כל שורה, טור או אלכסון של חמש משבצות. בכל אחד מהם, מי שיש לו יותר סמנים זוכה בנקודה. אחרי ספירת הנקודות, הראשון מנצח אם הוציא לפחות תיקו. השני זוכה אם ניצח בנקודות.
לדוגמה: בלוח הזה העיגולים זכו בארבע נקודות ואילו האיקסים בשמונה נקודות, ולכן האיקס ניצח".

                
מתי סקר את הלוח, בחר ושוב ניצח.

ד"ר לא התבונן בו בזעם. "אתה מתגרה בגורל, ובגורל תשחק בעצמך! השאלה שאני מציב בפניך היא זו, לפניך לוח 5*5 ריק. עליך לסמן בו עיגולים כך שיתקיימו שני התנאים הבאים:

א. בכל שורה, טור או אלכסון מספר העיגולים יהיה רוב לעומת המשבצות הריקות.

ב. מספר העיגולים יהיה הקטן ביותר האפשרי".

מתי הרהר מעט ולבסוף אמר, "יש לכך פתרונות רבים, אבל הנה אחד מהם" – וצייר מספר מסוים של עיגולים במקומות מסוימים על הלוח. הדוקטור בדק, החוויר ואמר, "הפעם ניצחת, וזה בלתי נסבל! אין לי ברירה אלא לנוח מעט. אם תרצה לצאת, התבונן בשעון" ובאמרו זאת הוא סובב את עיגול ההיפניקס מול פני עצמו, התהפנט ונרדם. מתי אץ אל הדלת אך לא ראה כל דרך לפתוח אותה שכן לא היו בה ידית או מנעול. "על איזה שעון הוא דיבר?" תמה. ואז ראה על הקיר שעון מוזר במקצת שזו צורתו:

לדוגמה: אם תבחר בדילוג של 2, תתחיל בשעה 2 עם האות ר', תעבור ל-4 עם האות כ' וכך הלאה. יתקבלו שש האותיות 'רכוגיא' וחוזר חלילה... בחירה לא טובה. אגב, אם תצא – אין טעם שתזמין משטרה. אני כבר לא אהיה פה".

ואכן מתי גילה את הסיסמה, יצא, הזמין בדחיפות את פקד כהן, אך ידע מראש – כשהגיעו למקום לא נמצא בו איש. רק עיגול ההיפניקס ופתקה, "אני משאיר לך, מתי, זיכרון זה לזכר חוסר הזיכרון הזמני שלקית בו. עוד ניפגש.
                                                     נחש מי חתום?
                                                                                                אני".

שאלות

1. מדוע חייך מתי למראה משחק הטבעות והגזרות?
     ובניסוח אחר: איזה לוח משחק איזומורפי ללוח זה?

2. אם כך, האם בחר מתי להיות הראשון או השני?

3. איך אפשר לנצח במשחק השני? נסו לנסח אסטרטגיה כללית שתנחה אתכם מה לעשות מול כל מהלך אפשרי של היריב. השאלה לא קלה, אם כי האסטרטגיה פשוטה למדי. אם תתקשו, ענו על השאלות הבאות:

א. האם תבחרו להיות ראשונים או שניים?
ב. תנו כמה דוגמאות למשחקים שבהם תנצחו.

4. לפניכם תשעה מספרים ועליכם לנסות ליצור מהם שלשות, כשלכל שלשה יש גורם משותף בלעדי.

א. האם זה מזכיר לכם משחק שהופיע בשאלון? איזה?
ב. בהסתמך על התשובה לעיל נסו לערוך את תשעת המספרים בריבוע של 3*3 כך שבכל שורה, טור ואלכסון יהיה גורם משותף. לשם כך כתבו כל אחד מתשעת המספרים כמכפלה של מספרים ראשוניים. זה יקל עליכם לגלות את הגורם המשותף.
איזה משחק ידוע מאד איזומורפי (שווה מבנה) למשחק הזה?
ג. אם כך, במה תבחרו – להיות ראשונים או שניים?

5. א'. כמה עיגולים לכל היותר מותר לראשון להציב בלוח של 5*5?
5. ב'. כמה טורים, שורות ואלכסונים יש בסך הכול בלוח של 5*5?
5. ג'. האם לאור התשובות לעיל ישנה לשחקן הראשון אפשרות לנצח? אם כן, איך (ציירו פתרון)? אם לא, נמקו מדוע.

6. א'. נמקו מדוע במשחק האחרון לא יתכן שמספר העיגולים הנדרש יהיה פחות מ-15.
6. ב'. האם אפשר להסתפק ב-15? אם כן, תנו דוגמה. אם לא, נמקו.

7. א'. מהי הקפיצה הנדרשת כדי לקבל סיסמה, ומהי הסיסמה שפותחת את הדלת?
7. ב'. האם תוכלו לאפיין את הקפיצות שעוברות על כל האותיות (לאו דווקא את אלה שיוצרות סיסמה).
ומה עם ואלו שאינן עוברות על כל האותות?

8. בדומה לחידת  תשעת המספרים, מצאו תשעה מספרים שאפשר לערוך בטבלה של 3*3, כאשר אם שני מספרים נמצאים באותו טור, שורה או אלכסון, אין להם גורם משותף, ואם הם אינם נמצאים באותו טור, שורה או אלכסון יש להם גורם משותף!

רמז: כל מספר הוא מכפלה של מספרים ראשוניים, בנו בהדרגה את מכפלות המספרים לפי הדרישה. לדוגמה, נבחר לשורה עליונה שלושה גורמים שונים – שלושת המספרים הראשוניים הראשונים.

                      
עכשיו יש להמשיך בשאר המשבצות בהתאם לדרישות. יש להוסיף גורמים לפי הצורך, כולל בשורה הראשונה. למשל: ייתכן שתיאלצו להוסיף 7 במשבצת האמצעית בשורה העליונה כדי לעמוד בדרישות ותקבלו שם: 21=3*7. שימו לב: המשבצת האמצעית בשורה השנייה  משתתפת בכל הטורים, השורות והאלכסונים. חשבו על המסקנה!

נסו כמידת יכולתכם לא להגיע למספרים מסובכים וגדולים.

אמנון זקוב

---

הפתרונות

2+1. המשחק הוא איזומורפי למשחק איקס עיגול בגודל 3*3. הטבעות הן השורות, הגזרות הן הטורים ושלישיות המשולשים והריבועים הן האלכסונים. נוכל להיווכח בכך אם נסמן את הטבעות באותיות א', ב' וג' ואת הגזרות ב-1, 2 ו-3 באופן הבא:

 

 

 

לכן מתי חייך, כי ידוע שהמשחק איקס עיגול מסתיים בתיקו אם משחקים אותו בלי לטעות. לכן בחר להיות שני, להשיג תיקו, ולפי החוקים של ד"ר לא – זו זכייה!

 

3. עקרון האסטרטגיה הוא סימטריה מרכזית שעושה השני למהלכיו של הראשון, יחד עם תיקון מסוים שיוסבר להלן.

כפי שרואים בציור, לכל אחת משמונה המשבצות שבהיקף יש משבצת סימטרית. אחרי כל סימון משבצת של השחקן הראשון מסמן השחקן השני את המשבצת הסימטרית. לא יתכן שהמשבצת הסימטרית כבר תהיה תפוסה על ידי השחקן הראשון, כי אילו זה היה המצב היה השני מסמן כבר את המשבצת הסימטרית לה, וזוכמובן המשבצת המקורית. המשבצת המרכזית היא היחידה שאין לה סימטריה (היא סימטרית לעצמה), לכן אם הראשון יסמן בשלב כלשהו את המשבצת המרכזית, יריבו יסמן משבצת כלשהי שנותרה פנויה עדיין בהיקף. הפנויה עדיין. ואם המשבצת הסימטרית לה כבר סומנה על ידי השחקן השני – השני יסמן אחריו משבצת פנויה כלשהי.

נדגים שני משחקים, כאשר המהלכים ממוספרים ומספרי השחקן השני מוקפים בעיגול.

כפי שניתן לראות, אין לראשון אפשרות ליצור שלשה הכוללת את המשבצת המרכזית, כי אם הוא סימן משבצת שנייה בשלשה כזו, השלישית היא סימטרית לה ולכן סומנה בהכרח בידי השחקן השני.

האסטרטגיה הסימטרית גם מבטיחה שאם הראשון סימן שלשה שאינה כוללת את המשבצת המרכזית, השחקן השני סימן שלשה סימטרית לה, למשל אם הראשון סימן את כל השורה הראשונה, השחקן השני סימן השני את כל השורה השלישית, ולהיפך. ואם השחקן הראשון סימן זוג אלכסוני, השני סימן זוג סימטרי לו. מכאן ברור שהשני תמיד ישיג תיקו, ולפי כללי ד"ר לא הוא זוכה.

 

4 א. המשחק מזכיר את משחק ה-15.

4 ב. נפרק את תשעת המספרים למכפלה של מספרים ראשוניים:

7*11=77, 5*17=85, 7*13=91, 5*19=95, 2*3*5*7=210, 2*11*17=374, 2*13*19=494, 3*11*19=627, 3*13*17=663.

נארגן עתה את המספרים בריבוע של 3*3, כך שבכל שורה, טור ואלכסון יש גורם ראשוני בלעדי. מאחר שהמשבצת המרכזית משתתפת בארבע שלשות, המספר היחיד המכיל ארבעה גורמים ראשוניים שונים הינו 210, והוא יהיה במרכז. כל משבצת נוספת שאינה פינתית משתתפת בשתי שלשות, לכן נשבץ בהן את המספרים המכילים שני גורמים, ונקפיד שלמשבצות סימטריות יהיה גורם משותף.

פתרון אחד לשלב הזה יכול להיות כפי שמוצע בטבלה א', כך שהגורם המשותף לשורה האופקית הוא 5 והגורם המשותף לאנכית הוא 7. עתה אפשר להשלים זאת על ידי טבלה ב', המוסיפה את ארבעת המספרים בעלי שלושה 3 גורמים בפינות הטבלה.

 

 

קיבלנו לוח איזומורפי לאיקס עיגול, בדיוק כמו במשחק ה-15. מי שיצליח לבחור בשלישייה בעלת גורם משותף, כאילו סימן שלישיה בלוח 3*3 של איקס עיגול. אך מאחר שידוע לנו שבמשחק זהיר התוצאה תמיד תהיה תיקו – כדאי להיות השחקן השני, שזוכה במצב של תיקו.

הערה למתענינים: קיימים כמה פתרונות לשיבוץ המספרים, אולם כולם סימטריים, כלומר אפשר להחליף בין השורות הצדדיות או העמודים הצדדיים בעזרת סימטריה מרכזית או סיבובים סביב ציר ב-90, 180 או 270 מעלות, אך אין פתרון עקרוני אחר!

 

5 א. מאחר ש-    , מותר להציב לכל היותר שמונה עיגולים בלוח של 5*5.

5 ב. 5 שורות, 5 טורים ו-2 אלכסונים – סה"כ 12.

5 ג. פתרון פשוט (אחד מיני רבים) הינו: יש לנו שש שלשות, כלומר מחצית מ-12 האפשרויות, לכן הראשון מנצח.

 

6. לא ייתכן שיהיו פחות מ-15, כי בכל שורה צריכים להיות לפחות שלושה עיגולים ויש לנו חמש שורות, ולכן לפחות 15.

 

 

7 א. הקפיצה הנדרשת היא 5 והסיסמה: "אין גאון כד"ר לא". כל קפיצה אחרת, או שלא תעבור על כל האותיות או שלא תיתן סיסמה.

7 ב. בניסוי נגלה כי רק קפיצות של 1, 5, 7 או 11 עוברות על כל האותיות, בעוד קפיצות של 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 או 12 עוברות רק על חלק מהאותיות. מה שמייחד את הקבוצה הראשונה הוא שכל מספריה זרים ל-12, כלומר אין להם ול-12 אף גורם משותף. מה שמייחד את הקבוצה השנייה היא שלכל איבריה יש גורם משותף עם 12.

הכלל הזה איננו מוגבל רק לכאן ואפשר לנסח אותו כך: אם יש לנו מעגל של n מספרים, מ-1 ועד n, וקפיצות בשיעור של m, הרי שב-n קפיצות נעבור על כל המספרים אם ורק אם אין ל-m ול-n גורם משותף.

8. שאלת בונוס: בשיטה דומה לאופן שבו ניתחנו את שאלה ד', נבנה טבלה של 3*3 שבה לכל זוג הנמצא בשלושה של טור, שורה או אלכסון, אין גורם משותף, ולכל זוג שאינו נמצא בשלשה יש גורם משותף. נשתמש שוב במספרים הראשוניים כגורמים המשותפים ונסמנם ב-a, b, c, d, eו-f. נתחיל בשורה העליונה למעלה. מאחר שאין להם גורמים משותפים, יופיעו שלושה גורמים שונים בשלוש המשבצות b ,a ו-c בהתאמה. במשבצת האמצעית המשתתפת בכל השלשות נשים את d. ומאחר שצריך להיות גורם משותף לכל זוג שאינו נמצא בשלשה, נקבל בשלב ראשון את טבלה א'.

 

כדי שלמשבצות ב1, א2 ו-ג3 יהיה גורם משותף, נכתוב בכולם e ונקבל את טבלה ב'. נתאים את האותיות למספרים הראשונים לפי הסדר ונקבל: a=2, b=3, c=5, d=7, e=11.

והטבלה המתקבלת היא:           

זו כמובן טבלה אחת מתוף אינסוף האפשרויות. אך יתרונה הוא במספריה הקטנים. לו היינו בוחרים 11=d ו-7=e, היינו מקטינים את המספרים עוד יותר והגדול מביניהם היה 21).