בסרטון הזה נמשיך במסענו להכרת המספרים המרוכבים. נראה איך אפשר לעשות עיבודים שונים ומשונים של תמונות באמצעות העתקות של מספרים מרוכבים, ונצלול למעמקי הקבוצות המרהיבות ביופיין הקרויות קבוצות ג'וליה וקבוצת מנדלברוט.
צפייה מהנה!
זהו הסרטון השישי בסדרת "ממדים" מאת Jos Leys (גרפיקה והנפשות)
Étienne Ghys (סצנות ומתמטיקה) ו-Aurélien Alvarez (יישום ועריכה).
העתקות
בחלקו הראשון של הסרטון ראינו איך אפשר לבצע עיבוד של תמונות באמצעות העתקות של המספרים המרוכבים.
תזכורת: הארגומנט של מספר מרוכב x+yiהוא הזווית שבין ציר ה-x והישר המחבר את הנקודה (x,y) וראשית הצירים. כמה דוגמאות: הארגומנט של 1 הוא 0 מעלות, הארגומנט של i הוא 90 מעלות, הארגומנט של (1-) הוא 180 מעלות והארגומנט של i+1 הוא 45 מעלות.
הערך המוחלט של המספר מרוכב x+yi הוא המרחק בין (x,y) לראשית הצירים, כלומר: .√(x2+y2)
הצגה של מספר מרוכב בהצגה קוטבית: z=r(cosθ + i sinθ) כאשר r הוא הערך המוחלט של המספר ו-θ הארגומנט שלו.
כאשר מכפילים שני מספרים מרוכבים, הערך המוחלט של המכפלה הוא מכפלת הערכים המוחלטים של המספרים, והארגומנט הוא סכום הארגומנטים של המספרים.
כלומר, אם z2 = r2(cosθ2 + i sinθ2), z1 = r1(cosθ1 + i sinθ1)
ו– z3 = z1 * z2 אז:
z3 = (r1*r2) (cos(θ2+θ1) + i sin(θ2+θ1)).
כלומר כפל במספר מרוכב הוא למעשה סיבוב בארגומנט שלו ומתיחה/כיווץ.
כיווץ
ראינו בסרטון שחלוקה ב-2 מכווצת את התמונה. אפשר לראות זאת בבירור על פי הנוסחה שהצגנו למעלה. למספר 0.5, הנמצא על ראשית הצירים, יש ארגומנט 0 וערך מוחלט 0.5. ולכן כפל בו אינו משנה את הזווית ומקטין את הערך המוחלט של המספר פי 2, כלומר התמונה מתכווצת.
סיבוב
כפל ב-i מסובב את התמונה רבע סיבוב ואינו משנה את גודלה, מכיוון שהארגומנט של i הוא 90 מעלות והערך המוחלט שלו הוא 1.
סיבוב ומתיחה
כפל ב-i+1: הערך המוחלט של i+1 הוא √2 והארגומנט שלו הוא 45 מעלות.ולכן כפל ב-1+i מותח את התמונה ומסובב אותה ב-45 מעלות.
העלאה בריבוע
העלאה בריבוע של מספר מרוכב פירושה שהערך המוחלט של המספר מועלה בריבוע והארגומנט שלו מוכפל.
-1/z
ההעתקה הזו דומה לפעולת ההופכי המוכרת לנו. מובן שאי אפשר לבצע את ההעתקה הזו לנקודת הראשית המקבילה למספר 0, אך נוכל לאמץ את ההגדרה שהראשית מועתקת לאינסוף. הסיבה לכך פשוטה: הערך המוחלט של -1/z הוא ההופכי של הערך המוחלט של המספר z. ולכן אם z קרוב ל-0, הערך המוחלט שלו קטן מאוד ולכן הערך המוחלט של ההעתקה שלו יהיה גדול מאוד. בשל כך ההעתקה הזו מעבירה נקודות שקרובות לראשית רחוק מאוד מעבר לגבולות המסך. ולהפך – נקודות מרוחקות מאוד מהראשית עוברות לאזורים קרובים לראשית.
ההעתקה הזו הופכת עיגולים לעיגולים או לקווים. אמנים רבים עושים שימוש בהעתקה כזו, שמכונה בעולם האמנות בשם "אנמורפוזה".
איסטבן אורוסז – אנאמורף עם עמוד 2 | תמונה: ויקיפדיה
ישנם שני סוגים של אנמורפוזה – אנמורפוזה זוויתית ואנמורפוזה באמצעות מראה. באנמורפוזה באמצעות מראה מניחים מראה בצורת גליל או חרוט, שמשקפת ציור שטוח ומעוות והופכת אותו לתמונה תלת-ממדית שניתן לצפות בה מזוויות רבות. הציור המעוות מצוייר על משטח מסביב למראה. תהליך האנמורפוזה אפשר לאמנים להסתיר קריקטורות ותמונות שנויות במחלוקת בתוך ציוריהם. עוד על אנמורפוזה תוכלו לקרוא ולראות בכיתה בפיתה: אשליות אופטיות במראה מעוגלת.
קבוצות ג'וליה
בחלקו השני של הסרטון מציג בפנינו אדריאן דואדי את קבוצות ג'וליה – נושא שמחקריו תרמו רבות להבנתו. לקבוצות ג'וליה יש חשיבות מתמטית רבה וההמחשה שלהן יוצרת תמונות מרהיבות. יצירות אמנות רבות נוצרו בהשראת התמונות האלה וחלקן מוצגות בגלריה.
איך נוצרות קבוצות ג'וליה? הרעיון פשוט מאוד. בוחרים מספר מרוכב כלשהו c ובוחנים את התנהגות ההעתקהTc(z)=z2+c . כלומר, עבור מספר מרוכב z, ההעתקה מעלה אותו בריבוע ולאחר מכן מבצעת הזזה ב-c. כדי ליצור את קבוצת ג'וליה המתאימה עוברים את התהליך הבא: עבור כל נקודה z מבצעים העתקה ל-Tc(z), שממנו מתקבלת נקודה z1. לאחר מכן עושים את ההעתקה על הנקודה z1 ומקבלים נקודה z2 וכך ממשיכים. מתקבלת סדרת נקודות z1,..., zn שנקראת "המסלול" של הנקודה תחת ההעתקה Tc.
לדוגמה, אם c=0, אנו מעלים בריבוע שוב ושוב את הנקודה, ולכן הערך המוחלט של הנקודה עולה בריבוע. אם הערך המוחלט של הנקודה קטן או שווה ל-1, כלומר הנקודה נמצאת בתוך מעגל היחידה, אזי כל אברי הסדרה יישארו בתוך המעגל. לעומת זאת, אם הערך המוחלט של הנקודה גדול מ-1, הערכים המוחלטים ויגדלו וילכו וישאפו לאינסוף והמסלול ייעלם מהמסך.
במקרה הראשון אנו אומרים שהמסלול יציב – הוא נשאר בתוך אזור מוגבל של המישור. במקרה השני המסלול אינו יציב: הוא שואף לאינסוף. וקיבלנו שאם c=0 קבוצת הנקודות שעבורן המסלול הינו יציב יוצרת מעגל.
קבוצת הנקודות שעבורן המסלול יציב נקראת קבוצת ג'וליה המלאה של Tc . הארנב של דואדי שהצגנו בפרק הקודם הוא קבוצת ג'וליה המלאה עבור c=-0.12+0.77i, ובסרטון אפשר לראות קבוצות ג'וליה נוספות. קבוצות ג'וליה הן קבוצות בעלות דמיון עצמי – כלומר אפשר להבחין בה במבנים שחוזרים על עצמם בקני מידה שונים.
קבוצות מנדלברוט
מאז תחילת המאה ה-20 ידוע שישנם שני סוגים של קבוצות ג'וליה: קבוצות המכילות רכיב אחד – כלומר קבוצות שכל הנקודות בהן מחוברות זו לזו, וקבוצות שמכילות אינסוף רכיבים נפרדים שאי אפשר לראותם. קבוצת ערכי ה-c שעבורם אפשר לראות את קבוצות הג'וליה נקראים "קבוצת מנדלברוט", והן קרויות על שם חוקר הפרקטלים הנודע בנואה מנדלברוט.
בחלקו האחרון של הסרטון אנו צוללים לתוך קבוצת מנדלברוט, בהגדלה שמגיעה לסדר גודל של פי מאתיים מיליארד! אנו יכולים להתפעל מיופיה של הקבוצה, אך עלינו גם לשאול את עצמנו כמה שאלות. לדוגמה, מהי משמעותם של הצבעים? הרי יש דרכים רבות לקבוע את צבע הנקודות.
שיטה אחת היא זו: משפט מראה שקבוצת ג'וליה לא מחוברת (כלומר c אינו שייך לקבוצת מנדלברוט) אם ורק אם המסלול של 0 תחת ההעתקה Tc אינו יציב. ולכן מספיק לבדוק את המסלול של 0 תחת ההעתקה Tc ולבדוק את התנהגותו עבור ערכים גדולים של n. אם zn גדל במהירות, פירוש הדבר ש-c אינו שייך לקבוצת מנדלברוט. אם zn שואף לאינסוף אך באופן אטי יותר, c עדיין אינו שייך לקבוצת מנדלברוט, אך הוא "קרוב" יותר אליה במובן מסוים. צבעה של הנקודה c ייקבע על פי המהירות שבה הסדרה zn שואפת לאינסוף. אם zn נשאר בתוך תחום מוגבל, אזי c שייך לקבוצת מנדלברוט וצבעו יהיה שחור. לפניכם צביעה של קבוצת מנדלברוט לפי השיטה הזו:
קבוצת מנדלברוט - מתוך אתר "ממדים"
שיטת הצביעה בסרטון נקראת "אי שוויון המשולש": כשהערך המוחלט של zn גדל מעבר לערך מסוים אנו מחשבים את הערכים המוחלטים הבאים:
A=|zn-zn-2|, B=|zn-zn-1|, C=|zn-1=zn-2|.
לאחר מכן אנו מחשבים את
A
B+C
זהו מספר הנמצא בין 0 ו-1, ולמספר הזה אנו מתאימים צבע על גלגל הצבעים.
צלילה לתוך קבוצת מנדלברוט - תמונה מתוך סרטון "ממדים"
שמתם לב שלעתים קרובות מופיעים בסרטון עותקים שחורים קטנים של קבוצת מנדלברוט? זוהי אחת התגליות החשובות של דואדי: לקבוצת מנדלברוט יש תכונה של דמיון עצמי. לחומר נוסף בנושא דמיון עצמי, קבוצות ג'וליה ופרקטלים קראו את בשביל המדע: פרקטלים מתמטיים.
יפעת בן יעקב על פי אתר ממדים
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
