לחידה המקורית: לא קל לגלות את הקל
1. במקרה כמו שלנו, של כדורים שמשקלו של כל אחד מהם עולה בהרבה על ההפרש בין משקליהם, אין כל טעם להניח על הכפות מספר שונה של כדורים: הכף שעליה מספר הכדורים הגדול יותר תהיה תמיד הכבדה ביותר ויידרשו מיליארד כדורים קלים כדי לאזן מיליארד פחות אחד כדורים כבדים.
2. דוגמה אחת של יחסי משקל שבהם יש טעם להשוות בין כפות עם מספר לא זהה של כדורים יכולה להיות לו היה משקלו של כדור כבד שווה לזה של שני כדורים קלים. אז היינו יכולים לשים ירוק מול צהוב ואדום והיו לנו שתי אפשרויות: אם המשקל שווה אזי הירוק כבד והשאר קלים, ואילו אם הכף של שני הכדורים כבדה יותר יהיה בידינו מידע חלקי שלפיו לפחות אחד מהשניים כבד. לו משקל הכדור הקל היה פחות ממחצית הכבד, אזי המאזניים לא יכלו להתאזן, וכאשר הכף עם הכדור היחיד היא הכבדה אזי הירוק הוא הכבד, וכשלהיפך לפחות אחד מהשניים כבד.
3. אם נשקול שלושה מול שלושה, הכפות בכל מקרה לא תהיינה מאוזנות, יש יש שלושה כדורים כבדים ולכן באחת הכפות יהיו שניים מהם לפחות ובשנייה כדור כבד אחד או פחות, והם לעולם לא יתאזנו.
4) כאשר מהמרים על שקילה יחידה אי אפשר להשאיר זוג שלם מחוץ לשקילה, כי אפילו אם נצליח לפענח את שני הזוגות המשתתפים עדיין לא יהיה לנו שום מידע על הזוג השלישי. מצד שני, אם נשים זוג שווה על אותה כף, תהא התוצאה אשר תהיה, לא נוכל למיין אותו לכבד וקל, כי המצב לגבי כל תוצאה יהיה סימטרי. ואם נשקול שלושה מול שלושה, הרי לאור האמור לעיל אסור שיהיה זוג שלם באותה כף, ולכן בכל כף יהיו שלושת הצבעים וכף אחת תהיה הכבדה אך אין דרך לדעת אחרי שקילה אחת בלבד אם היא מכילה שלושה כדורים כבדים או רק שניים.
אופציה אחרת היא השקילה הבאה: ירוק וצהוב מול ירוק ואדום. במקרה הזה, אם הכפות מאוזנות, כל שנסיק הוא שהאדום והצהוב שוני משקל, ואם הירוק והאדום כבדים יותר כל שנדע הוא שהירוק שנמצא בכף הכבדה הוא הכבד והאדום כבד או שווה לצהוב. זה יותיר שלוש אפשרויות ליחס אדום-צהוב: קל-קל, כבד-קל, כבד-כבד, ואין לדעת איזו מהן היא הנכונה.
מסקנה: אין שום אפשרות, גם לא במזל, למיין את הכדורים בשקילה יחידה!
5 ) עם קצת מזל אפשר למיין את הכדורים בשתי שקילות שבהן שוקלים בכל פעם כדור יחיד מול כדור יחיד: ראשית נשקול ירוק מול צהוב. אם הם שווים – נשקול את הירוק מול אחד האדומים. במקרה כזה אין לנו מזל, כי כל שלושת הכדורים השווים יכולים להיות כבדים או קלים. אך אם אחד הכדורים כבד יותר, למשל הירוק, אפשר לדעת שהירוק והצהוב שנשקלו והאדום שלא נשקל הם הכבדים, והנה פענחנו את זה "במזל".
אם בשקילה הראשונה אין איזון, ולמשל הירוק הוא הכבד, סימן שהוא שייך לכבדים והצהוב לקלים ושני הזוגות ממוינים. עתה נותר לשקול את האדומים זה מול זה ונמיין גם את השלישי. כלומר: אם בשקילה הראשונה אין איזון, יש פתרון מובטח.
פתרון בעית ד"ר לא
ברור כבר שדרושות לפחות שתי שקילות. נשתמש בשקילה שכבר בדקנו בשאלה 4: ירוק ואדום מול ירוק וצהוב. אם אין איזון, לצורך ההנחה כשהירוק ואדום כבדים יותר, הירוק הזה חייב להיות הכבד והאדום שווה לצהוב או כבד ממנו, כי אם היה קל אז המאזניים היו מאוזנים וכל כף הייתה מכילה כדור כבד וכדור קל.
עתה נשקול את זוג הירוקים מול האדום והצהוב: משקלם של זוג הירוקים ידוע: אחד כבד ואחד קל. לכן, אם הכפות תהיינה מאוזנות זה יהיה גם המשקל של הצהוב והאדום, ומכאן האדום הוא כבד והצהוב קל. אם הזוג כבד יותר מהשניים השונים, שני הכדורים קלים; אם הוא קל מהם, שניהם כבדים.
אם בשקילה הראשונה המאזניים מאוזנות, נדע שהמשקל בכל כף הוא של כדור כבד וכדור קל, ומאחר שעל כל כף יש לנו כדור ירוק אחד, משקל הכדור השני שעל הכף יהיה שונה ממשקל הירוק שעל הכף, ולכן גם משקל הצהוב יהיה שונה ממשקל האדום.
כעת נשקול את הצהוב מול האדום ונגלה מי מהם הוא הכבד ומי הקל. לפי התוצאה נמיין גם את הירוקים.
ד"ר לא יצטרך לוותר גם הפעם על הפיצוץ החביב עליו, אך כמו שלמדנו מניסיוננו המר הוא כבר מכין את הפיצוץ הבא להנאתו ולהנאתכם.
אמנון זקוב
